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- 第8章《认识概率》（导图+知识梳理+四大考点讲练）-2023-2024学年数学八年级下册章节复习讲练测（苏科版） 试卷 1 次下载
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第10章《分式》（导图+知识梳理+十二大考点讲练）-2023-2024学年数学八年级下册章节复习讲练测（苏科版）
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这是一份第10章《分式》（导图+知识梳理+十二大考点讲练）-2023-2024学年数学八年级下册章节复习讲练测（苏科版），文件包含第10章分式教师版docx、第10章分式学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练第10章 分式（思维导图+知识梳理+十二大重点考向举一反三讲练）1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．知识点01：分式的有关概念及性质【高频考点精讲】 1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质 （M为不等于0的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.知识点02：分式的运算【高频考点精讲】 1．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 ，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.知识点03：分式方程【高频考点精讲】 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.知识点04：分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.重点考向01：分式有意义的条件重点考向02：分式的值重点考向03：分式的基本性质重点考向04：分式的乘除法重点考向05：分式的加减法重点考向06：分式的混合运算重点考向07：分式的化简求值重点考向08：分式方程的解重点考向09：解分式方程重点考向10：换元法解分式方程重点考向11：分式方程的增根重点考向12：分式方程的应用重点考向01：分式有意义的条件【典例精讲】（2023春•高明区月考）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠0 B．x≠5 C．x≠﹣5 D．x≠﹣10【思路点拨】根据分式有意义的条件，即分母不为0，可得2x+10≠0，即可解出x的范围．【规范解答】解：由题意得：2x+10≠0，解得：x≠﹣5．故选：C．【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件即分式的分母不为0是解题的关键．【变式训练1-1】（2023春•都昌县期末）当x ＝﹣3 时，分式无意义．【思路点拨】分式无意义则分式的分母为0，据此求得x的值即可．【规范解答】解：∵分式无意义，∴x+3＝0，解得x＝﹣3．故答案为：＝﹣3．【考点评析】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【变式训练1-2】当x满足什么条件时，下列分式有意义？（1）；（2）；（3）；（4）．【思路点拨】分别根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【规范解答】解：（1）x+1≠0，解得x≠﹣1；（2）∵x2+1≥1，∴x为任意实数；（3）1﹣|x|≠0，解得x≠±1；（4）（x+2）（x﹣1）≠0，解得x≠﹣2且x≠1．【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．重点考向02：分式的值【典例精讲】（2024•开州区开学）若a2﹣2a﹣4＝0，则的值为 ．【思路点拨】将已知条件变形，然后整体代入求解即可．【规范解答】解：∵a2﹣2a﹣4＝0，∴a2﹣2a＝4，∴＝＝＝，故答案为：．【考点评析】本题主要考查求代数式的值，利用整体法求解是解题关键．【变式训练2-1】．（2023秋•河北区校级期末）已知x为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有x的值之和为 0 ．【思路点拨】根据x为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出x的值再求和即可．【规范解答】解：＝＝3﹣，∵x为整数，分式的值也为整数，∴当x＝0时，分式＝﹣7，符合题意；当x＝﹣1时，分式值＝8，符合题意；当x＝﹣2时，分式值＝5，符合题意；当x＝3时，分式值＝2，符合题意；∴满足条件的x的值为0、﹣1、﹣2、3，所有满足条件的数的和为0﹣1﹣2+3＝0，故答案为：0．【考点评析】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．【变式训练2-2】（2023春•武侯区校级期中）关于x的不等式组恰有两个整数解，且的值为正整数，则整数m的值为 5 ．【思路点拨】解不等式组求得解集，从而确定m的值，代入分式验证即可．【规范解答】解：不等式组的解集为：≤x≤3，∵关于x的不等式组恰有两个整数解，∴1＜≤2．∴3＜m≤6，∴整数m的值为4，5，6，∵当m＝5时，的值为正整数，∴整数m的值为5．故答案为：5．【考点评析】本题主要考查了分式的值，一元一次不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解题的关键．重点考向03：分式的基本性质【典例精讲】（2023秋•官渡区期末）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的一半 C．保持不变 D．无法确定【思路点拨】根据题意把x，y的值均扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可．【规范解答】解：由题意得：＝，分式的值保持不变．故选：C．【考点评析】此题主要考查了分式的性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．【变式训练3-1】（2023春•沙坪坝区校级期中）简单的规则可以涌现出丰富的代数结构．对单项式x进行如下操作：规定a1＝b1＝c1＝x，计算，，称为第一次操作：计算，，，称为第二次操作；以此类推：①a5＝﹣x；②；③当x＝2，c2401＝﹣698； ④对任意正整数n，等式b4n+3（c4n﹣c4n+1）＝b4n+2总成立．以上说法正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】①根据题中公式求出a4，a5，再作判断；②根据a1，a2，a3，a4……的值找到规律，再进行判断；③把x＝2代入，找到规律，再进行计算；④根据an，bn，cn的规律，进行计算判断．【规范解答】解：①a4＝＝，a5＝＝x，故①是错误的；②a1，a2，a3，a4……是x，，﹣，，∴四个为一个循环出现，∴a5＝a1，a6＝a2，a7＝a3，a8＝a4，∴＝，＝，∴②是正确的；③当x＝2时，a1，a2，a3，a4……是2，﹣3，﹣，，四个为一个循环出现，2401÷4＝600……1，c2401＝600×（2﹣3﹣+）+2＝﹣698，故③是正确的；④∵b4n+3（c4n﹣c4n+1）＝b3•（﹣c1）＝，b4n+2＝b2＝，∴b4n+3（c4n﹣c4n+1）＝b4n+2，故④是正确的，故选：C．【考点评析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律和掌握分式的运算是解题的关键．【变式训练3-2】（2023•石家庄模拟）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如 ．（1）下列分式中，属于真分式的是 C A、 B、 C、 D、（2）将假分式，化成整式和真分式的和的形式．【思路点拨】（1）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式得到只有﹣是真分式；（2）先把m2+3化为m2﹣1+4得到＝，然后分成两个分式+，其中前面一个分式约分后化为整式m﹣1，后面一个是真分式．【规范解答】解：（1）根据题意得﹣是真分式．故选C．（2）＝＝+＝m﹣1+．【考点评析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．【变式训练3-3】（2023春•沈丘县月考）已知分式A＝．（1）当a＞2时，把分式A的分子、分母同时加上3后得到分式B，分式B的值较原来的分式A的值是变大了还是变小了，试说明理由；（2）若A的值是整数，且a也是整数，求出符合条件的所有a的值．