2023晋中平遥县二中高二下学期3月月考数学试题含解析

平遥二中高二年级3月质检

数学试题

（时间：120分钟  满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（    ）

A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种

2. 设等差数列的前项和为，若,则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 设F为抛物线C：的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 4

5. 三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为（    ）

A. 2 B.  C. 1 D.

6. 展开式中项的系数为160，则（    ）

A. 2 B. 4 C.  D.

7. 甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（    ）种

A. 5 B. 8 C. 14 D. 21

8. 设函数，在上的导函数存在，且，则当时（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（    ）

A. 共有种不同排法 B. 男生不在两端共有种排法

C. 男生甲、乙相邻共有种排法 D. 三位女生不相邻共有种排法

10. ，若，则下列结论正确的有（    ）

A.  B.

C.  D. 的展开式中第1012项的系数最大

11. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（    ）

A. 一定有两个极值点

B. 函数在R上单调递增

C. 过点可以作曲线的2条切线

D. 当时，

12. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线l：与椭圆C交于M，N两点，的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点，则（    ）

A. 四边形周长为8 B. 的最小值为9

C. 直线BM，BN的斜率之积为 D. 当时，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 街道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.

14. 我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底面分别是边长为和的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为______.

15. 两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．

16. 南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式，则数列的前项和为____________．

四、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 现有一些小球和盒子，完成下面的问题．

（1）4个不同小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？

（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？

18. 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

（1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；

（2）设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．

19. 记数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设m为整数，且对任意，，求m的最小值．

20. 已知双曲线过点，且焦距为10．

（1）求C的方程；

（2）已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．

21. 设，其中是关于的多项式，，．

（1）求，的值；

（2）若，求除以81的余数．

22. 已知函数（其中为自然对数的底数）．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，求证：，．