人教版七年级数学下册第7章平面图形的认识(二)重难点检测卷(原卷版+解析)

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第7章 平面图形的认识（二）重难点检测卷 注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2023秋·河北唐山·八年级唐山市第十二中学校考期末）一个多边形的内角和等于它外角和的倍，这个多边形是（    ）边形．A．15 B．16 C．17 D．182． (2023秋·山东泰安·七年级统考期中）有四根木条，长度分别是5cm、6cm、11cm、16cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是（　　）个A．1 B．2 C．3 D．43． (2023秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于（     ）A．42° B．66° C．65° D．75°4．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列说法中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同旁内角互补，两直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；④同一平面内两条不相交的直线一定平行．其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5． (2023秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，在中，为中线，则与的周长之差为（　　）A．1 B．2 C．3 D．46． (2023秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，是边上的一点（不与点B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，△ACE的面积为，若，则的面积为（　　）A．6 B．8 C．9 D．107．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，为内的一点，且，，则的大小为（    ）A． B． C． D．8． (2023秋·河北唐山·八年级统考期中）要得知作业纸上两相交直线、所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（    ）方案Ⅰ：①作一直线，交、于点E，F；②利用尺规作；③测量的大小即可．方案Ⅱ：①作一直线，交、于点E，F；②测量和的大小；③计算即可．A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行9．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）； ①；②若，则；③如图（2）中，若，，则；④如图（2）中，若，，则．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④10． (2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（　　）A．24 B．28 C．35 D．30二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11． (2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在中，，，则的长的取值范围是______．12． (2023秋·西藏林芝·七年级校考期末）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是______．13． (2023秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是_____边形．14． (2023秋·河南许昌·八年级统考期中）如图，在中，平分，．若，，则的面积为______．15． (2023秋·河南漯河·八年级统考期中）在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的度数为___________．16． (2023秋·八年级单元测试）如图，，，的平分线与的平分线交于点，则__度．17． (2023秋·浙江·七年级专题练习）如图，长方形中，，，点E是的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当________秒时，△APE的面积等于．18． (2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，直线与直线、分别交于点、，，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，连接，是上一点使，作平分，交于点，，则_________．三、解答题（10小题，共64分）19． (2023秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）一个正多边形的每个内角都等于，求该正多边形的边数是多少？20．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，若，请说出和之间的数量关系，并说明理由．解：∠A+∠D=180°．理由如下：∵ （　　　　）∴（　　）∵（　　　　）∴（　　　　）∴（　　　　）21． (2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）已知，．(1)如图1，求证：；(2)延长交于点G，直接写出的内错角．22． (2023秋·八年级课时练习）按要求完成下列各小题．(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；(2)已知的三边长分别为3，5，a，化简．23． (2023秋·湖南长沙·八年级校考期中）如图，在中，，平分．(1)若，，求和的度数；(2)若，求的度数．24． (2023秋·浙江·七年级专题练习）例题：图（a）、（b）、（c）、（d）都称作平面图．(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中（其中（a）已填好）．(2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据（2）中推断出的关系，确定这个图有多少条边？25． (2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，分别是的高和角平分线，，．(1)求的度数．(2)求的度数．(3)探究：如果只知道，那么能得到的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．26． (2023秋·吉林长春·七年级统考期末）【感知】如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；（直接写出答案）(2)【探究】如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；(3)【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．①点P在线段上；②点P在射线上．27． (2023秋·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）【问题情景】如图1，若，，．过点作，则___________；【问题迁移】如图2，，点在的上方，点，分别在，上，连接，，过点作，问，，之间的数量关系是___________，请在下方说明理由；【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，过点作，则___________．