2023-2024学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．点A（1，m）在函数y＝2x的图象上，则点A的坐标是（ ）
A．（1，0）B．（1，2）C．（1，1）D．（2，1）
2．如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．1：1：2：2D．2：1：2：1
4．一次函数y＝﹣5x+4的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，如果点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a≤bD．a≥b
7．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如表：
这根蜡烛最多能燃烧的时间为（ ）
A．20分B．30分C．40分D．80分
8．顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC＝AD③∠A＝∠C④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．1种
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为（ ）
A．3B．3C．6D．6
10．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（1，）C．（，）D．（，）
二、填空题（11-12每题3分，13-18每题4分，共30分）
11．直线y＝2x﹣1与y轴的交点坐标是 ．
12．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，AB＝10，AC+BD＝22，则△COD的周长为 ．
14．已知点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于 ．
15．如图，已知坐标原点O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，顶点A的横坐标为4，AD平行x轴，且AD长为5．若平行四边形面积为10，则顶点B的坐标为 ．
16．如图，同一平面内的四条平行直线l1、l2、l3、l4分别过正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的边长是 ．
17．如图，正方形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（1，1），（4，1），（4，4），直线y＝x+b与正方形ABCD的边始终有交点，则b的取值范围是 ．
18．如图在△ABC中，∠ACB＝60°，D是AB边的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，且DE＝，则AC的长为 ．
三、解答题（共90分）
19．（1）已知一次函数的图象过点（3，5）与（﹣1，﹣9），求这个一次函数的解析式．
（2）已知y+2与x+3成正比例，当x＝1时，y＝2．试求y与x的函数关系式，并求出当y＝5时x的值．
20．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3，m为常数．
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若该函数的图象与直线y＝3x﹣3平行，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，求AE的长．
22．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm．
（1）求∠OAD的度数；
（2）求矩形对角线AC的长．
23．一个周末上午8：00，小张自驾小汽车从家出发，带全家人去一个4A级景区游玩，小张驾驶的小汽车离家的距离y（千米）与时间t（时）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题：
（1）小张家距离景区 千米，全家人在景区游玩了 小时；
（2）在去景区的路上，汽车进行了一次加油，之后平均速度比原来增加了20千米/时，试求他加油共用了多少小时？
（3）如果汽车油箱中原来有油25升，平均每小时耗油10升，问小张在加油站至少加多少油才能开回家？
24．小明在学习一次函数后，对形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n为常数，且k≠0）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：
【特例探究】
（1）如图所示，小明分别画出了函数y＝（x﹣1）+2，y＝﹣（x﹣1）+2，y＝2（x﹣1）+2的图象．
请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数y＝﹣2（x﹣1）+2的图象．
【深入探究】
（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现y＝k（x﹣1）+2（k为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是 ．
【得到性质】
（3）函数y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是 ．
【实践运用】
（4）已知一次函数y＝k（x+2）+3（k为常数，且k≠0）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若△OAN的面积为2，则k的值为 ．
25．如图是一张矩形纸片ABCD，按照下面步膯进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片沿AM折叠，使得点D的对应点N落在AB上，连接MN，然后把纸片展开．
第二步：如图②，将四边形ADMN沿PQ对折，使AD与NM重合．将纸片展开，得到折痕PQ，然后连接NQ．
第三步：如图③，折叠纸片使得NQ落在DC上，折痕为EQ，点N的对应点为F．
（1）试判断四边形ADMN的形状并说明理由；
（2）求图③中四边形NQFE的面积与四边形ADMN的面积的比值．
26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AE翻折，点O落在矩形的对角线AC上的点E处．
