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初中数学苏科版七年级下册9.4 乘法公式同步测试题
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这是一份初中数学苏科版七年级下册9.4 乘法公式同步测试题，共44页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12899" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12899 \h 1
\l "_Tc14205" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc14205 \h 1
\l "_Tc32701" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc32701 \h 2
\l "_Tc15882" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc15882 \h 5
\l "_Tc9452" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc9452 \h 6
\l "_Tc5658" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc5658 \h 7
\l "_Tc28546" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc28546 \h 9
\l "_Tc16678" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc16678 \h 15
\l "_Tc17559" 【过关检测】 PAGEREF _Tc17559 \h 18
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题： (2023·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【变式训练】
1． (2023·四川乐山·八年级期末）化简：
2． (2023·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题： (2023·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【变式训练】
1． (2023·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
2． (2023·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题： (2023·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【变式训练】
1． (2023·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
2． (2023·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：
(1)； (2)．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题： (2023·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【变式训练】
1． (2023·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
2． (2023·山东烟台·八年级期中）关于的二次三项式是完全平方式，则的值是______________．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题： (2023·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值．其中x＝2，y＝-1．
【变式训练】
1． (2023·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）先化简再求值：，其中a＝﹣，b＝﹣2．
2． (2023·黑龙江大庆·七年级期末）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题： (2023·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代数式的值．
【变式训练】
1． (2023·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
2． (2023·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题： (2023·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【变式训练】
1． (2023·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，种纸片是边长为的 正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形， 并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形， 则需要号卡片 1 张，号卡片 2 张，号卡片________张．
(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ：，，求的值；
②已知，求的值．
2． (2023·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式 (2023﹣m）（m﹣2022）=_____．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题： (2023·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【变式训练】
1． (2023·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
2． (2023·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）下列等式中，能成立的是（ ）
A． B．
C．D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
3． (2023秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．5B．25C．37D．6
4． (2023秋·河北承德·八年级统考期末）已知是完全平方式，则m的值（ ）
A．4B．9C．16D．
5． (2023秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6． (2023春·陕西西安·七年级校考期中）化简：____．
7． (2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中）若，则___．
8．（2023春·七年级课时练习）若，那么的值为 __．
9． (2023秋·吉林长春·八年级校考期末）已知关于x的多项式是完全平方式，则k的值为_______．
10．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中a>b）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是_______________________ ．
三、解答题
11．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）计算：．
12．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）计算：
13． (2023秋·河南信阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
14． (2023秋·河南鹤壁·八年级校考期中）先化简，再求值，其中，，．
15． (2023春·甘肃兰州·七年级统考期末）先化简，再求值：
已知，求代数式的值．
16． (2023春·山东青岛·七年级校考期中）解答题：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)先化简，再求值，其中，．
17．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为________；宽为________；面积为________．
（2）由（1）可以得到一个公式：________．
（3）利用你得到的公式计算：．
18． (2023秋·广西南宁·八年级校考期中）阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；
∴______0（填“>”，“<”，“=”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
19． (2023秋·河南信阳·八年级校考期末）阅读材料题：
我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：________________；
(2)代数式有最________（填“大”或“小”）值为________；
(3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
20． (2023秋·重庆长寿·八年级统考期末）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
(1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；
(2)根据（1）中的结论，若，，则______；
(3)拓展应用：若，求的值．
专题11 乘法公式(平方差公式和完全平方公式)压轴题八种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12899" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12899 \h 1
