平遥县第二中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份平遥县第二中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食,3种素菜,2种大荤,4种小荤中选取一种主食,一种素菜,一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有( )
A.48种B.36种C.24种D.12种
2．设等差数列的前n项和为,若,则( )
A.B.C.D.
3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相,好评不断,这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合,是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会,某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场,若小明和小李必须安装同一个吉祥物,且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装,则不同的安装方案种数为( )
A.8B.10C.12D.14
4．设F为抛物线的焦点,点M在C上,点N在准线l上且MN平行于x轴,若,则( )
A.B.1C.D.4
5．三棱锥中,平面BCD,.若,,则该三棱锥体积的最大值为( )
A.2B.C.1D.
6．展开式中项的系数为160,则( )
A.2B.4C.D.
7．甲,乙,丙,丁,戊5名党员参加“党史知识竞赛”,决出第一名到第五名的名次（无并列名次）,已知甲排第三,乙不是第一,丙不是第五.据此推测5人的名次排列情况共有( )种
A.5B.8C.14D.21
8．设函数,在R上的导函数存在,且,则当时( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．有3位男生和3位女生,要在某风景点前站成一排照合影,则下列说法正确的是( )
A.共有种不同的排法B.男生不在两端共有种排法
C.男生甲,乙相邻共有种排法D.三位女生不相邻共有种排法
10．,若,则下列结论正确的有( )
A.B.
C.D.的展开式中第1012项的系数最大
11．对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若函数,则( )
A.一定有两个极值点
B.函数在R上单调递增
C.过点可以作曲线的2条切线
D.当时,
12．已知椭圆的左,右焦点分别为,,上顶点为B,直线与椭圆C交于M,N两点,的角平分线与x轴相交于点E,与y轴相交于点,则( )
A.四边形的周长为8B.的最小值为9
C.直线BM,BN的斜率之积为D.当时,
三、填空题
13．街道上有编号1,2,3,...,10的十盏路灯,为节省用电又能看清路面,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,在两端的灯都不能关掉的情况下,满足条件的关灯方法有__________种.
14．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台,其上,下底面分别是边长为和的正方形,高为1,则该刍童的外接球的表面积为______.
15．两名学生一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说:“我们要从面试的人中招聘3人,你们俩同时被招聘进来的概率是.”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同,则根据这位负责人的话,可以推断出参加面试的人数为______.
16．南宋数学家杨辉善于把已知形状,大小的几何图形的求面积,体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题,在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式,则数列的前项和为____________.
四、解答题
17．现有一些小球和盒子,完成下面的问题.
（1）4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中（允许有空盒子）,一共有多少种不同的放法?
（2）4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,恰有1个空盒的放法共有多少种?
18．如图,四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形,是圆柱的底面直径,是圆柱的母线,E是AC与BD的交点,,.
（1）记圆柱的体积为,四棱锥的体积为,求;
（2）设点F在线段AP上,,,求二面角的余弦值.
19．记数列的前n项和为,且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设m为整数,且对任意,,求m的最小值.
20．已知双曲线过点,且焦距为10.
（1）求C的方程;
（2）已知点,,E为线段AB上一点,且直线DE交C于G,H两点.证明:.
21．设,其中是关于x的多项式,a,.
（1）求a,b的值;
（2）若,求除以81的余数.
22．已知函数(其中e为自然对数的底数).
（1）若,求函数的单调区间;
（2）若,求证:,.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知,分三步完成:
第一步,从2种主食中任选一种有2种选法;
第二步,从3种素菜中任选一种有3种选法;
第三步,从6种荤菜中任选一种有6种选法,
根据分步计数原理,共有不同的选取方法,
故选:B
2．答案：D
解析：依题意,数列为等差数列,
所以,
又因为,
所以,
故选D.
3．答案：A
解析：由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组,
当三人组中包含小明和小李时,安装方案有种;
当三人组中不包含小明和小李时,安装方案有种,共计有种,
故选:A.
4．答案：D
解析：由题可知,,抛物线焦点F为,准线l为,设准线l与x轴的交点为E,如图所示,
由题知,由抛物线的定义可知,
因为,所以是正三角形,则在中,因为,
所以,所以.
故选:D
5．答案：D
解析：因为平面BCD,平面BCD,所以,
又,,AC,平面ACD,所以平面ACD,
因为平面ACD,所以,
在中,,,则,
因为平面BCD,平面BCD,所以,
在中,不妨设,,则由得,
所以,
当且仅当且,即时,等号成立,
所以,
所以该三棱锥体积的最大值为.
故选:D.
6．答案：C
解析：二项式展开式的通项为,
令可得二项式展开式中的系数为,
展开式中的系数为,
可得,解得,
故选:C.