【思路点拨】（1）把分式化简后分子分母同时加上3得分式B，再根据求差法进行大小比较即可；（2）根据（1）的化简结果，分情况计算出a和A都是整数即可．【规范解答】解：（1）A＝，A的分子与分母同时加上3后得到分式B，∴，∴，∵a＞2，∴a﹣2＞0，a+1＞0，∴A﹣B＞0，∴A＞B．答：分式B的值较原来分式A的值是变小了；（2）A＝1+是整数，a也是整数，所以a﹣2是4的因数，所以a﹣2＝±1，±2，±4，∴a＝3，1，4，0，6，﹣2，所以所有符合条件的a的值为3，1，4，0，6，﹣2．【考点评析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．重点考向04：分式的乘除法【典例精讲】（2023春•晋江市期末）计算：＝ ﹣ ．【思路点拨】根据分式的乘方的运算法则进行运算求解．【规范解答】解：原式＝﹣，故答案为：﹣．【考点评析】本题考查了分式发乘方，掌握运算法则是解题的关键．【变式训练4-1】（2023春•长安区月考）甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a2﹣4）m，乙工程队每天修（a﹣2）2m（其中a＞2），则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？【思路点拨】根据题意，分别表示出甲工程队修900m所用时间和乙工程队修600m所用时间，再作两时间的比值即可求解．【规范解答】解：甲工程队修900m所用时间为，乙工程队修600m所用时间为，由题意可得：÷＝＝，∴甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的倍．【考点评析】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的乘除法运算，读懂题目，根据题意能列出分式是解题的关键．【变式训练4-2】（2022春•天桥区校级期中）化简下列分式．（1）；（2）÷；（3）÷．【思路点拨】（1）约去分子分母中的公因式即可；（2）利用分式的除法法则转化成乘法，再约去分子分母中的公因式即可；（3）利用分式的除法法则转化成乘法，将分子与分母中进行因式分解后约去分子分母中的公因式即可．【规范解答】解：（1）原式＝ac；（2）原式＝＝；（3）原式＝•＝．【考点评析】本题主要考查了分式的乘除法，正确使用约分的法则进行化简是解题的关键．【变式训练4-3】（2021•市中区校级开学）已知：A＝xy﹣x2，B＝，C＝，若A÷B＝C×D，求D．【思路点拨】根据所给出的条件A÷B＝C×D列出式子，经过运算即可求出D的值．【规范解答】解：A＝xy﹣x2＝x（y﹣x），B＝＝，C＝；∵A÷B＝C×D，∴x（y﹣x）÷＝×D，所以D＝x（y﹣x）×＝﹣y；∴D＝﹣y．【考点评析】本题综合地考查了化简分式以及分式的乘除法运算的知识，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，找出分子分母中能约分的公因式，然后进行约分．重点考向05：分式的加减法【典例精讲】（2023•景县校级模拟）已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【思路点拨】根据分式的加法法则解决此题．【规范解答】解：结论Ⅰ：当ab＝1，则M＝＝＝＝N．∴当ab＝1时，M＝N，即结论Ⅰ正确．结论Ⅱ：当a+b＝0时，则b＝﹣a．∴M＝＝，N＝＝．∴MN＝≤0．∴结论Ⅱ正确．综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确．故选：A．【考点评析】本题主要考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法法则是解决本题的关键．【变式训练5-1】（2023秋•无棣县期末）阅读下面的材料，并解答问题：分式的最大值是多少？解：，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4．根据上述方法，试求分式的最小值是 ．【思路点拨】先按照已知条件中的方法，把所求分式写成一个整数与一个分式差的形式，然后求出分式的最大值，从而求出原分式的最小值即可．【规范解答】解：＝＝＝，∵m2≥0，∴m2+2的最小值为2，∴的最大值为，∴的最小值为：，故答案为：．【考点评析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握把分式写成一个整数与一个分式和差的形式．【变式训练5-2】（2023春•开江县校级期末），则A+B＝ 2 ．【思路点拨】根据分式的基本性质解决此题．【规范解答】解：＝．∵，∴A（x+3）+B（x﹣1）＝2x﹣5．∴（A+B）x+3A﹣B＝2x﹣5．∴A+B＝2，3A﹣B＝﹣5．∴A＝，B＝．∴A+B＝2．故答案为：2．【考点评析】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．【变式训练5-3】（2023春•玄武区校级期中）深化理解：阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．∵对于任意x上述等式成立，∴解得：．∴＝x﹣2+．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 x+7+ ；（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．【思路点拨】（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论；（2）利用（1）中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论．【规范解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b，则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．∵对于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝x+7+．故答案为：x+7+．（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b，则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，∵对于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝2x+11+．∵x为整数，分式的值为整数，∴为整数，∴x＝4或16或2或﹣10．【考点评析】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，本题是阅读型题目，连接题干中的方法并熟练应用是解题的关键．重点考向06：分式的混合运算【典例精讲】（2023秋•白河县期末）下列分式化简正确的是（ ）A． B． C． D．【思路点拨】根据分式化简的性质进行判断即可．【规范解答】解：A、C、D中无法化简，错误，故不符合要求；B正确，故符合要求；故选：B．【考点评析】本题考查了分式化简．解题的关键在于熟练掌握分式化简时，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．【变式训练6-1】（2023秋•靖宇县期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝ ﹣ ．【思路点拨】先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可．【规范解答】解：＝（a2﹣a）•﹣a×1＝a（a﹣1）•﹣a＝﹣a＝＝﹣，故答案为：﹣．【考点评析】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．【变式训练6-2】（2023•朝阳区校级开学）计算：（1）；（2）．【思路点拨】（1）除法转换为乘法，再约分即可；（2）根据分式的减法法则计算，再约分即可．【规范解答】解：（1）原式＝•＝；（2）原式＝＝＝a﹣b．【考点评析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【变式训练6-3】（2022秋•文登区期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：＝＝+＝1+；＝＝+＝2+（﹣）．（1）下列分式中，属于真分式的是： ③ （填序号）；① ② ③ ④（2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝ 2 + ，若假分式的值为正整数，则整数a的值为 ﹣2、1或3 ；（3）将假分式 化成整式与真分式的和的形式：＝ a+1+ ．【思路点拨】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；（2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式；（3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式．