\l "_Tc14205" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc14205 \h 1
\l "_Tc32701" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc32701 \h 2
\l "_Tc15882" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc15882 \h 5
\l "_Tc9452" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc9452 \h 6
\l "_Tc5658" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc5658 \h 7
\l "_Tc28546" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc28546 \h 9
\l "_Tc16678" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc16678 \h 15
\l "_Tc17559" 【过关检测】 PAGEREF _Tc17559 \h 18
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题： (2023·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：能用平方差公式计算的有；，
则能用平方差公式简便计算的有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023·四川乐山·八年级期末）化简：
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
2． (2023·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【答案】，-15
【分析】根据平方差公式即可进行化简，再代入x，y求值即可．
【详解】解：原式=
=
=，
当时，
原式=
=
=．
【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题： (2023·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝
(2)①9996②
【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；
（2）应用平方差公式进行计算即可．
（1）
解：大的正方形边长为a，面积为，小正方形边长为b，面积为，
∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
∴图1阴影部分面积＝，
图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），
∵图1的阴影部分与图2面积相等，
∴（a+b）（a﹣b）＝，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝；
（2）
①102×98
＝（100+2）（100﹣2）
＝
＝10000﹣4
＝9996；
②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）
＝[（2m﹣3）+n）][（2m﹣3）﹣n]
＝
＝．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景的应用，根据题意运用平方差公式计算是解决本题的关键
【变式训练】
1． (2023·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1），a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）＝（a+b）（a﹣b）；（3）1
【分析】（1）由图形所示，由正方形、长方形的面积公式可得此题结果；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（2）结论＝（a+b）（a﹣b），可得＝1．
【详解】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是；图2的长为a+b，宽为a﹣b，其面积（a+b）（a﹣b）；
故答案为：，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：＝（a+b）（a﹣b）；；
（3）由（2）题结果＝（a+b）（a﹣b），
可得
【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能用不同整式表示出图形面积，并能运用所得结论进行计算．
2． (2023·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【答案】(1)
(2)①3；②
(3)5050
【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式进行计算；
（3）利用平方差公式将写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．
（1）
图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式
故答案为
（2）
解：①∵，2m＋n＝4，
∴
故答案为：3
②
=
（3）
=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）
=199+195+…+7+3
=5050．
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题： (2023·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再去括号，最后合并同类项，即可求得．
【详解】解：
【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，解本题的关键在注意去括号时符号的变化．完全平方公式：．
【变式训练】
1． (2023·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
【答案】，3．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
当x=-1，y=2时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．
2． (2023·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先根据完全平方公式及平方差公式、单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项即可求得结果；
(2)首先根据平方差公式及完全平方公式进行计算，再根据完全平方公式及合并同类项法则进行运算，即可求得结果．
（1）
解：
（2）
解：
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题： (2023·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【答案】±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴k＝±23＝±6，
故答案为：±6．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式训练】
1． (2023·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
【答案】4
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和-2，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵-4x=2×(-2)x，
∴这两个数是x和-2，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
2． (2023·山东烟台·八年级期中）关于的二次三项式是完全平方式，则的值是______________．
【答案】2或0##0或2
【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．
【详解】解： ∵关于的二次三项式是一个完全平方式，
∴
∴，
∴或，
故答案为：2或0．
【点睛】本题考查了完全平方式的知识，属于常考题型，熟知完全平方式的结构特征，是解题关键．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题： (2023·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值．其中x＝2，y＝-1．
【答案】x，2
【分析】先根据乘法公式，单项式除以多项式计算中括号内的整式运算，然后根据单项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）先化简再求值：，其中a＝﹣，b＝﹣2．
【答案】，-3
【分析】先计算括号内的乘法，再去括号，然后计算除法，再把a＝﹣，b＝﹣2代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
当a＝﹣，b＝﹣2时，
原式
【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．
2． (2023·黑龙江大庆·七年级期末）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
【答案】(1)原式，当，时，原式
(2)原式2ab，当a= ，b= -1时，原式1
【分析】（1）先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
（2）首先利用多项式除以单项式的运算法则以及平方差公式对原式进行化简，然后去括号得到最简式，再将，代入最简式计算即可求解．
（1）
=
=
=．
当，时，
原式．
（2）
=
=．
当，时，