28． (2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．(1)填空：_________，_________．(2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，①请直接写出__________，________（结果用含n的代数式表示）；②若恰好是的倍，求n的值．(3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则_______②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．图顶点数边数区域数（a）463（b）（c）（d）第7章 平面图形的认识（二）重难点检测卷 注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2023秋·河北唐山·八年级唐山市第十二中学校考期末）一个多边形的内角和等于它外角和的倍，这个多边形是（    ）边形．A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理，列出方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，，解得，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理．2． (2023秋·山东泰安·七年级统考期中）有四根木条，长度分别是5cm、6cm、11cm、16cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是（　　）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先把每三根组合的所有情况列举出来，再根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”进行分析．【详解】由四根木条的长度可知有5、6、11，5、6、16，6、11、16，三组可能，根据三角形的两边之和大于第三边可以判断5、6、11，5、6、16，这两组不能够成三角形，只有6、11、16，这一组可以构成三角形．故选A【点睛】此题考查三角形的三边关系，解题的关键在于分情况讨论．3． (2023秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于（     ）A．42° B．66° C．65° D．75°【答案】C【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理即可求出【详解】∵在中，，，∴，由折叠的性质可得：，∴故选：C【点睛】本题考查三角形折叠中的角度问题，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于是解题的关键．4．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列说法中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同旁内角互补，两直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；④同一平面内两条不相交的直线一定平行．其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】依据平行公理，平行线的判定，点到直线的距离的定义判定即可．【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；②同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故本选项错误；④同一平面内两条不相交的直线一定平行，故本选项正确，综上所述，说法正确的有②④共2个．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等，熟记平行线的性质和公理是解题的关键．5． (2023秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，在中，为中线，则与的周长之差为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用中线的定义可知，可知与的周长之差即为和的差，可求得答案．【详解】解：∵是的中线，∴，∵周长，周长，∴周长−周长，即与的周长之差是2，故选：B．【点睛】本题主要考查三角形中线的定义，由条件得出两三角形的周长之差即为和的差是解题的关键．6． (2023秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，是边上的一点（不与点B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，△ACE的面积为，若，则的面积为（　　）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】点E，F是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积．【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点，∴，∴同理，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比7．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，为内的一点，且，，则的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用三角形内角和定理求出，从而可求出，进而可得，可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．【详解】解：，，，，，，，故选：B．【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，解题的关键是灵活运行三角形内角和的性质进行求解．8． (2023秋·河北唐山·八年级统考期中）要得知作业纸上两相交直线、所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（    ）方案Ⅰ：①作一直线，交、于点E，F；②利用尺规作；③测量的大小即可．方案Ⅱ：①作一直线，交、于点E，F；②测量和的大小；③计算即可．A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行【答案】C【分析】根据内错角相等，两直线平行，可判断方案Ⅰ可行；根据三角形内角和定理，可判断方案Ⅱ可行，即可得到答案．【详解】解：方案Ⅰ：，，直线、所夹锐角的大小等于直线、所夹锐角的大小，测量的大小即可得到直线、所夹锐角的大小，方案Ⅰ可行；方案Ⅱ：直线、所夹锐角与和可组成三角形，即直线、所夹锐角，方案Ⅱ可行，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．9．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）； ①；②若，则；③如图（2）中，若，，则；④如图（2）中，若，，则．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答．【详解】解：分别过、作，，∵，∴，∴，，∴，即，①正确； ∵，，∴，∵，∴，，∴，②正确，与上同理，，∴，∴，③正确，由题意，④不一定正确，∴①②③正确，故选：C．【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．10． (2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（　　）A．24 B．28 C．35 D．30【答案】D【分析】连接，设，表示出、，进而得出四边形DEFG的面积的表达式，从而求出的值，即可得出△ABC的面积．