【规范解答】解：（1）根据题意可得，、、都是假分式，是真分式，故答案为：③；（2）由题意可得，＝，若假分式的值为正整数，则或2a﹣1＝1或2a﹣1＝5，解得，a＝﹣2或a＝1或a＝3，故答案为：2、，﹣2、1或3；（3）＝，故答案为：a+1+．【考点评析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．重点考向07：分式的化简求值【典例精讲】（2023秋•右玉县期末）若分式，则分式的值等于（ ）A．﹣ B． C．﹣ D．【思路点拨】根据已知条件，将分式整理为y﹣x＝2xy，再代入则分式中求值即可．【规范解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．【考点评析】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可．【变式训练7-1】．（2023秋•汉阳区期末）实数a、b满足ab＝1，记M＝+，N＝+，则M，N大小关系 M＝N ．【思路点拨】将M、N分别进行通分，代入已知ab＝1，化简整理后比较一下结果即可．【规范解答】解：∵M＝+＝＝，又∵ab＝1，∴M＝1；同理可得N＝+＝＝＝1．故M＝N．【考点评析】此题考查了分式的加减运算，运用了整体代入的数学思想．【变式训练7-2】（2023秋•成武县期末）（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中a在﹣1，1，2中选取一个．【思路点拨】（1）先通分，再根据分式的减法法则进行计算即可；（2）先分解因式和根据分式的除法法则进行计算，再约分和根据分式的乘法法则进行计算，算减法，根据分式有意义的条件求出a不能为1和﹣1，取a＝2，最后代入求出答案即可．【规范解答】解：（1）＝﹣＝＝＝＝﹣；（2）＝﹣•＝﹣＝＝，要使分式有意义，必须a﹣1≠0且a+1≠0，所以a不能为1和﹣1，取a＝2，原式＝＝＝0．【考点评析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．【变式训练7-3】（2023秋•襄城县期末）阅读理解材料：为了研究分式与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．根据上述材料完成下列问题：（1）当x＞0时，随着x的增大，的值 减小 （增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大，的值 减小 （增大或减小）；（2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；（3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围．【思路点拨】（1）由、的变化情况，判断1+、1+的变化情况即可；（2）由＝2+，即可求解；（3）由＝2+，再结合x的取值范围即可求解．【规范解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小，∴随着x的增大，1+的值减小；∵当x＜0时随着x的增大而减小，∵＝1+，∴随着x的增大，的值减小，故答案为：减小，减小．（2）∵＝＝2+，∵当x＞1时，的值无限接近0，∴的值无限接近2．（3）∵＝＝5+，又∵0≤x≤2，∴﹣13≤≤﹣，∴﹣8≤≤．【考点评析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．重点考向08：分式方程的解【典例精讲】（2023秋•纳溪区期末）已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1【思路点拨】由分式方程的解为非负数得到关于m的不等式，进而求出m的范围即可．【规范解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，即x＝m+1，由分式方程的解为非负数，得到m+1≥0，且m+1≠1，解得：m≥﹣1且m≠0，故选：C．【考点评析】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【变式训练8-1】（2023秋•綦江区期末）若整数m既能使关于x的不等式组有解，也能使关于y的分式方程 有整数解，则整数m的值为 ﹣1 ．【思路点拨】先解一元一次不等式组得到，根据不等式组有解求出m的范围，再解分式方程，再由解为整数且y≠3，m≠2，即可求出m的值．【规范解答】解：解关于x的不等式组得：，∵不等式组有解，∴m﹣3＜﹣1，解得：m＜2，解关于y的分式方程 得：y＝，∵y≠3，m≠2，∴≠3，m≠2，∴m≠1且m≠2，∵为整数，且m为整数，∴m＝﹣1，∴整数m的值为﹣1．故答案为：﹣1．【考点评析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，正确求出分式方程的解和一元一次不等式组的解是解决问题的关键．【变式训练8-2】（2023秋•阳新县期末）若关于y的不等式组无解，且关于x的分式方程1的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 3 ．【思路点拨】根据一元一次不等式组的解集确定a的取值范围，再根据分式方程的解以及增根的定义求出a的取值范围，综合得出a的取值范围，进而确定整数a的值即可．【规范解答】解：不等式≥y+的解集为y≥2，不等式﹣（y﹣a）＞0的解集为y＜a，∵关于y的不等式组无解，∴a≤2，将关于x的分式方程1的两边都乘以x+1得，x+4a+1＝﹣x﹣1，解得x＝﹣2a﹣1，由于分式方程有增根x＝﹣1，即﹣2a﹣1＝﹣1，解得a＝0，又由于分式方程的解为负数，即﹣2a﹣1＜0，解得a＞﹣，∴﹣＜a≤2，且a≠0，∴a 的整数值为a＝1或a＝2，∴所有满足条件的整数a的值之和是 1+2＝3．故答案为：3．【考点评析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法以及分式方程增根的定义是正确解答的关键．【变式训练8-3】（2022秋•济宁期末）阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．应用上面的结论解答下列问题：（1）方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，则p＝ ﹣6 ，q＝ 1 ；（2）方程x+＝8的两个解中较大的一个为 7 ；（3）关于x的方程2x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．（用含有字母n的式子表示）【思路点拨】（1）利用题干中的方法解答即可；（2）将原方程变形为题干中的模式，利用题干中的方法解答即可；（3）利用换元的思想，把2x﹣1看成一个未知数，将原方程变形，利用（2）值的方法解答即可．【规范解答】解：（1）∵方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，∴x+＝﹣2+3，即：x+＝1．∴p＝﹣6，q＝1．故答案为：﹣6；1；（2）∵方程x+＝8，∴x+＝7+1，∴关于x的方程x+＝7+1有两个解，分别为x1＝7，x2＝1，∴方程x+＝8的两个解中较大的一个为7，故答案为：7；（3）关于x的方程2x+＝2n就是：2x﹣1+＝2n﹣1，∴2x﹣1+＝n+n﹣1．∴2x﹣1＝n或2x﹣1＝n﹣1，∴x＝或x＝．∵x1＜x2，∴x1＝，，∴原式＝＝．【考点评析】本题主要考查了分式方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．重点考向09：解分式方程【典例精讲】（2023秋•佳木斯期末）对于实数a，b定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝，例如，1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗2＝﹣1的解是 x＝5 ．【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可．【规范解答】解：根据题中的新定义，化简得：＝﹣1，去分母得：1＝2﹣x+4，解得：x＝5，经检验，x＝5是分式方程的解，故答案为：x＝5．【考点评析】此题考查了解分式方程以及实数的运算，解分式方程时，一定要检验．弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式训练9-1】（2023秋•海陵区校级期末）（1）计算：；（2）解方程：．【思路点拨】（1）先利用绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，然后把化简后进行有理数的加减运算；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【规范解答】解：（1）原式＝2023+1﹣6+4＝2022；（2）两边都乘以2x﹣1，得：x＝2（2x﹣1）+3，解得x＝﹣，当x＝﹣时，2x﹣1＝﹣﹣1＝﹣≠0，∴原分式方程的解为x＝﹣．