原式1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，多项式除以单项式以及平方差公式，正确根据运算法则进行化简是解题的关键．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题： (2023·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代数式的值．
【答案】37
【分析】利用完全平方公式的变形求解即可．
【详解】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
【答案】(1)17
(2)9
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（1）
解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）
∵，，
∴．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
2． (2023·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
【答案】(1)32
(2)30
【分析】（1）结合题意，，代入即可得出答案；
（2）由（1）可知，，ab＝2，代入即可得出答案．
（1）
解：∵a+b＝6，ab＝2，
∴；
（2）
解：由（1）可知，，ab＝2，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，结合条件对完全平方公式变形是本题的关键．
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题： (2023·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【答案】(1)m-n
(2)或
(3)
(4)29
【分析】（1）根据题意可得图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即可求解；
（2）根据图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积或图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，即可求解；
（3）由（2）写出等量关系，即可求解；
（4）根据（3）中的结论可得，再把，代入，即可求解．
（1）
解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；
（2）
解：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，所有其面积为；
故答案为：或
（3）
解：由（2）得：；
（4）
解：由（3）得：
当a+b=7，ab=5时，
，
故答案为：29
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义，解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
【变式训练】
1． (2023·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，种纸片是边长为的 正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形， 并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形， 则需要号卡片 1 张，号卡片 2 张，号卡片________张．
(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)①ab的值为7；②x-2020=±3
【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系；
（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a=x-2020，从而得到a+1=x-2019，a-1=x-2021，代入计算即可．
（1）
大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
（2）
∵，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
（3）
①∵，
∴25=11+2ab,
∴ab=7，
即ab的值为7；
②令a=x-2020，
∴x-2019
=[x- (2023-1）]
=x-2020+1
=a+1，
x-2021
=[x- (2023+1）]
=x-2020-1
=a-1，
∵，
∴，
解得．
∴，
∴x-2020=±3．
【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积是得出等量关系的关键．
2． (2023·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式 (2023﹣m）（m﹣2022）=_____．
【答案】(1)
(2)49
(3)
(4)－4
【分析】（1）阴影部分是边长为的正方形，根据正方形的面积公式可得面积为，阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，于是可得等式；
（2）由（1）得，代入计算即可；
（3）化简结果为，再代入计算即可；
（4）设，，则，，由可求出的值，即可得出答案．
（1）
解：图2中的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图2的阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，
所以有：，
故答案为：；
（2）
由（1）得，
当，，
则，
故答案为：49；
（3）
，，
原式
；
（4）
设，，
则，，
，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及公式变形是解决问题的前提．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题： (2023·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【答案】(1)小丽的求解过程正确；
(2)的最小值为，过程见解析
(3)的最大值为
【分析】（1）将式子的一部分利用完全平方公式，写成平方加上一个数的形式，根据平方的非负性即可求解；
（2）根据（1）的方法即可求解；
（3）根据（1）的方法即可求解．
（1）
小丽的求解过程正确；
（2）
我能出的最小值为，
，
，
的最小值为；
（3）
解：∵
，
∴的最大值为7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
【答案】(1)-2；1
(2)-2
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）利用完全平方公式变形，再求最值．
（3）作差后利用完全平方公式变形，再比较大小．
（1）
解：﹣4x+5＝﹣4x+4+1＝．
故答案为：﹣2，1．
（2）
2+4x＝2（+2x+1﹣1）＝，
∵≥0，
∴≥﹣2，
∴当x+1＝0即x＝﹣1时，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
即的最小值是﹣2．
（3）
－＝﹣2x+1+1＝，
∵≥0，
∴+1＞0，
∴＞2x﹣3．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，正确变形，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
2． (2023·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【答案】(1)－3，－21；
(2)3，大，6；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案；
（2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案；
（3）移项可得，利用完全平方公式对变形，然后根据偶次方的非负性可得答案．
（1）
解：，
∵，
∴时，代数式的值最小，最小值为－21，
即当x＝－3时，代数式可取最小值－21，
故答案为：－3，－21；
（2）
，
∵，
∴当时，代数式的值最大，最大值为6，
即当x＝3时，y有最大值6．
故答案为：3，大，6；
（3）
∵，
∴，
∵，，
∴当时，的值最小，最小值为，
即当x＝时，y+2x的最小值为．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）下列等式中，能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可作出判断．
【详解】解：A、 ，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】把所求式子变形为，再整体代入即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式公式，熟练掌握平方差公式的变形是解题的关键．
3． (2023秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．5B．25C．37D．6
【答案】B
【分析】利用完全平方公式进行变形计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．
4． (2023秋·河北承德·八年级统考期末）已知是完全平方式，则m的值（ ）
A．4B．9C．16D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵是完全平方式，且
∴，
故选：B
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
5． (2023秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】从图中可以得出，大正方形的边长为，大正方形的面积就为，4个矩形完全相同，且长为a，宽为b，则4个矩形的面积为，中间的正方形的边长为，面积等于，大正方形面积减去4个矩形的面积就等于中间阴影部分的面积．
