2022-2023学年山西省晋中市平遥县第二中学校高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年山西省晋中市平遥县第二中学校高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．7个人分4张无座音乐会门票，每人至多1张，票必须分完，那么不同的分法种类为（    ）

A．35 B．84 C．360 D．840

【答案】A

【分析】在7人中选出4人，分得门票即可，由组合数公式计算可得答案．

【详解】根据题意，“无座门票”是相同的元素，本题是组合问题，

则有种分法.

故选：A

2．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.

【详解】由散点图可知第1，3图表示的正相关，且第1个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，

故；

第2，4图表示的负相关，且第2个图中的点比第4个图中的点分布更为集中，

故，且，故，

综合可得，

故选：B

3．变量x，y具有线性相关关系，根据下表数据，利用最小二乘法可以得到其回归直线方程，则=（    ）

A．1 B．2 C．1.5 D．2.5

【答案】C

【分析】回归直线过样本中心，求出样本中心代入回归直线方程求得结果.

【详解】由已知得，，而回归直线过样本中心，

∴，∴，

故选：C.

4．已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（    ）

A．10 B．15 C．20 D．30

【答案】D

【分析】利用等差数列性质“若则”和等差数列前项和公式计算可得答案.

【详解】因为，，

所以

，

可得，

则

故选：D.

5．由数字0、1、2、3组成的无重复数字的4位数字中，比2020大的数的个数为（    ）

A．11 B．12 C．13 D．14

【答案】A

【分析】分类讨论，考虑首位上数字，继而考虑百位上数字，即可求出符合题意的数的个数，即得答案.

【详解】1.当首位即千位上数字为3时，其余3个数字全排列，排在后面3位上，

此时有种排法，即有6个2020大的数；

2.当首位即千位上数字为2时，则有：

（1）若百位上是1或3，将余下的2个数字全排列，排在后面2位，

此时有种排法，即有4个2020大的数；

（2）若百位上是0，此时只有2031比2020大，即有1个2020大的数；

综上所述：符合题意的数共有（个）.

故选：A

6．已知函数的图象在处的切线斜率为，则该切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先根据题意得到，从而得到切点为，再利用点斜式求切线方程即可.

【详解】由题可知，，所以，

故，所以切点，

所以切线方程为，

即.

故选：D

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题.

7．设随机变量M服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（    ）

A．17 B．10 C．9 D．不能确定

【答案】A

【分析】根据函数没有零点的概率为，可求得的范围，及正态曲线的对称轴，再根据函数有两个零点的概率为，求得此时的范围，再结合正态曲线的对称性即可得解.

【详解】解：因为函数没有零点，

所以，解得，

又因随机变量M服从正态分布，且，

所以正态曲线关于对称，

因为函数有两个零点，

所以，解得，则，

又，

所以与关于对称，

所以.

故选：A.

8．2023年4月12日湖北省运会在宜昌奥体中心开幕，在观看湖北省运会的同时，也有很多游客慕名来宜昌旅游，甲乙两名游客准备分别从三峡大坝、三峡人家、三峡大瀑布和清江画廊四个5A景区中随机选择一个游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择三峡大坝景区，事件：甲和乙选择的景点不同，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由条件概率公式计算即可.

【详解】解：，，

，

故选：A.

二、多选题

9．给出下列说法，其中正确的是（    ）

A．设有一个经验回归直线方程，变量增加个单位时，平均减少个单位

B．相关指数越接近1拟合效果越差

C．残差平方和越小，拟合效果越好

D．已知一系列样本点（）的经验回归直线方程，若样本点与的残差相等，则

【答案】ACD

【分析】根据回归直线的特征可判断A；根据相关指数表示的意义可判断B；根据残差的概念可判断C；根据经验回归直线方程可判断D.

【详解】A选项，因为，所以变量增加一个单位时，平均减少5个单位，故A正确；

B选项，在线性回归模型中，相关指数越接近于1，说明模型拟合的精度越高，即回归的效果越好，故B错误；

C选项，残差平方和越小，说明波动越小，即拟合效果越好，故C正确；

D选项，在线性回归模型中样本点与的残差相等，则，即，故D正确.

故选：ACD.

10．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出，即可求出，再根据方差的性质得到，再求出分布列，即可求出与.

【详解】依题意，解得，

所以的分布列为：

则，故A正确；

则，故C正确；

所以的分布列为：

则，

，故B错误；

所以，故D错误.

故选：AC.

11．近期,某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的A、B、C、D四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（    ）

A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.

B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法.

C．若甲不去A区,乙不去B区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法.

D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法.

【答案】ABD

【分析】对于A，直接用全排列公式求解即可；

对于B，先选一个区无人去，然后将四名医生分成3组，再全排，最后用分步乘法计数原理求解即可；

对于C，使用间接法求解即可得解；

对于D，使用隔板法求解可得结果.

【详解】对于A，若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.故A正确；

对于B，若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法.故B正确；

对于C，若甲不去A区,乙不去B区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法.故C不正确；

对于D，若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱隔成4份，且隔板不相邻、不在两端，则共有种不同的安排方法.故D正确.

故选：ABD.

12．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（    ）

A． B．

C．是数列中的最大项 D．

【答案】AD

【分析】由题意可推出等比数列公比，判断A；结合题意判断，即可判断B；判断等比数列的增减性，结合前项积为，可判断C；利用等比数列性质可判断D.

【详解】由题意知，即，

因为，可得，即等比数列的各项都为正值，

又，故若，结合可知，

则不成立，

故，即数列为递减数列，则，A错误；

因为，故，B正确；

由以上分析可知，

故是数列中的最大项，C正确；

由等比数列性质可得，，

故，D错误，

故选：AD

三、填空题

13．已知等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，      ．

【答案】13

【分析】根据，利用等差数列前n项和公式推得，结合判断，再结合等差数列性质可推出，即可求得答案.

