“8+4+4”小题强化训练（11）-2024届高三数学二轮复习《8+4+4》小题强化训练（新高考地区专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

2024届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(11)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，解得，所以，
而，所以，
所以.
故选：A
2．已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，
，，
所以，对应的点为，在第四象限.
故选：D
3．已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，为在上的投影向量，
所以，故
故选：B
4．一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
．
故选：A.
5．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，
所以，，解得.
故选：B.
6．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：）
A. 15次B. 16次C. 17次D. 18次
【答案】B
【解析】由题意知，
当时，，故，，
故，
由得，即，
则，而，故，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，
故选：B
7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，点满足，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设点，
由，得，
解得，
即点轨迹为圆心为，半径为的圆，
可设，为任意角，
则，，
所以
，
所以当时，
最大，且为.
故选：A
8．设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
设，，则，
则在上单调递增，则，则在上恒成立，则，即，
设，，则在上恒成立，
则，则上恒成立，
令，则，则，
设，在上恒成立，
则在上单调递增，则，即在上恒成立，
令，则，则，即，故，
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列四个表述中，正确的是（ ）
A. 设有一个回归直线方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位
B. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
C. 在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大
D. 具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，则之间的线性相关程度越高
【答案】BC
【解析】A选项，因为＝3－5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；
B选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B正确；
C选项，观测值越大则认为两个变量间有关的把握就越大，故C正确；
D选项，越接近于1，则之间的线性相关程度越高，故D错误.
故选：BC.
10．先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为B. 在上单调递增
C. 时D. 其图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到，
再把图象向右平移个单位长度，得到，
最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到.
对于A，，故A正确；
对于B，在单调递增，
当时，，
在上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，，
，故C错误；
对于D，当时，函数满足，
函数关于点对称，
关于点对称，故D正确.
故选：ABD.
11．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论.设，这个人走的第n段距离为，这个人走的前n段距离总和为，则下列结论正确的有（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
【答案】BC
【解析】由已知得，，
不难得到，，，所以A错误.
走n段距离后，由得，两式相减化简得，当时，也符合，所以B正确.
由可知是公比为，首项为的等比数列，
，所以C正确，D错误.
故选：BC
12．已知函数的图象关于直线对称，且对，有．当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 12是的周期B. 为偶函数
C. D. 在上单调递减
【答案】ABC
【解析】函数的图象由向右平移1个单位得到，且其对称轴为，
所以函数的对称轴为，即或；
又，所以函数图象关于点对称.
所以，
所以函数为周期函数，且周期为12，故A正确；
因为，故函数图象关于对称，把函数图象向左平移3个单位，得函数，图象关于轴对称，所以为偶函数，故B正确；
，故C正确；
又，，，故D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某电池厂有A，B两条生产线，现从A生产线中取出产品8件，测得它们的可充电次数的平均值为210，方差为4；从B生产线中取出产品12件，测得它们的可充电次数的平均值为200，方差为4．则20件产品组成的总样本的方差为____________．
（参考公式：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则；）
【答案】28
【解析】总体的平均数，
则其方差．
故答案为：28．
14.已知函数的图象过点，若在内有4个零点，则a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由题意知，函数的图象过点，所以，解得，
因为，所以，所以，
当时，可得，
因为在内有4个零点，结合正弦函数的性质可得，
所以，即实数a的取值范围是．
故答案为：．
15.设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______.
【答案】
【解析】设直线l与圆C的切点为，则，，
由，得，
过点作于点Q，则，
由O为的中点，得，
因为为锐角，所以，
有，得，
所以，由双曲线的定义知，
，即，解得，
又，所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
16．在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝3，BC⊥CD，将△ABD沿BD折起，使点A到达A′，且，则四面体A′BCD的外接球O的体积为______；若点E在线段BD上，且BD＝4BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为______.
【答案】①. π ②.
【解析】由题意知，，，，由勾股定理可知，，，所以，，
取的中点O，所以，所以四面体A′BCD的外接球O在斜边的中点处，四面体A′BCD的外接球O的半径，
外接球O的体积.
根据题意可知，将四面体A′BCD可放在棱长为3的正方体内，如图所示，
过点E作球O的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，设球O到截面的距离d, 只需球心到截面的距离d最大即可，而当且仅当OE与截面垂直时，球心到截面的距离d最大，即，取BD的中点F，，所以,
所以截面圆的半径为.

故答案为：①π，②.