【详解】解：∵四周部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b，
∴四个矩形的面积为，
∵大正方形的边长为，
∴大正方形面积为，
∴中间小正方形的面积为，
而中间小正方形的面积也可表示为：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，利用正方形面积和矩形的面积的计算方法解决问题．
二、填空题
6． (2023春·陕西西安·七年级校考期中）化简：____．
【答案】##
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
7． (2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中）若，则___．
【答案】660
【分析】利用完全平方公式展开，即可代入计算．
【详解】解：
，
∵，
∴．
故答案为：660．
【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式，通过对公式的变形，达到灵活使用公式的目的．
8．（2023春·七年级课时练习）若，那么的值为 __．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
【详解】解：
，
当时，原式
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查整式的混合运算，灵活应用整体思想代入求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
9． (2023秋·吉林长春·八年级校考期末）已知关于x的多项式是完全平方式，则k的值为_______．
【答案】9或
【分析】根据完全平方公式的结构特点，建立关于k的方程，求解即可．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴或
∴或，
解得或，
故答案为：9或．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解完全平方公式有和与差两种形式是解题的关键．
10．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中a>b）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是_______________________ ．
【答案】a2-b2=（a+b）（a-b）
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b）的长方形，面积是（a+b）（a-b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【详解】解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
三、解答题
11．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式去括号，进而合并同类项得出答案即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式和整式的混合运算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式是解题的关键．
12．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）计算：
【答案】
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算即可得．
【详解】解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．
13． (2023秋·河南信阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】原式去括号、合并同类项即可化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【详解】解：
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算－化简求值，掌握整式的混合运算顺序和运算法则是关键．
14． (2023秋·河南鹤壁·八年级校考期中）先化简，再求值，其中，，．
【答案】，
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式的运算法则进行化简，再将，代入计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式，解题的关键是正确化简．
15． (2023春·甘肃兰州·七年级统考期末）先化简，再求值：
已知，求代数式的值．
【答案】，
【分析】先利用完全平方公式与平方差公式以及单项式乘以多项式进行乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再由可得，整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算中的化简求值，熟练的利用乘法公式进行化简，再整体代入求值是解本题的关键．
16． (2023春·山东青岛·七年级校考期中）解答题：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)先化简，再求值，其中，．
【答案】(1)
(2)0
(3)
(4)
(5)；
【分析】（1）分别利用同底数幂的乘法、除法及积的乘方计算后，再合并同类项即可；
（2）把用平方差公式展开，再化简即可；
（3）用多项式乘法展开再合并同类项即可；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式展开即可；
（5）先用平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式展开并合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可，再把字母的值代入化简后的式子中求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
当，时，原式．
【点睛】本题是整式混合运算的综合应用，考查了幂的混合运算，整式乘法与除法，乘法公式等知识，掌握这些知识并熟练进行运算是解题的关键．
17．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为________；宽为________；面积为________．
（2）由（1）可以得到一个公式：________．
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1），，，；（2）；（3）4
【分析】（1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积－小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论；
（2）由（1）建立等量关系即可；
（3）根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：
图1阴影部分的面积为：，
图2长方形的长为：，
图2长方形的宽为：，
面积为：，
故答案为：，，，；
（2）由（1）可得：
，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题主要考查平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．
18． (2023秋·广西南宁·八年级校考期中）阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；
∴______0（填“>”，“<”，“=”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)2，5，>
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据完全平方公式的形式配方求解即可；
（2）分别表示出，，然后利用作差法求解即可．
【详解】（1）
∵
∴
故答案为：2，5，>；
（2）
∴
∵
∴
∴．
【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式．
19． (2023秋·河南信阳·八年级校考期末）阅读材料题：
我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：________________；
(2)代数式有最________（填“大”或“小”）值为________；
(3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)2，1；
(2)大，；
(3)长为米，宽为米时，面积最大为．
【分析】（1）根据完全平方公式同时加上一次项系数一半平方即可得到答案；
（2）将原式变形配方，再根据完全平方非负性即可得到答案；
（3）设花圃长为x，表示出宽，根据面积公式列出式子配方即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
故答案为：2，1；
（2）解：原式，
∵，
∴，
∴，
故答案为：大，，
（3）解：设花圃长为x米，面积为S，则宽为米，由题意可得，
，
∵
∴，
∴，
∴当时，面积最大为，
故应该长为米，宽为米时，面积最大为．
【点睛】本题考查代数式完全平方配方及最值，解题的关键是读懂题意配方．
20． (2023秋·重庆长寿·八年级统考期末）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
(1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；
(2)根据（1）中的结论，若，，则______；
(3)拓展应用：若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案；
（2）由（1）可得出，据此即可得出答案；
（3）根据完全平方公式得出，再代入，据此即可得出答案．
【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即．
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴．