【详解】解：连接，过点作于点，设，∵为的中点，∴，∵，， ∴，∴，∵，∴同理可得：，∴，∵，∴，∴同理可得：，∵为的中点，∴同理可得：，∵，∴，∴同理可得：，∴四边形DEFG的面积为：，∴，解得：，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的面积的应用，如果知道两个三角形同高，那么这两个三角形的面积的比等于它们的底的比，牢记此性质是解题的关键．二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11． (2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在中，，，则的长的取值范围是______．【答案】##【分析】直接利用三角形的三边关系写出答案即可．【详解】解：在中，，，，即：，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的两边之和大于第三边，难度不大．12． (2023秋·西藏林芝·七年级校考期末）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是______．【答案】##78度【分析】根据方向角的定义，即可求得，，的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：，是正南和正北方向，，处在处的南偏西方向，，处在处的南偏东方向，，，又处在处的北偏东方向，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．13． (2023秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是_____边形．【答案】十二【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得：，解得．故答案为：十二．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．14． (2023秋·河南许昌·八年级统考期中）如图，在中，平分，．若，，则的面积为______．【答案】【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】如图，作于点F，∵平分，，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，与三角形的高有关的计算问题，运用角平分线的性质求解的长是解题的关键．15． (2023秋·河南漯河·八年级统考期中）在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的度数为___________．【答案】##105度【分析】根据三角形的外角性质计算即可．【详解】解：由题意可得：，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．16． (2023秋·八年级单元测试）如图，，，的平分线与的平分线交于点，则__度．【答案】145【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，，根据角平分线的定义可得，，再根据四边形内角和为结合角的计算即可得出结论．【详解】解：如图，过点作，∵，∴，，，，又，，和的平分线相交于，，四边形的的内角和为，，故答案为：145．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．17． (2023秋·浙江·七年级专题练习）如图，长方形中，，，点E是的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当________秒时，△APE的面积等于．【答案】或【分析】分析题意可知有三种情况，即点P在上，上及上；再根据分上述三种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可．【详解】解：①如图1， 当P在上时，，∵的面积等于5， ∴ ， 解得． ②当P在上时，，如图2， ∵的面积等于5， ∴，∴， 解得． ③当P在上时，，如图3， ∴ ， 解得，不合题意，舍去． 综上可知，当或5时，的面积等于．故答案为：或【点睛】本题考查长方形的性质和三角形的面积公式的应用，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．18． (2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，直线与直线、分别交于点、，，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，连接，是上一点使，作平分，交于点，，则_________．【答案】30度##【分析】根据，与的角平分线交于点，可得，即可得，则有，进而可得，，，即有，结合平分，可得，进而可得，问题随之得解．【详解】∵，∴，∵与的角平分线交于点，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．三、解答题（10小题，共64分）19． (2023秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）一个正多边形的每个内角都等于，求该正多边形的边数是多少？【答案】【分析】多边形的外角和等于，正多边形的每个外角相等，由此即可求解．【详解】解：正多边形的每个内角都等于，正多边形的每个外角都等于，多边形的外角和等于，该正多边形的边数是，答：该正多边形的边数是．【点睛】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角相等是解题的关键．20．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，若，请说出和之间的数量关系，并说明理由．解：∠A+∠D=180°．理由如下：∵ （　　　　）∴（　　）∵（　　　　）∴（　　　　）∴（　　　　）【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；已知；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换【分析】根据平行线的性质得到，，由此即可推出．【详解】解：，理由如下：∵ (已知 )，∴（两直线平行，同位角相等）∵（已知）∴（两直线平行，同旁内角互补）∴（等量代换）故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；已知；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．21． (2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）已知，．(1)如图1，求证：；(2)延长交于点G，直接写出的内错角．【答案】(1)见详解；(2)、、．【分析】（1）利用，得，从而转换角可得，再利用三角形内角定理可得结论；（2）根据内错角的概念可得答案．【详解】（1）∵∴∴又∵∴又∵在中，，在中，，∴（2）根据内错角的概念可得：的内错角有：、、．【点睛】本题考查平行线的判定及三角形内角和定理，关键在于寻找公共角进行等量代换．22． (2023秋·八年级课时练习）按要求完成下列各小题．(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；(2)已知的三边长分别为3，5，a，化简．【答案】(1)的周长为(2)【分析】（1）根据三角形的三边关系以及的长为偶数，即可求得的长，从而即可得解；（2）根据三角形的三边关系可求得的取值范围，从而化简不等式计算即可．【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得：，即．∵为偶数，∴，∴的周长为；（2）解：∵的三边长分别为3，5，a，∴，解得，∴．