【考点评析】本题主要考查实数的运算，解分式方程，熟练掌握实数的运算法则和解分式方程的方法是解题的关键．【变式训练9-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：（1）（2）﹣＝1．【思路点拨】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【规范解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，移项合并得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【考点评析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【变式训练9-3】（2022秋•平城区校级期末）请阅读下列材料并回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下：解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①去括号，得2x﹣1＝3﹣1 ②解得x＝检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0 ③所以x＝是原分式方程的解 ④（1）你认为小明在哪里出现了错误 ①② （只填序号）（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项；（3）写出上述分式方程的正确解法．【思路点拨】（1）观察解方程过程，找出错误步骤即可；（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，写出三条注意事项即可；（3）写出正确的解答过程即可．【规范解答】解：（1）小明在①②出现了错误；故答案为：①②；（2）三条注意事项：去分母时，注意方程中的每项都要乘以最简公分母；去括号时，注意正确运用去括号法则；解整式方程求出x要进行检验；（3）正确解法为：去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+1）＝1，去括号得：2x﹣2﹣3x﹣3＝1，移项合并得：﹣x＝6，解得：x＝﹣6，经检验x＝﹣6是分式方程的解．【考点评析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．重点考向10：换元法解分式方程【典例精讲】（2023春•青浦区期末）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程是 y2﹣2y﹣3＝0 ．【思路点拨】由已知＝y，则原方程化为y﹣＝2，方程两边乘y即可得答案．【规范解答】解：，设＝y，则原方程化为：y﹣＝2，方程两边乘y得：y2﹣3＝2y，即y2﹣2y﹣3＝0，故答案为：y2﹣2y﹣3＝0．【考点评析】本题考查了解分式方程，能正确换元是解此题的关键．【变式训练10-1】（2022春•静安区校级期中）用换元法解分式方程+3＝0时，如果设＝y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 y2﹣9y﹣6＝0 ．【思路点拨】设＝y，可得＝，进而将原方程变为﹣y+3＝0，再去分母即可．【规范解答】解：设＝y，则＝，原方程可变为，﹣y+3＝0，，两边都乘以3y得，y2﹣9y﹣6＝0，故答案为：y2﹣9y﹣6＝0．【考点评析】本题考查换元法解分式方程，设＝y，得到＝，进而将原方程变为﹣y+3＝0是解决问题的关键．【变式训练10-2】（2023春•西安校级月考）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得y2﹣4＝0，解得y＝±2．经检验：y＝±2都是方程的解．当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得．经检验：x＝﹣1和都是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．用换元法解：．【思路点拨】按照材料中分式方程换元的方法，可设，原方程化为，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值．【规范解答】解：设，则原方程化为．方程两边同时乘y，得：y2﹣1＝0，解得y＝±1．经检验：y＝±1都是的解．当y＝1时，，解得x＝2．当y＝﹣1时，，解得x＝0．经检验：x＝2和x＝0都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x＝2和x＝0．【考点评析】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．重点考向11：分式方程的增根【典例精讲】（2023秋•林州市期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（ ）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【思路点拨】把分式方程化成整式方程得k+3＝x﹣2，由分式方程有增根得出x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2，即可求出k的值．【规范解答】解：去分母得：k+3＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2，解得：k＝﹣3，故选：C．【考点评析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键．【变式训练11-1】（2023秋•定陶区期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 1 ．【思路点拨】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把x＝2代入计算，即可求出m的值．【规范解答】解：∵，去分母，得：1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2）；∵分式方程有增根，∴x＝2，把x＝2代入1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2），则1﹣2＝﹣m﹣2（2﹣2），解得：m＝1；故答案为：1．【考点评析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式训练11-2】（2021春•城关区校级期末）已知关于x的分式方程+＝（1）若方程的增根为x＝1，求m的值（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程无解，求m的值．【思路点拨】方程去分母转化为整式方程，（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．【规范解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，移项合并得：（m+1）x＝﹣5，（1）∵x＝1是分式方程的增根，∴1+m＝﹣5，解得：m＝﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣2或x＝1，当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．【考点评析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．重点考向12：分式方程的应用【典例精讲】（2023秋•夏津县期末）赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香.2023年赣南脐橙需求量猛增，某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元．（1）该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱多少元？（2）为运输两批水果从A市到相距160km的B市，批发商租用了甲、乙两种货车来运输两批赣南脐橙，其中甲货车运输第一批，乙货车运输第二批，已知甲、乙货车的速度比为4：5，两车先后出发，当甲车到达B市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，求甲、乙两货车的速度．