∴．
故答案为：；
（3）解：∵
，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12899" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12899 \h 1
\l "_Tc14205" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc14205 \h 1
\l "_Tc32701" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc32701 \h 2
\l "_Tc15882" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc15882 \h 5
\l "_Tc9452" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc9452 \h 6
\l "_Tc5658" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc5658 \h 7
\l "_Tc28546" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc28546 \h 9
\l "_Tc16678" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc16678 \h 15
\l "_Tc17559" 【过关检测】 PAGEREF _Tc17559 \h 18
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题： (2023·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【变式训练】
1． (2023·四川乐山·八年级期末）化简：
2． (2023·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题： (2023·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【变式训练】
1． (2023·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
2． (2023·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题： (2023·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【变式训练】
1． (2023·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
2． (2023·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：
(1)； (2)．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题： (2023·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【变式训练】
1． (2023·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
2． (2023·山东烟台·八年级期中）关于的二次三项式是完全平方式，则的值是______________．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题： (2023·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值．其中x＝2，y＝-1．
【变式训练】
1． (2023·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）先化简再求值：，其中a＝﹣，b＝﹣2．
2． (2023·黑龙江大庆·七年级期末）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题： (2023·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代数式的值．
【变式训练】
1． (2023·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
2． (2023·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题： (2023·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【变式训练】
1． (2023·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，种纸片是边长为的 正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形， 并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形， 则需要号卡片 1 张，号卡片 2 张，号卡片________张．
(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ：，，求的值；
②已知，求的值．
2． (2023·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式 (2023﹣m）（m﹣2022）=_____．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题： (2023·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【变式训练】
1． (2023·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
2． (2023·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）下列等式中，能成立的是（ ）
A． B．
C．D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
3． (2023秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．5B．25C．37D．6
4． (2023秋·河北承德·八年级统考期末）已知是完全平方式，则m的值（ ）
A．4B．9C．16D．
5． (2023秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6． (2023春·陕西西安·七年级校考期中）化简：____．
7． (2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中）若，则___．
8．（2023春·七年级课时练习）若，那么的值为 __．
9． (2023秋·吉林长春·八年级校考期末）已知关于x的多项式是完全平方式，则k的值为_______．
10．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中a>b）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是_______________________ ．
三、解答题
11．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）计算：．
12．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）计算：
13． (2023秋·河南信阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
14． (2023秋·河南鹤壁·八年级校考期中）先化简，再求值，其中，，．
15． (2023春·甘肃兰州·七年级统考期末）先化简，再求值：
已知，求代数式的值．
16． (2023春·山东青岛·七年级校考期中）解答题：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)先化简，再求值，其中，．
17．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为________；宽为________；面积为________．
（2）由（1）可以得到一个公式：________．
（3）利用你得到的公式计算：．
18． (2023秋·广西南宁·八年级校考期中）阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；
∴______0（填“>”，“<”，“=”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
19． (2023秋·河南信阳·八年级校考期末）阅读材料题：
我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：________________；
(2)代数式有最________（填“大”或“小”）值为________；
(3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
20． (2023秋·重庆长寿·八年级统考期末）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
(1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；
(2)根据（1）中的结论，若，，则______；
(3)拓展应用：若，求的值．
专题11 乘法公式(平方差公式和完全平方公式)压轴题八种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12899" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12899 \h 1
\l "_Tc14205" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc14205 \h 1
