南阳市第一中学校2022-2023学年高二下学期7月月考数学试卷（含答案）

这是一份南阳市第一中学校2022-2023学年高二下学期7月月考数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

南阳市第一中学校2022-2023学年高二下学期7月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、设数集，，且M，N都是集合的子集.如果把称为集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是( )
A. B. C. D.
2、已知，为锐角，且，，则( )
A. B. C. D.
3、已知向量，，，且，则实数k的值为( )
A. B.0 C.3 D.
4、若复数，在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数( )
A.1 B.-1 C.i D.
5、已知棱长为2的正方体，P是过顶点B，D，，的圆内的一点，Q为的中点，则PQ与平面ABCD所成角的余弦值的取值范围是( )
A. B. C. D.
6、设抛物线的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点.若,则l的方程为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
7、若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是( )
A.e B. C. D.
8、某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为( )
A.30 B.14 C.33 D.90
二、多项选择题
9、若正实数a，b满足，则下列说法正确的是( )
A.ab有最大值 B.有最大值
C.有最小值2 D.有最大值
10、在中，下列结论正确的是( )
A.若，则
B.存在，满足
C.若，则为钝角三角形
D.若，则
11、如图，在正方体中，点E在棱上，且，F是棱上一动点，则下列结论正确的有( )

A.
B.存在一点F，使得
C.三棱锥的体积与F点的位置无关
D.直线与平面AEF所成角的正弦值的最小值为
12、已知函数，，是其导函数，恒有，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13、函数的图象恒过定点_____________.
14、已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点.若三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为____________.
15、若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，且，则____________.
16、已知双曲线，(，)的两个焦点分别为，，过x轴上方的焦点的直线与双曲线上支交于M，N两点，以为直径的圆经过点M，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为__________.
四、解答题
17、已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
18、如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l.

（1）求证：平面PDC；
（2）已知，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
19、为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成，，，，，六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

（1）求a的值；
（2）以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知.若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；
（3）现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在，内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数.（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
20、如图，已知圆心坐标为的圆M与x轴和直线分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴和直线分别相切于C，D两点.

（1）求圆M和圆N的方程；
（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度.
21、某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.

（1）求该段抛物线的方程；
（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？
22、已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点.
（1）求的最小值，并求出取最小值时点P的坐标；
（2）求点P到点的距离与到直线的距离之和的最小值.
参考答案
1、答案：C
解析：，，，当，时，“长度”的最小值为.
2、答案：A
解析：因为,为锐角，所以，
由得，
则，又，
故，
故选A.
3、答案：C
解析：.又，，即，
解得.故选C.
4、答案：C
解析：由题意知，，则，故选C.
5、答案：C
解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，连接，，交于点O，过点O作的垂线，交于点E，结合图形得QE与平面ABCD所成角的余弦值是PQ与平面ABCD所成角的余弦值的最小值.过点Q作BC的平行线交圆于点F，此时PQ与平面ABCD所成角的余弦值取最大值，由此能求出PQ与平面ABCD所成角的余弦值的取值范围为.
6、答案：C
解析：由抛物线方程知焦点,准线,由题可设直线,代入中消去x,得.
设,.
由根与系数的关系得,,.
设,,
由解得,.,
直线l的方程为.
由对称性知,这样的直线有两条,即.
7、答案：C
解析：设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，
则，解得.
故选C.
8、答案：D
解析：因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，
所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种，
故选D.
9、答案：AB
解析：本题考查利用基本不等式求解代数式的最值.对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，故，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，所以有最小值4，故C错误；对于D，，即，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误.
故选AB.
10、答案：ACD
解析：A项，因为，且三角形中大角对大边，所以，又由正弦定理，得，故A项正确；
B项，假设存在，满足，则A，B中必有一个为钝角，不妨设A为钝角，则，所以，那么，矛盾，故B项错误；
C项，若A为锐角，则
为钝角，即为钝角三角形；若A为钝角，则为钝角三角形；而A为直角时，不成立，故C项正确；
D项，若，则，故D项正确.
11、答案：ABC
解析：以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为3，点F在上，可设.由题知，，，，，，所以，所以，A项正确；

，，当时，，此时，B项正确；
，其中d为F点到平面的距离.当点F在上运动时，由于平面，所以d不随F点的运动而改变，C项正确；
，，设平面AEF的法向量为，则所以，故，当时，取得最小值，D项错误.
12、答案：AD
解析：因为，所以,，
又，所以．构造函数，，
则，所以在上为增函数，
因为，所以，
所以，即，故A正确；因为，所以，
所以，即，故B错误；
因为，所以，
所以，即，故C错误；
因为，所以，
所以，即，故D正确，
故选AD.
13、答案：
解析：令，可得，
所以，即图象恒过定点.
故答案为：
14、答案：
解析：如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径的端点时，三棱锥的体积最大.设球O的半径为R，，解得，则球O的表面积.
故答案为.

15、答案：6
解析：由得，得，
，，
即解得或
，，，.
16、答案：
解析：由双曲线的定义，
，，
，，令，
在中，，，
，
，，，
又在中，，，
又，，，.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)数列为等差数列，其前n项和为，且，，
设数列的首项为，公差为d，则
解得，，所以.
(2)数列.
当时，，所以.
当时，，所以


，
故
18、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在正方形ABCD中，，
因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.
又因为平面PAD，平面平面，所以.
因为在四棱锥中，底面ABCD是正方形，所以，所以.
又平面ABCD，所以，所以.
因为，所以平面PDC.
（2）如图，建立空间直角坐标系，
因为，则有，，，，.

设，则有，，.
设平面QCD的法向量为，
则即
令，则，所以平面QCD的一个法向量为.
设直线PB与平面QCD所成的角为，
则
，
当且仅当时取等号.
所以，直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.
19、答案：（1）
（2）4093
（3）在内的教职工平均人数为1，在内的教职工平均人数2
解析：（1）由题意得，解得.
（2）由题意知样本的平均数为，
所以.
又，所以
.
则，
所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093.
（3），对应的频率比为0.24:0.36，即为2:3，
所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，
设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以.
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1.
设从这5人中抽取的3人中学习时间在内的人数为Y，
则，
所以.
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为2.
20、答案：（1）圆M的方程为；圆N的方程为
（2）
解析：（1）由于圆M与的两边均相切，故点M到OA和OB的距离均为圆M的半径，则点M在的平分线上，
同理，点N也在的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为的平分线.
因为点M的坐标为，所以点M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1.
则圆M的方程为.
设圆N的半径为r，其与x轴的切点为C，
由可知，，
即，解得，
则，则圆N的方程为.
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点A的直线MN的平行线被圆N截得的弦的长度，此弦所在直线的方程是，即，
圆心N到该直线的距离，则弦长为.
21、答案：答案：（1），
（2）20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大
解析：（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，，
所以，解得，故该段抛物线的方程为，.
（2）由（1）可设，所以梯形ABCD的面积，，
设，，则，
令，解得，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值.故当CD长为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大.
22、答案：（1），
（2）2
解析：（1）将代入得，而，即点A在抛物线内部，过点P作垂直于抛物线的准线于点Q，
由抛物线的定义，知，
当P，A，Q三点共线时，取得最小值，即的最小值为，
此时点P的纵坐标为2，代入，得，即点P的坐标为，
所以的最小值为，点P的坐标为；
（2）显然点在抛物线外部，
设抛物线上点P到准线的距离为d，
由抛物线的定义，得，当B，P，F三点共线(P在线段上)时取等号，又，，
所以所求最小值为2.