7．答案：C
解析：乙排在第五的情况有:,乙不在第五的方法有,
共有,
故选:C.
8．答案：C
解析：
对于AB,不妨设,,则,,满足题意,
若,则,故A错误,
若,则,故B错误;
对于CD,因为,在R上的导函数存在,且,
令,则,
所以在R上单调递减,
因为,即,所以,
由得,则,故C正确;
由得,则,故D错误.
故选:C.
9．答案：AC
解析：
有3位男生和3位女生,要在某风景点前站成一排照合影,共有种不同的排法,A正确;
男生不在两端,从3位女生中取2人站两端,再排余下4人,共有种排法,B不正确;
男生甲,乙相邻,视甲乙为1人与其余4人全排列,再排甲乙,共有种排法,C正确;
三位女生不相邻,先排3位男生,再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生,共有种排法,D不正确.
故选:AC
10．答案：BC
解析：
对于A,,可得,故A错误;
对于B,因为,
令,则,故B正确;
对于C,令,则,
令,则,故C正确;
对于D,由展开式知,,,故第1012项的系数,不会是展开式中系数最大的项,故D错误.
故选:BC
11．答案：BCD
解析：由题意知,,恒成立,
所以在R上单调递增,没有极值点,A错误,B正确;
设切点为,则,
切线方程为,
代入点得,
即,解得或,
所以切线方程为或,C正确;
易知,令,则.
当时,,,所以点是的对称中心,
所以有,即.
令,
又,
所以,
所以,D正确.
故选:BCD.
12．答案：AC
解析：对A选项,由椭圆的定义知,四边形的周长为,A正确;
对B选项,,
当且仅当,时等号成立,故B错误;
对C选项,设,则,又,所以.
因为点在椭圆上,所以,即,
所以,C正确;
对D选项,设,则,
所以,,
在椭圆中,
由其第二定义(指的是椭圆上的点到相应的准线的距离)得
,
,所以,故,,,
因为三点共线,所以,解得,则,解得,
当时,,当时,,故D错误.
故选:AC
13．答案：20
解析：10只灯关掉3只,实际上还亮7只灯,而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯,此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯,有种方法,
故答案为:20.
14．答案：
解析：设该刍童外接球的球心为O,半径为R,上底面中心为,下底面中心为,
则由题意,,,,.
如图,当O在的延长线上时,设,则在中,①,
在中,②,
联立①②得,,所以刍童外接球的表面积为,
同理,当O在线段上时,设,
则有,,解得,不满足题意,舍去.
综上所述,该刍童外接球的表面积为20π.
故答案为:.
15．答案：21
解析：设参加面试的人数为n,依题意有,
即,
解得或(舍去).
故答案为:21.
16．答案：
解析：,数列的前n项和为,
,
数列的前n项和.
故答案为:.
17．答案：（1）256
（2）144
解析：（1）4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,
每个小球有4种放法,则4个小球有种不同的放法;
（2）①将4个小球分为3组,有种分组方法,
②在4个盒子中任选3个,放入三组小球,有种情况,
则种不同的放法.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为与是底面圆弧所对的圆周角,
所以,
因为,所以在等腰中,,
所以,
因为AC是圆柱的底面直径,所以,则,
所以,则,即,
所以在等腰,,平分,则,
所以,则,
故在中,,,则,
在中,,
因为PC是圆柱的母线,所以面ABCD,
所以,
,
所以.
（2）以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设,则,,,
则,,,,
所以,,,
因为,所以,
则,
设平面FCD的法向量,则,即,
令,则,故,
设平面PCD的法向量,则,即,
令,则,,故,
设二面角的平面角为,易知,
所以,
因此二面角的余弦值为.
19．答案：（1）见解析
（2）7
解析：（1）因为,所以,
当时,,故,
且不满足上式,
故数列的通项公式为
（2）设,则,
当时,,
故,
于是.
整理可得,所以,
又,所以符合题设条件的m的最小值为7.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得,故,所以C的方程为.
（2）设,,,
当时,即,解得,则,
双曲线的渐近线方程为,
故当直线DE与渐近线平行时,此时和双曲线仅有一个交点,
此时直线DE方程为,
令,则,故.
则直线.
由得,
所以,.
.
所以,所以
即.
21．答案：（1）,
（2）28
解析：（1）由已知等式,得
,
,
,
,
,.
（2）,即,,
,
,
所求的余数为28.
22．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由题知,
所以,
当时,,
当时,,当时,,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为,
（2）由题知,,,
所以,
因为,
所以
令
即证在上恒成立,
因为
当时,,
当时,,即在上单调递增,
当时,,即在上单调递减,
因为,,
令,
所以,
因为,
所以,
所以在上单调递增,
所以,
所以恒成立,
因为,
所以在上恒成立,即得证.