\l "_Tc32701" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc32701 \h 2
\l "_Tc15882" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc15882 \h 5
\l "_Tc9452" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc9452 \h 6
\l "_Tc5658" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc5658 \h 7
\l "_Tc28546" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc28546 \h 9
\l "_Tc16678" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc16678 \h 15
\l "_Tc17559" 【过关检测】 PAGEREF _Tc17559 \h 18
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题： (2023·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：能用平方差公式计算的有；，
则能用平方差公式简便计算的有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023·四川乐山·八年级期末）化简：
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
2． (2023·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【答案】，-15
【分析】根据平方差公式即可进行化简，再代入x，y求值即可．
【详解】解：原式=
=
=，
当时，
原式=
=
=．
【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题： (2023·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝
(2)①9996②
【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；
（2）应用平方差公式进行计算即可．
（1）
解：大的正方形边长为a，面积为，小正方形边长为b，面积为，
∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
∴图1阴影部分面积＝，
图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），
∵图1的阴影部分与图2面积相等，
∴（a+b）（a﹣b）＝，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝；
（2）
①102×98
＝（100+2）（100﹣2）
＝
＝10000﹣4
＝9996；
②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）
＝[（2m﹣3）+n）][（2m﹣3）﹣n]
＝
＝．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景的应用，根据题意运用平方差公式计算是解决本题的关键
【变式训练】
1． (2023·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1），a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）＝（a+b）（a﹣b）；（3）1
【分析】（1）由图形所示，由正方形、长方形的面积公式可得此题结果；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（2）结论＝（a+b）（a﹣b），可得＝1．
【详解】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是；图2的长为a+b，宽为a﹣b，其面积（a+b）（a﹣b）；
故答案为：，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：＝（a+b）（a﹣b）；；
（3）由（2）题结果＝（a+b）（a﹣b），
可得
【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能用不同整式表示出图形面积，并能运用所得结论进行计算．
2． (2023·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【答案】(1)
(2)①3；②
(3)5050
【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式进行计算；
（3）利用平方差公式将写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．
（1）
图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式
故答案为
（2）
解：①∵，2m＋n＝4，
∴
故答案为：3
②
=
（3）
=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）
=199+195+…+7+3
=5050．
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题： (2023·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再去括号，最后合并同类项，即可求得．
【详解】解：
【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，解本题的关键在注意去括号时符号的变化．完全平方公式：．
【变式训练】
1． (2023·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
【答案】，3．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
当x=-1，y=2时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．
2． (2023·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先根据完全平方公式及平方差公式、单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项即可求得结果；
(2)首先根据平方差公式及完全平方公式进行计算，再根据完全平方公式及合并同类项法则进行运算，即可求得结果．
（1）
解：
（2）
解：
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题： (2023·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【答案】±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴k＝±23＝±6，
故答案为：±6．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式训练】
1． (2023·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
【答案】4
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和-2，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵-4x=2×(-2)x，
∴这两个数是x和-2，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
2． (2023·山东烟台·八年级期中）关于的二次三项式是完全平方式，则的值是______________．
【答案】2或0##0或2
【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．
【详解】解： ∵关于的二次三项式是一个完全平方式，
∴
∴，
∴或，
故答案为：2或0．
【点睛】本题考查了完全平方式的知识，属于常考题型，熟知完全平方式的结构特征，是解题关键．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题： (2023·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值．其中x＝2，y＝-1．
【答案】x，2
【分析】先根据乘法公式，单项式除以多项式计算中括号内的整式运算，然后根据单项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）先化简再求值：，其中a＝﹣，b＝﹣2．
【答案】，-3
【分析】先计算括号内的乘法，再去括号，然后计算除法，再把a＝﹣，b＝﹣2代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
当a＝﹣，b＝﹣2时，
原式
【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．
2． (2023·黑龙江大庆·七年级期末）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
【答案】(1)原式，当，时，原式
(2)原式2ab，当a= ，b= -1时，原式1
【分析】（1）先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
（2）首先利用多项式除以单项式的运算法则以及平方差公式对原式进行化简，然后去括号得到最简式，再将，代入最简式计算即可求解．
（1）
=
=
=．
当，时，
原式．
（2）
=
=．
当，时，
原式1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，多项式除以单项式以及平方差公式，正确根据运算法则进行化简是解题的关键．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题： (2023·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代数式的值．