【思路点拨】（1）设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，则该水果批发商购进的第二批赣南脐橙每箱（x+10）元，根据某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；（2）设甲货车的速度为4y km/h，则乙货车的速度为5y km/h，根据当甲车到达B市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，列出分式方程，解方程，即可解决问题．【规范解答】解：（1）设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，则该水果批发商购进的第二批赣南脐橙每箱（x+10）元，由题意得：＝×2，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，答：该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱80元；（2）设甲货车的速度为4y km/h，则乙货车的速度为5y km/h，由题意得：+＝4.5，解得：y＝16，经检验，y＝16是原方程的解，且符合题意，∴4y＝4×16＝64，5y＝5×16＝80，答：甲货车的速度为64km/h，乙货车的速度为80km/h．【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式训练12-1】（2023秋•赣州期末）甲乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍．若设这个人步行的速度为x千米/小时，（1）这个人步行时间为 小时，骑车时间为 小时．（2）求步行速度和骑车的速度．【思路点拨】（1）根据时间＝路程÷速度进行计算并填空；（2）此题根据时间来列等量关系．本题的等量关系为：步行时间+骑车时间＝2．【规范解答】解：（1）步行速度为x千米/时，那么骑车速度是4x千米/时，则这个人步行时间为 小时，骑车时间为＝；故答案为：；；（2）依题意得 +＝2，解得x＝5经检验x＝5是原方程的解．∴4x＝20答：步行速度为5km/h，骑自行车速度为20km/h．【考点评析】本题考查了分式方程的应用．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：时间＝路程÷速度，需注意分式应用题需验根．【变式训练12-2】（2023秋•潮州期末）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 （20﹣） 天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【思路点拨】（1）关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量＝1；（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；（3）关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用（2）得到的代数式求解．【规范解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，+＝1，解得：x＝30，经检验x＝30是原方程的解．∴x+30＝60，答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；故答案为：（20﹣）；（3）设甲单独做了y天，y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，解得：y≥36答：甲工程队至少要单独施工36天．【考点评析】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．【变式训练12-3】．（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？【思路点拨】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，根据总费用＝700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【规范解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，依题意，得：700m+500×≤14500，解得：m≥10．所以m最小值是10．答：至少应安排甲队工作10天．【考点评析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1无意义10.50.0.25…
2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练第10章 分式（思维导图+知识梳理+十二大重点考向举一反三讲练）1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．知识点01：分式的有关概念及性质【高频考点精讲】 1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质 （M为不等于0的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.知识点02：分式的运算【高频考点精讲】 1．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 ，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.知识点03：分式方程【高频考点精讲】 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.知识点04：分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.重点考向01：分式有意义的条件重点考向02：分式的值重点考向03：分式的基本性质重点考向04：分式的乘除法重点考向05：分式的加减法重点考向06：分式的混合运算重点考向07：分式的化简求值重点考向08：分式方程的解重点考向09：解分式方程重点考向10：换元法解分式方程重点考向11：分式方程的增根重点考向12：分式方程的应用重点考向01：分式有意义的条件【典例精讲】（2023春•高明区月考）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠0 B．x≠5 C．x≠﹣5 D．x≠﹣10【思路点拨】根据分式有意义的条件，即分母不为0，可得2x+10≠0，即可解出x的范围．【规范解答】解：由题意得：2x+10≠0，解得：x≠﹣5．故选：C．【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件即分式的分母不为0是解题的关键．【变式训练1-1】（2023春•都昌县期末）当x ＝﹣3 时，分式无意义．【思路点拨】分式无意义则分式的分母为0，据此求得x的值即可．【规范解答】解：∵分式无意义，∴x+3＝0，解得x＝﹣3．故答案为：＝﹣3．【考点评析】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【变式训练1-2】当x满足什么条件时，下列分式有意义？（1）；（2）；（3）；（4）．【思路点拨】分别根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【规范解答】解：（1）x+1≠0，解得x≠﹣1；（2）∵x2+1≥1，∴x为任意实数；（3）1﹣|x|≠0，解得x≠±1；（4）（x+2）（x﹣1）≠0，解得x≠﹣2且x≠1．【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．重点考向02：分式的值【典例精讲】（2024•开州区开学）若a2﹣2a﹣4＝0，则的值为 ．【思路点拨】将已知条件变形，然后整体代入求解即可．【规范解答】解：∵a2﹣2a﹣4＝0，∴a2﹣2a＝4，∴＝＝＝，故答案为：．【考点评析】本题主要考查求代数式的值，利用整体法求解是解题关键．【变式训练2-1】．（2023秋•河北区校级期末）已知x为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有x的值之和为 0 ．【思路点拨】根据x为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出x的值再求和即可．【规范解答】解：＝＝3﹣，∵x为整数，分式的值也为整数，∴当x＝0时，分式＝﹣7，符合题意；当x＝﹣1时，分式值＝8，符合题意；当x＝﹣2时，分式值＝5，符合题意；当x＝3时，分式值＝2，符合题意；∴满足条件的x的值为0、﹣1、﹣2、3，所有满足条件的数的和为0﹣1﹣2+3＝0，故答案为：0．【考点评析】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．【变式训练2-2】（2023春•武侯区校级期中）关于x的不等式组恰有两个整数解，且的值为正整数，则整数m的值为 5 ．