（1）求OD的长；
（2）求点E的坐标；
（3）DE所在直线与AB相交于点M，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．点A（1，m）在函数y＝2x的图象上，则点A的坐标是（ ）
A．（1，0）B．（1，2）C．（1，1）D．（2，1）
【分析】直接把点A（1，m）代入函数y＝2x，求出m的值即可．
解：∵点A（1，m）在函数y＝2x的图象上，
∴m＝2，
∴A（1，2）．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】已知DE是△ABC的中位线，BC＝8，根据中位线定理即可求得DE的长．
解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴DE＝BC＝4，
故选：B．
【点评】此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
3．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．1：1：2：2D．2：1：2：1
【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
4．一次函数y＝﹣5x+4的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数的系数确定函数图象经过的象限，由此即可得出结论．
解：∵一次函数y＝﹣5x+4中k＝﹣5＜0，b＝4＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出函数图象经过的象限．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数系数的正负确定函数图象经过的象限是关键．
5．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
解：根据函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
因此不能表示y是x的函数的是选项B中的曲线，故B符合题意；
能表示y是x的函数的是选项A、C、D中的曲线，故A、C、D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
6．若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，如果点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a≤bD．a≥b
【分析】利用正比例函数的定义可求出m值，进而可得出正比例函数解析式，由k＝﹣4＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合m＜﹣m，即可得出a＞b．
解：∵y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，
∴，
∴m＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣4x．
∵k＝﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，且m＜﹣m，
∴a＞b．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
7．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如表：
这根蜡烛最多能燃烧的时间为（ ）
A．20分B．30分C．40分D．80分
【分析】观察表格可知，蜡烛2两分钟燃烧4厘米，即1分钟燃烧2厘米，从而可以得出关系式；当h＝0时，即蜡烛最多能燃烧的时间．
解：根据表格可知，蜡烛2分钟燃烧4厘米，即1分钟燃烧2厘米，
蜡烛的长度为40厘米，
所以关系式为h＝40﹣2t，
当h＝0时，即蜡烛最多燃烧时间，
40﹣2t＝0，
∴t＝20（分）．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数关系式的表示，观察表中数据之间的规律式解决本题的关键．
8．顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC＝AD③∠A＝∠C④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．1种
【分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案．
【解答】解；当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为（ ）
A．3B．3C．6D．6
【分析】由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC即可．
解：∵AD＝ED＝3，AD⊥BC，
∴△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE＝＝3，
∵Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴AE＝BC，
则BC＝2AE＝6，
故选：D．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解本题的关键．
10．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（1，）C．（，）D．（，）
【分析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC＝AG，OG＝BG＝2，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD＝PA+PD＝DA，
∴此时PC+PD最短，
在Rt△AOG中，AG＝＝＝，
∴AC＝2，
∵OA•BK＝•AC•OB，
∴BK＝4，AK＝＝3，
∴点B坐标（8，4），
∴直线OB解析式为y＝x，直线AD解析式为y＝﹣x+1，
由解得，
∴点P坐标（，）．
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、轴对称﹣最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．