【答案】37
【分析】利用完全平方公式的变形求解即可．
【详解】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
【答案】(1)17
(2)9
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（1）
解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）
∵，，
∴．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
2． (2023·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
【答案】(1)32
(2)30
【分析】（1）结合题意，，代入即可得出答案；
（2）由（1）可知，，ab＝2，代入即可得出答案．
（1）
解：∵a+b＝6，ab＝2，
∴；
（2）
解：由（1）可知，，ab＝2，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，结合条件对完全平方公式变形是本题的关键．
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题： (2023·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【答案】(1)m-n
(2)或
(3)
(4)29
【分析】（1）根据题意可得图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即可求解；
（2）根据图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积或图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，即可求解；
（3）由（2）写出等量关系，即可求解；
（4）根据（3）中的结论可得，再把，代入，即可求解．
（1）
解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；
（2）
解：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，所有其面积为；
故答案为：或
（3）
解：由（2）得：；
（4）
解：由（3）得：
当a+b=7，ab=5时，
，
故答案为：29
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义，解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
【变式训练】
1． (2023·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，种纸片是边长为的 正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形， 并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形， 则需要号卡片 1 张，号卡片 2 张，号卡片________张．
(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)①ab的值为7；②x-2020=±3
【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系；
（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a=x-2020，从而得到a+1=x-2019，a-1=x-2021，代入计算即可．
（1）
大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
（2）
∵，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
（3）
①∵，
∴25=11+2ab,
∴ab=7，
即ab的值为7；
②令a=x-2020，
∴x-2019
=[x- (2023-1）]
=x-2020+1
=a+1，
x-2021
=[x- (2023+1）]
=x-2020-1
=a-1，
∵，
∴，
解得．
∴，
∴x-2020=±3．
【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积是得出等量关系的关键．
2． (2023·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式 (2023﹣m）（m﹣2022）=_____．
【答案】(1)
(2)49
(3)
(4)－4
【分析】（1）阴影部分是边长为的正方形，根据正方形的面积公式可得面积为，阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，于是可得等式；
（2）由（1）得，代入计算即可；
（3）化简结果为，再代入计算即可；
（4）设，，则，，由可求出的值，即可得出答案．
（1）
解：图2中的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图2的阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，
所以有：，
故答案为：；
（2）
由（1）得，
当，，
则，
故答案为：49；
（3）
，，
原式
；
（4）
设，，
则，，
，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及公式变形是解决问题的前提．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题： (2023·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【答案】(1)小丽的求解过程正确；
(2)的最小值为，过程见解析
(3)的最大值为
【分析】（1）将式子的一部分利用完全平方公式，写成平方加上一个数的形式，根据平方的非负性即可求解；
（2）根据（1）的方法即可求解；
（3）根据（1）的方法即可求解．
（1）
小丽的求解过程正确；
（2）
我能出的最小值为，
，
，
的最小值为；
（3）
解：∵
，
∴的最大值为7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
【答案】(1)-2；1
(2)-2
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）利用完全平方公式变形，再求最值．
（3）作差后利用完全平方公式变形，再比较大小．
（1）
解：﹣4x+5＝﹣4x+4+1＝．
故答案为：﹣2，1．
（2）
2+4x＝2（+2x+1﹣1）＝，
∵≥0，
∴≥﹣2，
∴当x+1＝0即x＝﹣1时，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
即的最小值是﹣2．
（3）
－＝﹣2x+1+1＝，
∵≥0，
∴+1＞0，
∴＞2x﹣3．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，正确变形，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
2． (2023·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【答案】(1)－3，－21；
(2)3，大，6；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案；
（2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案；
（3）移项可得，利用完全平方公式对变形，然后根据偶次方的非负性可得答案．
（1）
解：，
∵，
∴时，代数式的值最小，最小值为－21，
即当x＝－3时，代数式可取最小值－21，
故答案为：－3，－21；
（2）
，
∵，
∴当时，代数式的值最大，最大值为6，
即当x＝3时，y有最大值6．
故答案为：3，大，6；
（3）
∵，
∴，
∵，，
∴当时，的值最小，最小值为，
即当x＝时，y+2x的最小值为．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）下列等式中，能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可作出判断．
【详解】解：A、 ，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】把所求式子变形为，再整体代入即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式公式，熟练掌握平方差公式的变形是解题的关键．
3． (2023秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．5B．25C．37D．6
【答案】B
【分析】利用完全平方公式进行变形计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．
4． (2023秋·河北承德·八年级统考期末）已知是完全平方式，则m的值（ ）
A．4B．9C．16D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵是完全平方式，且
∴，
故选：B
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
5． (2023秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】从图中可以得出，大正方形的边长为，大正方形的面积就为，4个矩形完全相同，且长为a，宽为b，则4个矩形的面积为，中间的正方形的边长为，面积等于，大正方形面积减去4个矩形的面积就等于中间阴影部分的面积．
【详解】解：∵四周部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b，
∴四个矩形的面积为，
∵大正方形的边长为，
∴大正方形面积为，
∴中间小正方形的面积为，