【思路点拨】解不等式组求得解集，从而确定m的值，代入分式验证即可．【规范解答】解：不等式组的解集为：≤x≤3，∵关于x的不等式组恰有两个整数解，∴1＜≤2．∴3＜m≤6，∴整数m的值为4，5，6，∵当m＝5时，的值为正整数，∴整数m的值为5．故答案为：5．【考点评析】本题主要考查了分式的值，一元一次不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解题的关键．重点考向03：分式的基本性质【典例精讲】（2023秋•官渡区期末）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的一半 C．保持不变 D．无法确定【思路点拨】根据题意把x，y的值均扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可．【规范解答】解：由题意得：＝，分式的值保持不变．故选：C．【考点评析】此题主要考查了分式的性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．【变式训练3-1】（2023春•沙坪坝区校级期中）简单的规则可以涌现出丰富的代数结构．对单项式x进行如下操作：规定a1＝b1＝c1＝x，计算，，称为第一次操作：计算，，，称为第二次操作；以此类推：①a5＝﹣x；②；③当x＝2，c2401＝﹣698； ④对任意正整数n，等式b4n+3（c4n﹣c4n+1）＝b4n+2总成立．以上说法正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】①根据题中公式求出a4，a5，再作判断；②根据a1，a2，a3，a4……的值找到规律，再进行判断；③把x＝2代入，找到规律，再进行计算；④根据an，bn，cn的规律，进行计算判断．【规范解答】解：①a4＝＝，a5＝＝x，故①是错误的；②a1，a2，a3，a4……是x，，﹣，，∴四个为一个循环出现，∴a5＝a1，a6＝a2，a7＝a3，a8＝a4，∴＝，＝，∴②是正确的；③当x＝2时，a1，a2，a3，a4……是2，﹣3，﹣，，四个为一个循环出现，2401÷4＝600……1，c2401＝600×（2﹣3﹣+）+2＝﹣698，故③是正确的；④∵b4n+3（c4n﹣c4n+1）＝b3•（﹣c1）＝，b4n+2＝b2＝，∴b4n+3（c4n﹣c4n+1）＝b4n+2，故④是正确的，故选：C．【考点评析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律和掌握分式的运算是解题的关键．【变式训练3-2】（2023•石家庄模拟）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如 ．（1）下列分式中，属于真分式的是 C A、 B、 C、 D、（2）将假分式，化成整式和真分式的和的形式．【思路点拨】（1）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式得到只有﹣是真分式；（2）先把m2+3化为m2﹣1+4得到＝，然后分成两个分式+，其中前面一个分式约分后化为整式m﹣1，后面一个是真分式．【规范解答】解：（1）根据题意得﹣是真分式．故选C．（2）＝＝+＝m﹣1+．【考点评析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．【变式训练3-3】（2023春•沈丘县月考）已知分式A＝．（1）当a＞2时，把分式A的分子、分母同时加上3后得到分式B，分式B的值较原来的分式A的值是变大了还是变小了，试说明理由；（2）若A的值是整数，且a也是整数，求出符合条件的所有a的值．【思路点拨】（1）把分式化简后分子分母同时加上3得分式B，再根据求差法进行大小比较即可；（2）根据（1）的化简结果，分情况计算出a和A都是整数即可．【规范解答】解：（1）A＝，A的分子与分母同时加上3后得到分式B，∴，∴，∵a＞2，∴a﹣2＞0，a+1＞0，∴A﹣B＞0，∴A＞B．答：分式B的值较原来分式A的值是变小了；（2）A＝1+是整数，a也是整数，所以a﹣2是4的因数，所以a﹣2＝±1，±2，±4，∴a＝3，1，4，0，6，﹣2，所以所有符合条件的a的值为3，1，4，0，6，﹣2．【考点评析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．重点考向04：分式的乘除法【典例精讲】（2023春•晋江市期末）计算：＝ ﹣ ．【思路点拨】根据分式的乘方的运算法则进行运算求解．【规范解答】解：原式＝﹣，故答案为：﹣．【考点评析】本题考查了分式发乘方，掌握运算法则是解题的关键．【变式训练4-1】（2023春•长安区月考）甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a2﹣4）m，乙工程队每天修（a﹣2）2m（其中a＞2），则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？【思路点拨】根据题意，分别表示出甲工程队修900m所用时间和乙工程队修600m所用时间，再作两时间的比值即可求解．【规范解答】解：甲工程队修900m所用时间为，乙工程队修600m所用时间为，由题意可得：÷＝＝，∴甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的倍．【考点评析】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的乘除法运算，读懂题目，根据题意能列出分式是解题的关键．【变式训练4-2】（2022春•天桥区校级期中）化简下列分式．（1）；（2）÷；（3）÷．【思路点拨】（1）约去分子分母中的公因式即可；（2）利用分式的除法法则转化成乘法，再约去分子分母中的公因式即可；（3）利用分式的除法法则转化成乘法，将分子与分母中进行因式分解后约去分子分母中的公因式即可．【规范解答】解：（1）原式＝ac；（2）原式＝＝；（3）原式＝•＝．【考点评析】本题主要考查了分式的乘除法，正确使用约分的法则进行化简是解题的关键．【变式训练4-3】（2021•市中区校级开学）已知：A＝xy﹣x2，B＝，C＝，若A÷B＝C×D，求D．【思路点拨】根据所给出的条件A÷B＝C×D列出式子，经过运算即可求出D的值．【规范解答】解：A＝xy﹣x2＝x（y﹣x），B＝＝，C＝；∵A÷B＝C×D，∴x（y﹣x）÷＝×D，所以D＝x（y﹣x）×＝﹣y；∴D＝﹣y．【考点评析】本题综合地考查了化简分式以及分式的乘除法运算的知识，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，找出分子分母中能约分的公因式，然后进行约分．重点考向05：分式的加减法【典例精讲】（2023•景县校级模拟）已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【思路点拨】根据分式的加法法则解决此题．【规范解答】解：结论Ⅰ：当ab＝1，则M＝＝＝＝N．∴当ab＝1时，M＝N，即结论Ⅰ正确．结论Ⅱ：当a+b＝0时，则b＝﹣a．∴M＝＝，N＝＝．∴MN＝≤0．∴结论Ⅱ正确．综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确．故选：A．【考点评析】本题主要考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法法则是解决本题的关键．【变式训练5-1】（2023秋•无棣县期末）阅读下面的材料，并解答问题：分式的最大值是多少？解：，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4．根据上述方法，试求分式的最小值是 ．【思路点拨】先按照已知条件中的方法，把所求分式写成一个整数与一个分式差的形式，然后求出分式的最大值，从而求出原分式的最小值即可．【规范解答】解：＝＝＝，∵m2≥0，∴m2+2的最小值为2，∴的最大值为，∴的最小值为：，故答案为：．【考点评析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握把分式写成一个整数与一个分式和差的形式．【变式训练5-2】（2023春•开江县校级期末），则A+B＝ 2 ．【思路点拨】根据分式的基本性质解决此题．【规范解答】解：＝．∵，∴A（x+3）+B（x﹣1）＝2x﹣5．∴（A+B）x+3A﹣B＝2x﹣5．∴A+B＝2，3A﹣B＝﹣5．∴A＝，B＝．∴A+B＝2．故答案为：2．【考点评析】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．【变式训练5-3】（2023春•玄武区校级期中）深化理解：阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．∵对于任意x上述等式成立，∴解得：．∴＝x﹣2+．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 x+7+ ；（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．