二、填空题（11-12每题3分，13-18每题4分，共30分）
11．直线y＝2x﹣1与y轴的交点坐标是 （0，﹣1） ．
【分析】将x＝0代入y＝2x﹣1求出y的值，即可得到直线y＝2x﹣1与y轴的交点坐标．
解：∵直线y＝2x﹣1，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
∴直线y＝2x﹣1与y轴的交点坐标是（0，﹣1），
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确直线与y轴的交点的横坐标都是0．
12．函数y＝的自变量x的取值范围是 x＞1 ．
【分析】由二次根式的被开方数大于等于0可得x﹣1≥0，由分式有意义的性质可得x﹣1≠0，即可求出自变量x的取值范围．
解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣1≠0，
即x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，AB＝10，AC+BD＝22，则△COD的周长为 21 ．
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝10，两条对角线长度之和为22，可得CD＝AB＝10，OC+OD＝11，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝AC，OD＝BD，CD＝AB＝10，
∵两条对角线长度之和为22，
∴OC+OD＝11，
∴△COD的周长为：CD+OC+OD＝21．
故答案为：21．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．已知点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于 ﹣5 ．
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式4a﹣b﹣2的值．
解：∵点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，
∴b＝4a+3，
∴4a﹣b﹣2＝4a﹣（4a+3）﹣2＝﹣5，即代数式4a﹣b﹣2的值等于﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点的坐标满足图象的解析式．
15．如图，已知坐标原点O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，顶点A的横坐标为4，AD平行x轴，且AD长为5．若平行四边形面积为10，则顶点B的坐标为 （1，﹣1） ．
【分析】由面积关系可求OM＝1，可求点D坐标，由平行四边形的性质可求解．
解：如图，连接BD，设AD与y轴交于点M，
∵点A的横坐标为4，AD平行x轴，且AD长为5．
∴点D的横坐标为﹣1，
∵平行四边形ABCD的面积为10，
∴×AD×OM＝×10，
∴OM＝1，
∴点D（﹣1，1），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∴点B（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，求出点D坐标是本题的关键．
16．如图，同一平面内的四条平行直线l1、l2、l3、l4分别过正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的边长是 ．
【分析】作BE⊥l4于点E，DF⊥l4于点F，则BE＝2，DF＝1，可证明△BCE≌△CDF，得CE＝DF＝1，则BC＝＝，于是得到问题的答案．
解：作BE⊥l4于点E，DF⊥l4于点F，则∠BEC＝∠CFD＝90°，
∵l1∥l2∥l3∥l4，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，
∴BE＝2，DF＝1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠CDF＝90°﹣∠DCF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（AAS），
∴CE＝DF＝1，
∴BC＝＝＝，
∴正方形ABCD的边长是，
故答案为：．
【点评】此题重点考查两条平行线之间的距离、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
17．如图，正方形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（1，1），（4，1），（4，4），直线y＝x+b与正方形ABCD的边始终有交点，则b的取值范围是 ﹣3≤b≤3 ．
【分析】利用正方形的性质可求出点D的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征分别求出直线y＝x+b过点B和过点D时b的值，进而可得出直线y＝x+b与正方形ABCD的边相交时b的取值范围．
解：∵四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（4，4），
∴点D的坐标为（1，4）．
当直线y＝x+b过点B时，1＝4+b，
解得：b＝﹣3；
当直线y＝x+b过点D时，4＝1+b，
解得：b＝3．
∴当直线y＝x+b与矩形ABCD的边相交时，b的取值范围为﹣3≤b≤3．
故答案为：﹣3≤b≤3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，利用极限值法找出b的最大及最小值是解题的关键．
18．如图在△ABC中，∠ACB＝60°，D是AB边的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，且DE＝，则AC的长为 2 ．
【分析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE＝AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．
解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
设AC＝x，
DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，
∴DE＝AM，DE∥AM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∵CM＝CA，
∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴AN＝AC•sin∠ACN＝x，
∴AM＝2DE＝2AN＝2，
∴AC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共90分）
19．（1）已知一次函数的图象过点（3，5）与（﹣1，﹣9），求这个一次函数的解析式．
（2）已知y+2与x+3成正比例，当x＝1时，y＝2．试求y与x的函数关系式，并求出当y＝5时x的值．
【分析】（1）用待定系数法可得答案；
（2）用待定系数法可求出y与x的函数关系式，令y＝5算出x的值即可．
解：（1）设y＝kx+b，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣；
（2）设y+2＝m（x+3），
∵当x＝1时，y＝2，
∴2+2＝4m，
解得m＝1，
∴y+2＝x+3，
∴y与x的函数关系式为y＝x+1；
当y＝5时，5＝x+1，
∴x＝4．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
20．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3，m为常数．
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若该函数的图象与直线y＝3x﹣3平行，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件知，关于x的函数y＝2x+m﹣1的图象经过点（0，0），所以把（0，0）代入已知函数解析式列出关于系数m的方程，通过解方程即可求得m的值；
（2）函数的图象平行于直线y＝3x﹣3，说明2m+1＝3，由此求得m的数值即可；
（3）根据题意列不等式组即可得到结论．
解：（1）∵关于x的函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象经过原点，
∴点（0，0）满足函数的解析式y＝（2m+1）x+m﹣3，
∴0＝m﹣3，
解得m＝3．
（2）∵函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象平行于直线y＝3x﹣3，
∴2m+1＝3，
∴m＝1；
（3）函数y＝（2m+1）x+m﹣3是一次函数，且不经过第二象限，求m的取值范围．
∴2m+1＞0且m﹣3≤0，
∴﹣＜m≤3，
∴m的取值范围是﹣＜m≤3．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点与两条直线平行的条件，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，求AE的长．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理证△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，则AC⊥BD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得BC＝AB＝5，再由三角形面积关系求出AE即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝8，
∴AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，
∵AB＝5，且32+42＝52，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，
∵S△ABC＝AC•BO＝BC•AE，
∴×6×4＝×5×AE，
解得：AE＝．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理的逆定理是解题关键．
22．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm．
（1）求∠OAD的度数；
（2）求矩形对角线AC的长．
【分析】（1）根据矩形性质得出AO＝DO＝BO＝CO，根据等腰三角形的性质求出∠OAD＝30°即可；
（2）根据含30°角直角三角形的性质求出BD的长，即可求出AC的长．
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AO＝OC，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝DO＝BO＝CO，
∵∠AOD＝120°
∴；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ODA＝30°，
∴BD＝2AB＝2×4＝8（cm），
∴AC＝BD＝8cm．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含30°角直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
23．一个周末上午8：00，小张自驾小汽车从家出发，带全家人去一个4A级景区游玩，小张驾驶的小汽车离家的距离y（千米）与时间t（时）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题：
（1）小张家距离景区 200 千米，全家人在景区游玩了 4.5 小时；
（2）在去景区的路上，汽车进行了一次加油，之后平均速度比原来增加了20千米/时，试求他加油共用了多少小时？
（3）如果汽车油箱中原来有油25升，平均每小时耗油10升，问小张在加油站至少加多少油才能开回家？
【分析】（1）根据图示，由纵轴可得小张家距离景区的距离，在旅游景点停留的时间可以知道游玩的时间．
（2）根据图象信息，先求出加油后行驶时间，进一步可以得出他加油共用了多少小时．
（3）从图中信息可知，根据回来时的函数可得到家的时间，进一步得到行驶时间，从而得到小张在加油站至少加多少油才能开回家．
解：（1）由图示信息可知，小张家距离景区200千米，在景区停留了15﹣10.5＝4.5（小时），所以游玩了4.5小时．
故答案为：200；4.5；
（2）120÷（9.5﹣8）＝80（千米/时）
＝0.8（小时），
10.5﹣9.5﹣0.8＝0.2（小时）．
故他加油共用了0.2小时；
（3）200÷＝2.5（小时），
9.5﹣8+0.8+2.5＝4.8（小时），
10×4.8﹣25＝23（升）．