而中间小正方形的面积也可表示为：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，利用正方形面积和矩形的面积的计算方法解决问题．
二、填空题
6． (2023春·陕西西安·七年级校考期中）化简：____．
【答案】##
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
7． (2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中）若，则___．
【答案】660
【分析】利用完全平方公式展开，即可代入计算．
【详解】解：
，
∵，
∴．
故答案为：660．
【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式，通过对公式的变形，达到灵活使用公式的目的．
8．（2023春·七年级课时练习）若，那么的值为 __．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
【详解】解：
，
当时，原式
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查整式的混合运算，灵活应用整体思想代入求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
9． (2023秋·吉林长春·八年级校考期末）已知关于x的多项式是完全平方式，则k的值为_______．
【答案】9或
【分析】根据完全平方公式的结构特点，建立关于k的方程，求解即可．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴或
∴或，
解得或，
故答案为：9或．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解完全平方公式有和与差两种形式是解题的关键．
10．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中a>b）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是_______________________ ．
【答案】a2-b2=（a+b）（a-b）
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b）的长方形，面积是（a+b）（a-b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【详解】解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
三、解答题
11．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式去括号，进而合并同类项得出答案即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式和整式的混合运算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式是解题的关键．
12．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）计算：
【答案】
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算即可得．
【详解】解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．
13． (2023秋·河南信阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】原式去括号、合并同类项即可化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【详解】解：
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算－化简求值，掌握整式的混合运算顺序和运算法则是关键．
14． (2023秋·河南鹤壁·八年级校考期中）先化简，再求值，其中，，．
【答案】，
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式的运算法则进行化简，再将，代入计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式，解题的关键是正确化简．
15． (2023春·甘肃兰州·七年级统考期末）先化简，再求值：
已知，求代数式的值．
【答案】，
【分析】先利用完全平方公式与平方差公式以及单项式乘以多项式进行乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再由可得，整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算中的化简求值，熟练的利用乘法公式进行化简，再整体代入求值是解本题的关键．
16． (2023春·山东青岛·七年级校考期中）解答题：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)先化简，再求值，其中，．
【答案】(1)
(2)0
(3)
(4)
(5)；
【分析】（1）分别利用同底数幂的乘法、除法及积的乘方计算后，再合并同类项即可；
（2）把用平方差公式展开，再化简即可；
（3）用多项式乘法展开再合并同类项即可；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式展开即可；
（5）先用平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式展开并合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可，再把字母的值代入化简后的式子中求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
当，时，原式．
【点睛】本题是整式混合运算的综合应用，考查了幂的混合运算，整式乘法与除法，乘法公式等知识，掌握这些知识并熟练进行运算是解题的关键．
17．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为________；宽为________；面积为________．
（2）由（1）可以得到一个公式：________．
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1），，，；（2）；（3）4
【分析】（1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积－小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论；
（2）由（1）建立等量关系即可；
（3）根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：
图1阴影部分的面积为：，
图2长方形的长为：，
图2长方形的宽为：，
面积为：，
故答案为：，，，；
（2）由（1）可得：
，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题主要考查平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．
18． (2023秋·广西南宁·八年级校考期中）阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；
∴______0（填“>”，“<”，“=”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)2，5，>
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据完全平方公式的形式配方求解即可；
（2）分别表示出，，然后利用作差法求解即可．
【详解】（1）
∵
∴
故答案为：2，5，>；
（2）
∴
∵
∴
∴．
【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式．
19． (2023秋·河南信阳·八年级校考期末）阅读材料题：
我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：________________；
(2)代数式有最________（填“大”或“小”）值为________；
(3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)2，1；
(2)大，；
(3)长为米，宽为米时，面积最大为．
【分析】（1）根据完全平方公式同时加上一次项系数一半平方即可得到答案；
（2）将原式变形配方，再根据完全平方非负性即可得到答案；
（3）设花圃长为x，表示出宽，根据面积公式列出式子配方即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
故答案为：2，1；
（2）解：原式，
∵，
∴，
∴，
故答案为：大，，
（3）解：设花圃长为x米，面积为S，则宽为米，由题意可得，
，
∵
∴，
∴，
∴当时，面积最大为，
故应该长为米，宽为米时，面积最大为．
【点睛】本题考查代数式完全平方配方及最值，解题的关键是读懂题意配方．
20． (2023秋·重庆长寿·八年级统考期末）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
(1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；
(2)根据（1）中的结论，若，，则______；
(3)拓展应用：若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案；
（2）由（1）可得出，据此即可得出答案；
（3）根据完全平方公式得出，再代入，据此即可得出答案．
【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即．
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴．
∴．
故答案为：；
（3）解：∵
，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键．
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