【点睛】本题主要考查了三角形的三边间的关系，熟记三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．23． (2023秋·湖南长沙·八年级校考期中）如图，在中，，平分．(1)若，，求和的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，进而利用角平分线的定义求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案；（2）同（1）求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，即，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，即，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．24． (2023秋·浙江·七年级专题练习）例题：图（a）、（b）、（c）、（d）都称作平面图．(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中（其中（a）已填好）．(2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据（2）中推断出的关系，确定这个图有多少条边？【答案】(1)见解析(2)顶点数区域数边数(3)边数为1997条【分析】（1）根据图示分析即可解；（2）根据表格的分析结果可解；（3）根据（2）中所得出的关系即可得出答案．【详解】（1）解：所填表如下所示：（2）解：由（1）中的结论得：设顶点数为，则边数；区域数，即顶点数区域数边数；（3）解：某一平面图有999个顶点和999个区域，根据（2）中推断出的关系有边数，解得：边数为1997条．【点睛】本题考查了平面图形的知识，注意从特殊情况入手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本题的关键．25． (2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，分别是的高和角平分线，，．(1)求的度数．(2)求的度数．(3)探究：如果只知道，那么能得到的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)能，理由见解析【分析】（1）利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合角平分线的定义即可求出的度数；（2）在Rt中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合可求出的度数；（3）设，则，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，可用含的代数式表示出的度数，在Rt，利用三角形内角和定理可用含的代数式表示出的度数，再结合可求出的度数．【详解】（1）在中，，，∴．∵平分，∴；（2）在Rt中，，，∴，∴；（3）能，理由：设，则，∴．∵平分，∴．在Rt，，∴，故若只知道，也能得到．【点睛】本题考查了三角形内角和定义、列代数式以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数；（2）利用三角形内角和定理，求出的度数；（3）利用三角形内角和定理及角平分线的定义，利用含的代数式表示出和的度数．26． (2023秋·吉林长春·七年级统考期末）【感知】如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；（直接写出答案）(2)【探究】如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；(3)【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．①点P在线段上；②点P在射线上．【答案】(1)110(2)，见解析(3)选①，，见解析选，②，，见解析【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出，即可得到答案；（2）利用两直线平行内错角相等得到，，由即可得到结论；（3）①过点P作，则．再证得到．由即可得到结论．②过点P作，．则．由即可得到．【详解】（1）解：过点P作，∵，∴，∴，，∴，，∴．故答案为：（2），理由如下：如图1，过点P作，∴．∵，∴，∴．∵，∴．（3）①如图2，，理由如下：过点P作，∴．∵，∴，∴．∵，∴．②如图3，，理由如下：过点P作，∴．∵，∴，∴．∵，∴．【点睛】此题考查了平行线的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．27． (2023秋·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）【问题情景】如图1，若，，．过点作，则___________；【问题迁移】如图2，，点在的上方，点，分别在，上，连接，，过点作，问，，之间的数量关系是___________，请在下方说明理由；【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，过点作，则___________．【答案】【问题情景】；【问题迁移】，理由见解析；【联想拓展】．【问题情景】根据两直线平行内错角相等求出，根据两直线平分线同旁内角互补得到，进而可求出的度数；【问题迁移】首先根据平行线的性质得到，然后根据平行线的性质得到，进而可得到；【联想拓展】首先根据两直线平行内错角相等得到，然后根据角平分线的概念得到，最后结合上面的结论求解即可．【详解】解：【问题情景】，．，，．，．．即．解：【问题迁移】．理由：，，，，，，，．解：【联想拓展】，，，又的平分线和的平分线交于点G，，由（2）可知，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．28． (2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．(1)填空：_________，_________．(2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，①请直接写出__________，________（结果用含n的代数式表示）；②若恰好是的倍，求n的值．(3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则_______②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)120，90(2)①，；②30(3)①40；②存在，12s或48s【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质即可解答；（2）①根据邻补角的定义和平行线的性质以及三角形的内角和与外角的性质即可解答；②根据列出关于n的方程即可求解；（3）①根据题意画出图形进行求解即可；②结合图形，分，在的同侧；，在的异侧讨论求解．（1）解∶如图1，由题意知∶，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠3=∠ACB=90°，∴，；故答案为：120，90；（2）解∶ ① 如图2，由题意知∶，∠ACB=90°，，∠A=30°，∴，∴，∵，∴，∴，，故答案为：，；②若，则，解得；所以n的值为30；（3）解：①如图3，由题意知∶，，∵∠AQG=60°，∴QN和QG重合，∵，∠QPB=∠MBF=40°，故答案为：40；②若，在的同侧，如图4，由题意知∶，，，若，只需即，解得若，在的异侧，如图5，由题意知∶，，， 若，只需即，解得综上所述或，时．【点睛】本题考查了平行线角的计算，旋转的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．图顶点数边数区域数（a）463（b）（c）（d）图顶点数边数区域数（a）463（b）8125（c）694（d）10156