【思路点拨】（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论；（2）利用（1）中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论．【规范解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b，则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．∵对于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝x+7+．故答案为：x+7+．（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b，则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，∵对于任意x上述等式成立，∴，解得：．∴＝＝2x+11+．∵x为整数，分式的值为整数，∴为整数，∴x＝4或16或2或﹣10．【考点评析】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，本题是阅读型题目，连接题干中的方法并熟练应用是解题的关键．重点考向06：分式的混合运算【典例精讲】（2023秋•白河县期末）下列分式化简正确的是（ ）A． B． C． D．【思路点拨】根据分式化简的性质进行判断即可．【规范解答】解：A、C、D中无法化简，错误，故不符合要求；B正确，故符合要求；故选：B．【考点评析】本题考查了分式化简．解题的关键在于熟练掌握分式化简时，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．【变式训练6-1】（2023秋•靖宇县期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝ ﹣ ．【思路点拨】先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可．【规范解答】解：＝（a2﹣a）•﹣a×1＝a（a﹣1）•﹣a＝﹣a＝＝﹣，故答案为：﹣．【考点评析】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．【变式训练6-2】（2023•朝阳区校级开学）计算：（1）；（2）．【思路点拨】（1）除法转换为乘法，再约分即可；（2）根据分式的减法法则计算，再约分即可．【规范解答】解：（1）原式＝•＝；（2）原式＝＝＝a﹣b．【考点评析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【变式训练6-3】（2022秋•文登区期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：＝＝+＝1+；＝＝+＝2+（﹣）．（1）下列分式中，属于真分式的是： ③ （填序号）；① ② ③ ④（2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝ 2 + ，若假分式的值为正整数，则整数a的值为 ﹣2、1或3 ；（3）将假分式 化成整式与真分式的和的形式：＝ a+1+ ．【思路点拨】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；（2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式；（3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式．【规范解答】解：（1）根据题意可得，、、都是假分式，是真分式，故答案为：③；（2）由题意可得，＝，若假分式的值为正整数，则或2a﹣1＝1或2a﹣1＝5，解得，a＝﹣2或a＝1或a＝3，故答案为：2、，﹣2、1或3；（3）＝，故答案为：a+1+．【考点评析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．重点考向07：分式的化简求值【典例精讲】（2023秋•右玉县期末）若分式，则分式的值等于（ ）A．﹣ B． C．﹣ D．【思路点拨】根据已知条件，将分式整理为y﹣x＝2xy，再代入则分式中求值即可．【规范解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．【考点评析】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可．【变式训练7-1】．（2023秋•汉阳区期末）实数a、b满足ab＝1，记M＝+，N＝+，则M，N大小关系 M＝N ．【思路点拨】将M、N分别进行通分，代入已知ab＝1，化简整理后比较一下结果即可．【规范解答】解：∵M＝+＝＝，又∵ab＝1，∴M＝1；同理可得N＝+＝＝＝1．故M＝N．【考点评析】此题考查了分式的加减运算，运用了整体代入的数学思想．【变式训练7-2】（2023秋•成武县期末）（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中a在﹣1，1，2中选取一个．【思路点拨】（1）先通分，再根据分式的减法法则进行计算即可；（2）先分解因式和根据分式的除法法则进行计算，再约分和根据分式的乘法法则进行计算，算减法，根据分式有意义的条件求出a不能为1和﹣1，取a＝2，最后代入求出答案即可．【规范解答】解：（1）＝﹣＝＝＝＝﹣；（2）＝﹣•＝﹣＝＝，要使分式有意义，必须a﹣1≠0且a+1≠0，所以a不能为1和﹣1，取a＝2，原式＝＝＝0．【考点评析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．【变式训练7-3】（2023秋•襄城县期末）阅读理解材料：为了研究分式与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．根据上述材料完成下列问题：（1）当x＞0时，随着x的增大，的值 减小 （增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大，的值 减小 （增大或减小）；（2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；（3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围．【思路点拨】（1）由、的变化情况，判断1+、1+的变化情况即可；（2）由＝2+，即可求解；（3）由＝2+，再结合x的取值范围即可求解．【规范解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小，∴随着x的增大，1+的值减小；∵当x＜0时随着x的增大而减小，∵＝1+，∴随着x的增大，的值减小，故答案为：减小，减小．（2）∵＝＝2+，∵当x＞1时，的值无限接近0，∴的值无限接近2．（3）∵＝＝5+，又∵0≤x≤2，∴﹣13≤≤﹣，∴﹣8≤≤．【考点评析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．重点考向08：分式方程的解【典例精讲】（2023秋•纳溪区期末）已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1【思路点拨】由分式方程的解为非负数得到关于m的不等式，进而求出m的范围即可．【规范解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，即x＝m+1，由分式方程的解为非负数，得到m+1≥0，且m+1≠1，解得：m≥﹣1且m≠0，故选：C．【考点评析】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【变式训练8-1】（2023秋•綦江区期末）若整数m既能使关于x的不等式组有解，也能使关于y的分式方程 有整数解，则整数m的值为 ﹣1 ．【思路点拨】先解一元一次不等式组得到，根据不等式组有解求出m的范围，再解分式方程，再由解为整数且y≠3，m≠2，即可求出m的值．【规范解答】解：解关于x的不等式组得：，∵不等式组有解，∴m﹣3＜﹣1，解得：m＜2，解关于y的分式方程 得：y＝，∵y≠3，m≠2，∴≠3，m≠2，∴m≠1且m≠2，∵为整数，且m为整数，∴m＝﹣1，∴整数m的值为﹣1．故答案为：﹣1．【考点评析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，正确求出分式方程的解和一元一次不等式组的解是解决问题的关键．【变式训练8-2】（2023秋•阳新县期末）若关于y的不等式组无解，且关于x的分式方程1的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 3 ．