【详解】由题意知，，设等差数列的公差为d，

则，即，

因为，故，即等差数列为首项是负值的递增数列，

又由可得，

即，故，

即等差数列前13项为负，从第14项开始为正，

故取最小值时，，

故答案为：13

14．端午节吃粽子是传统的习俗．一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出2个，则取到白米粽的个数的数学期望为      ．

【答案】/0.8

【分析】取到白米粽的个数为随机变量，求出的可能值对应的概率，再求出期望作答.

【详解】设取到白米粽的个数为随机变量，则的可能值为，

所以，，，

所以取到白米粽的个数的数学期望.

故答案为：

15．已知甲、乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，当比赛进行到一方比另一方多2分或者打满6局时停止比赛，设甲在每局中获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，则6局后才停止比赛的概率为      ．

【答案】

【分析】设比赛结束时进行的局数为X，确定其取值为，求得的值，即可求得答案.

【详解】设比赛结束时进行的局数为X，则X的可能取值为，

则,

4局结束时，即前两局甲、乙各胜一局，后两局都是最终的获胜者胜，

故，

则，

即6局后才停止比赛的概率为，

故答案为：

16．已知函数，则不等式的解集为           .

【答案】

【分析】首先根据题意得到是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.

【详解】因为，，

所以，所以是偶函数.

因为

当时，，所以在上单调递增.

又因为是偶函数，所以在上单调递减.

所以，即，

所以，即，解得或.

故答案为：.

四、解答题

17．若，其中．

(1)求实数的值；

(2)求．

【答案】(1)

(2)0

【分析】（1）利用二项展开式的通项求实数的值；

（2）由（1）可得，可求的值.

【详解】（1）在中，，

由展开式的通项为，

则，解得：．

（2）由题意及（1）得，在中，

令，得，

所以

18．已知是公差为的等差数列，其前项和是，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n项和公式可列方程组，求得首项和公差，即得答案；

（2）利用裂项相消法求数列的和，可得答案.

【详解】（1）由题意，得，解得，

∴．

（2）由（1）得，

∴

．

19．在年春节期间,为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用,保障人民群众度过一个平安健康快乐样和的新春佳节,甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动,甲公司和乙公司所售商品类似,存在竞争关系.

(1)现对某时间段名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查,得到如下数据:

将表格补充完整,并判断是否有的把握认为选择哪家直播间购物与用户年龄有关?

(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物,第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物,如果第一天去甲直播间购物,那么第二天去甲直播间购物的概率为;如果第一天去乙直播间购物,那么第二天去甲直播间购物的概率为,求小李第二天去乙直播间购物的概率.

参考公式:,其中.

临界值表:

【答案】(1)填表见解析;有,理由见解析

(2)

【分析】（1）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表得到结论；

（2）记事件：小李第一天去甲直播间，事件：小李第二天去乙直播间，利用全概率公式求解即可.

【详解】（1）列联表如下：

所以，

所以有的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关.

（2）记事件：小李第一天去甲直播间，事件：小李第二天去乙直播间，

则，，，

由全概率公式可得，

即小李第二天去乙直播间购物的概率为.

20．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心．据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，关注生态文明建设的约占80%．现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求a的值；

(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；

(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X．求随机变量X的分布列及期望．

【答案】(1)

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率和为1求；

（2）根据题意结合古典概型分析运算；

（3）根据题意可得，根据二项分布求分布列和期望.

【详解】（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得.

（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30

根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人

再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.

（3）由题意可知：，则有：

，，

，.

∴X的分布列为：

可得的数学期望.

21．市场研究机构Counterpoint发布了最新全球电动汽车市场报告，2022年总计销量超1020万辆，比亚迪、特斯拉和大众集团位列排行榜前三.某电动汽车公司调研统计了之前5年（2018年到2022年）自己品牌电动汽车年销售量y（单位：万辆），并制作了如下表格.

(1)请根据表格中统计的数据作出散点图：

(2)记年份代码为x，2018年到2022年分别对应x=1，2，3，4，5，请根据散点图判断，模型①y=a+bx；②；③，哪一个更适合作为年销售量y关于年份代码x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；

(3)根据（2）的判断结果，求出年销售量y关于年份代码x的回归方程，并预测今年（2023年）该公司电动汽车的年销售量.

参考数据：

参考公式：最小二乘估计公式：，.

【答案】(1)散点图见解析

(2)②更适合

(3)，96.5万辆

【分析】（1）据表格中统计的数据描点；

（2）根据散点图得出哪一个函数的模型更适合；

（3）根据最小二乘法求出回归直线方程，再代入年份代码进行估计.

【详解】（1）如图，

（2）根据散点图可知②更适合；

（3）令，则，，，，

对于回归方程，可得：，

，

∴回归方程为，即，

令x=6，得，

预测2023年该公司电动汽车的年销售量为96.5万辆.

22．已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)是否存在正实数，使得不等式恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)极小值，没有极大值

(2)存在，

【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的极值；

（2）令，其中，可知函数在上为增函数，可得出，由可得出，分析可知，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值点，即可求得实数的值.

【详解】（1）解：当时，，

则．

令，则，则在上单调递增，

且，所以当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得极小值，没有极大值．

（2）解：令，其中，则，

所以，函数在上为增函数，当时，，

由，可得，

令，其中，且，

假设存在正实数，使得不等式恒成立，则，即，

所以，，

，当时，，函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，所以，，

所以，.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键在于设，，根据不等式的结构分析得出，进而转化为函数的最小值，结合导数求解.