故小张在加油站至少加23升油才能开回家．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质．
24．小明在学习一次函数后，对形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n为常数，且k≠0）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：
【特例探究】
（1）如图所示，小明分别画出了函数y＝（x﹣1）+2，y＝﹣（x﹣1）+2，y＝2（x﹣1）+2的图象．
请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数y＝﹣2（x﹣1）+2的图象．
【深入探究】
（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现y＝k（x﹣1）+2（k为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是 （1，2） ．
【得到性质】
（3）函数y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是 （m，n） ．
【实践运用】
（4）已知一次函数y＝k（x+2）+3（k为常数，且k≠0）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若△OAN的面积为2，则k的值为 ﹣或﹣ ．
【分析】（1）列表，描点、连线画出直线y＝﹣2（x﹣1）+2即可；
（2）观察图象即可得到结论；
（3）根据（2）的规律即可求得经过；
（4）求得定点坐标与y轴的交点A，然后利用三角形面积即可得到关于k的方程，解方程即可．
解：（1）列表：
描点、连线，画出直线y＝﹣2（x﹣1）+2如图：
（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现y＝k（x﹣1）+2（k为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）；
（3）函数y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是（m，n），
故答案为：（m，n）；
（4）∵一次函数y＝k（x+2）+3（k为常数，且k≠0）的图象一定过点N，
∴N（﹣2，3），
∵与y轴相交于点A，
∴A（0，2k+3），
∴OA＝|2k+3|，
∵△OAN的面积为2，
∴×|2k+3|×2＝2，
∴k＝﹣或k＝﹣，
故答案为：﹣或﹣．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
25．如图是一张矩形纸片ABCD，按照下面步膯进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片沿AM折叠，使得点D的对应点N落在AB上，连接MN，然后把纸片展开．
第二步：如图②，将四边形ADMN沿PQ对折，使AD与NM重合．将纸片展开，得到折痕PQ，然后连接NQ．
第三步：如图③，折叠纸片使得NQ落在DC上，折痕为EQ，点N的对应点为F．
（1）试判断四边形ADMN的形状并说明理由；
（2）求图③中四边形NQFE的面积与四边形ADMN的面积的比值．
【分析】（1）利用折叠的性质先得到四边形ADMN是矩形，进而得到四边形ADMN的正方形；
（2）先依据勾股定理得到NQ与MN的比值，再根据四边形面积计算公式，即可得到四边形NQFE的面积与四边形ADMN的面积的比值．
解：（1）四边形ADMN的形状是正方形．
理由：由折叠可得，∠ANM＝∠D＝90°，
又∵∠DAN＝90°，
∴四边形ADMN是矩形，
由折叠可得AD＝AN，
∴四边形ADMN是正方形；
（2）由折叠可得QM＝DM＝MN，
∴QM：MN＝1：2，
又∵∠NMQ＝90°，
∴QM：MN：NQ＝1：2：，
由折叠可得，∠NQE＝∠FQE，
∵NE∥QF，
∴∠NEQ＝∠EQF，
∴∠NQE＝∠NEQ，
∴NE＝NQ，
∵NE∥QF，NQ∥EF，
∴四边形NQFE是平行四边形，
∴＝＝＝＝，
∴四边形NQFE的面积与四边形ADMN的面积的比值＝．
【点评】本题主要考查了折叠变换以及矩形的性质的运用，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AE翻折，点O落在矩形的对角线AC上的点E处．
（1）求OD的长；
（2）求点E的坐标；
（3）DE所在直线与AB相交于点M，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负性解答即可，根据勾股定理，可得OD的长．
（2）过E作EG⊥OC，利用面积法求出EG，DG即可．
（3）得出DE的解析式，进而利用平行四边形的性质解答即可．
解：（1）设OD＝x，
∵线段OA，OC的长分别是m，n且满足，
∴OA＝m＝6，OC＝n＝8，
由翻折的性质可得：OA＝AE＝6，OD＝DE＝x，DC＝8﹣OD＝8﹣x，
AC＝＝10，
可得：EC＝10﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得：DE2+EC2＝DC2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
可得：DE＝OD＝3；
（2）过E作EG⊥OC，
在Rt△DEC中，S△ACD＝DE•EC＝DC•EG，
即×3×4＝5•EG，
解得：EG＝2.4，
在Rt△DEG中，DG＝＝1.8，
所以点E的坐标为（4.8，2.4），
（3）存在，理由：
由点D、E的坐标得，DE的解析式为：y＝x﹣4，
把y＝6代入DE的解析式y＝x﹣4，可得：x＝7.5，
即AM＝7.5，
当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，
CN＝AM＝7.5，
所以ON＝8+7.5＝15.5，ON'＝8﹣7.5＝0.5，
即存在点N，且点N的坐标为（0.5，0）或（15.5，0）．
【点评】本题考查了一次函数综合运用，主要考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果．
t（分）
0
2
4
6
8
10
h（厘米）
40
36
32
28
24
20
t（分）
0
2
4
6
8
10
h（厘米）
40
36
32
28
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