2022-2023学年山西省晋中市平遥县第二中学校高二上学期10月质检数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省晋中市平遥县第二中学校高二上学期10月质检数学试题

一、单选题

1．已知空间中四个不同的点、、、，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的线性运算化简可得结果.

【详解】.

故选：A.

2．已知双曲线的虚轴长为4，则实数的值为（    ）.

A．4 B． C． D．

【答案】A

【分析】由双曲线方程确定虚轴在轴，从而确定参数值．

【详解】由题意虚轴在轴，，．

故选：A．

3．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依据双曲线性质，即可求出．

【详解】由双曲线得， ，即 ，

所以双曲线的渐近线方程是，

故选：D．

【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程是；双曲线的渐近线方程是．

4．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（    ）.

A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定

【答案】A

【分析】根据圆心到直线的距离与半径进行比较来确定正确答案.

【详解】圆的圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

所以直线和圆相切.

故选：A

5．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（    ）.

A． B． C．或 D．4或

【答案】C

【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.

【详解】抛物线开口向左，

依题意，抛物线上的点与点间的距离为3，

所以，抛物线方程为，

令，得，解得，

故选：C

6．已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（      ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.

【详解】依题意，圆经过点，可设且，半径为，

则，解得，所以圆的方程为.

【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

7．过点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，若直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则等于（    ）.

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】利用点差法求得正确答案.

【详解】设，

由于在椭圆上，

所以，

两式相减并化简得，

即.

故选：D

8．如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，，E为弧AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则为圆台的高，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出，可得，

设异面直线AC和EF所成角为，利用同角三角函数关系式可得答案.

【详解】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则，连接，

因为是弧AB的中点，所以，以为原点，

分别以为轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，

，，

，

设异面直线AC和EF所成角为，

所以，可得.

故选：C.

二、多选题

9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）.

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】BC

【分析】根据空间向量共面定理的知识确定正确答案.

【详解】依题意构成空间的一个基底，

A选项，由于，所以，，共面.

B选项，由于不存在实数使，所以，，不共面，B选项正确.

C选项，，由于不存在实数使，所以，，不共面，C选项正确.

D选项，由于，所以，，共面.

故选：BC

10．已知圆：和圆：则（    ）

A．两圆相交 B．公共弦长为

C．两圆相离 D．公切线长

【答案】AB

【分析】先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案.

【详解】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为

圆 的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为

所以两圆心的距离：，

两圆相交，选项A正确，选项C错误；

设两圆公共弦长为L，则有：

，选项B正确，选项D错误.

故选：AB

11．已知方程表示的曲线为则以下四个判断正确的为（    ）

A．当时，曲线表示椭圆

B．当或时，曲线表示双曲线

C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则

D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则

【答案】BCD

【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程，逐项判断正误；

【详解】若曲线：表示椭圆，则且，故A不正确；

若曲线：表示双曲线，则或，故B正确；

若曲线：表示焦点在轴上的椭圆，则，故C正确；

若曲线：表示焦点在轴上的双曲线，则，故D正确；

故选：BCD

12．在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（    ）

A．若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线

B．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆

C．若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆

D．若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线

【答案】ABD

【分析】A.根据平面，判断点的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.

【详解】A.在正方体中，平面，

所以，所以平面，

平面，所以，

同理，所以平面，

而点P在侧面所在的平面上运动，且，

所以点的轨迹就是直线，故A正确；

B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，

即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为，

球心到平面的距离为1，则，

所以小圆周长，故B正确；

C. 点P到直线AB的距离就是点到点的距离，

即平面内的点满足，

即满足条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确；

D.如图，过分别做于点，于点，

则平面，所以，过做，连结，

，所以平面，所以，

如图建立平面直角坐标系，设，

，则，，

即，整理为：，

则动点的轨迹是双曲线，故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.

三、填空题

13．若直线与直线平行，则______.

【答案】或或

【分析】由两直线平行可得出关于实数的等式，解之即可.

【详解】因为，则，即，解得或.

故答案为：或.

14．若P是上的一点，是其焦点，若，则的面积为________．

【答案】

【分析】根据椭圆定义和焦点三角形，利用余弦定理和面积公式即可求解.

【详解】根据椭圆的定义有①，，

根据余弦定理得，②

结合①②解得，所以的面积，

故答案为：

15．二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为________．

【答案】

【分析】利用向量运算表示,结合条件的垂直关系和长度关系可求.

【详解】由条件，知，，

.

∴.

∴，又∵，∴，∴二面角的大小为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查二面角的求解，二面角大小的求解首选向量法，明确向量夹角与二面角之间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

16．如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.

【答案】

【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.

【详解】设左焦点为，连接，

依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称，

结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以，

设，则，

，

由，

即，

整理得，.

故答案为：

四、解答题

17．在中，边，所在直线的方程分别为，，点在边上.

(1)求直线的方程；

(2)若为边上的高，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知两直线方程联立求得点坐标，由斜率公式得直线斜率，从而得直线方程；

（2）由垂直得直线方程后可得直线方程．

【详解】（1）由，得，即，，

直线方程为，即；

（2）由题意，

直线方程为，即．

18．求满足下列条件的双曲线的标准方程：

(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；

(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.

（2）根据椭圆的焦点和顶点，求得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.

【详解】（1）设双曲线的方程为.

由，，得，，，

所以双曲线的方程为.

（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.

设双曲线的方程为，则，，，

所以双曲线的方程为.

19．如图，平面，，，，，.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)线段上是否存在一点，使得平面.若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.

（2）设，根据与平面的法向量平行来求得点的位置.

【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.

由已知可得，，，.

，，.

设平面的法向量，由得，

可得平面的一个法向量，

所以直线与平面所成角的正弦值.

（2）假设存在点，满足条件.

可设，，所以，所以.

若符合题意，则，则，无解，

所以不存在符合题意的点.

20．已知直线与椭圆相交于不同两点.

(1)若，，求椭圆的焦距；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）把，代入椭圆方程，由得到的椭圆标准方程求焦距.

(2)直线与椭圆联立方程组，消去，得到关于x 的一元二次方程，由，化简得，即可得到的取值范围.

【详解】（1）由已知得椭圆方程为，所以，，

故，所以焦距为2.

（2）联立方程组，消去，得，

直线与椭圆相交于不同两点，所以，

化简得，因为，，所以，

所以的取值范围是.

21．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点：对于函数，求的最小值.

【答案】

【分析】根据给定的条件，利用式子的几何意义，结合两点间距离及对称问题求解作答.

【详解】函数，

因此表示点到点的距离与到的距离之和，而点在轴上，点关于轴的对称点，

于是得，当且仅当点共线，即P与原点重合，时取等号，

所以当时，取得最小值.

22．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为原点.求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.

（2）结合弦长公式求得三角形面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.

【详解】（1）由焦距为2，得，所以①.

由椭圆过点，得②，将①代入②，整理得，

解得，（舍去）.

所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，

消去，得.

所以，解得.

设，，则，.

所以

，

原点到直线的距离.

所以.

由基本不等式知，.

当且仅当，即时取等号.

所以的面积的最大值为.

【点睛】求解圆锥曲线中三角形面积有关的问题，关键点有三点：一个是弦长，一个是面积，一个是最值或取值范围.弦长的求法主要结合根与系数关系，面积还要结合点到直线的距离公式，求面积的最值或取值范围，可考虑基本不等式、二次函数的性质等知识来进行求解.