【思路点拨】根据一元一次不等式组的解集确定a的取值范围，再根据分式方程的解以及增根的定义求出a的取值范围，综合得出a的取值范围，进而确定整数a的值即可．【规范解答】解：不等式≥y+的解集为y≥2，不等式﹣（y﹣a）＞0的解集为y＜a，∵关于y的不等式组无解，∴a≤2，将关于x的分式方程1的两边都乘以x+1得，x+4a+1＝﹣x﹣1，解得x＝﹣2a﹣1，由于分式方程有增根x＝﹣1，即﹣2a﹣1＝﹣1，解得a＝0，又由于分式方程的解为负数，即﹣2a﹣1＜0，解得a＞﹣，∴﹣＜a≤2，且a≠0，∴a 的整数值为a＝1或a＝2，∴所有满足条件的整数a的值之和是 1+2＝3．故答案为：3．【考点评析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法以及分式方程增根的定义是正确解答的关键．【变式训练8-3】（2022秋•济宁期末）阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．应用上面的结论解答下列问题：（1）方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，则p＝ ﹣6 ，q＝ 1 ；（2）方程x+＝8的两个解中较大的一个为 7 ；（3）关于x的方程2x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．（用含有字母n的式子表示）【思路点拨】（1）利用题干中的方法解答即可；（2）将原方程变形为题干中的模式，利用题干中的方法解答即可；（3）利用换元的思想，把2x﹣1看成一个未知数，将原方程变形，利用（2）值的方法解答即可．【规范解答】解：（1）∵方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，∴x+＝﹣2+3，即：x+＝1．∴p＝﹣6，q＝1．故答案为：﹣6；1；（2）∵方程x+＝8，∴x+＝7+1，∴关于x的方程x+＝7+1有两个解，分别为x1＝7，x2＝1，∴方程x+＝8的两个解中较大的一个为7，故答案为：7；（3）关于x的方程2x+＝2n就是：2x﹣1+＝2n﹣1，∴2x﹣1+＝n+n﹣1．∴2x﹣1＝n或2x﹣1＝n﹣1，∴x＝或x＝．∵x1＜x2，∴x1＝，，∴原式＝＝．【考点评析】本题主要考查了分式方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．重点考向09：解分式方程【典例精讲】（2023秋•佳木斯期末）对于实数a，b定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝，例如，1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗2＝﹣1的解是 x＝5 ．【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可．【规范解答】解：根据题中的新定义，化简得：＝﹣1，去分母得：1＝2﹣x+4，解得：x＝5，经检验，x＝5是分式方程的解，故答案为：x＝5．【考点评析】此题考查了解分式方程以及实数的运算，解分式方程时，一定要检验．弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式训练9-1】（2023秋•海陵区校级期末）（1）计算：；（2）解方程：．【思路点拨】（1）先利用绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，然后把化简后进行有理数的加减运算；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【规范解答】解：（1）原式＝2023+1﹣6+4＝2022；（2）两边都乘以2x﹣1，得：x＝2（2x﹣1）+3，解得x＝﹣，当x＝﹣时，2x﹣1＝﹣﹣1＝﹣≠0，∴原分式方程的解为x＝﹣．【考点评析】本题主要考查实数的运算，解分式方程，熟练掌握实数的运算法则和解分式方程的方法是解题的关键．【变式训练9-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：（1）（2）﹣＝1．【思路点拨】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【规范解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，移项合并得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【考点评析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【变式训练9-3】（2022秋•平城区校级期末）请阅读下列材料并回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下：解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①去括号，得2x﹣1＝3﹣1 ②解得x＝检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0 ③所以x＝是原分式方程的解 ④（1）你认为小明在哪里出现了错误 ①② （只填序号）（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项；（3）写出上述分式方程的正确解法．【思路点拨】（1）观察解方程过程，找出错误步骤即可；（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，写出三条注意事项即可；（3）写出正确的解答过程即可．【规范解答】解：（1）小明在①②出现了错误；故答案为：①②；（2）三条注意事项：去分母时，注意方程中的每项都要乘以最简公分母；去括号时，注意正确运用去括号法则；解整式方程求出x要进行检验；（3）正确解法为：去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+1）＝1，去括号得：2x﹣2﹣3x﹣3＝1，移项合并得：﹣x＝6，解得：x＝﹣6，经检验x＝﹣6是分式方程的解．【考点评析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．重点考向10：换元法解分式方程【典例精讲】（2023春•青浦区期末）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程是 y2﹣2y﹣3＝0 ．【思路点拨】由已知＝y，则原方程化为y﹣＝2，方程两边乘y即可得答案．【规范解答】解：，设＝y，则原方程化为：y﹣＝2，方程两边乘y得：y2﹣3＝2y，即y2﹣2y﹣3＝0，故答案为：y2﹣2y﹣3＝0．【考点评析】本题考查了解分式方程，能正确换元是解此题的关键．【变式训练10-1】（2022春•静安区校级期中）用换元法解分式方程+3＝0时，如果设＝y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 y2﹣9y﹣6＝0 ．【思路点拨】设＝y，可得＝，进而将原方程变为﹣y+3＝0，再去分母即可．【规范解答】解：设＝y，则＝，原方程可变为，﹣y+3＝0，，两边都乘以3y得，y2﹣9y﹣6＝0，故答案为：y2﹣9y﹣6＝0．【考点评析】本题考查换元法解分式方程，设＝y，得到＝，进而将原方程变为﹣y+3＝0是解决问题的关键．【变式训练10-2】（2023春•西安校级月考）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得y2﹣4＝0，解得y＝±2．经检验：y＝±2都是方程的解．当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得．经检验：x＝﹣1和都是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．用换元法解：．【思路点拨】按照材料中分式方程换元的方法，可设，原方程化为，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值．【规范解答】解：设，则原方程化为．方程两边同时乘y，得：y2﹣1＝0，解得y＝±1．经检验：y＝±1都是的解．当y＝1时，，解得x＝2．当y＝﹣1时，，解得x＝0．经检验：x＝2和x＝0都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x＝2和x＝0．【考点评析】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．重点考向11：分式方程的增根【典例精讲】（2023秋•林州市期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（ ）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【思路点拨】把分式方程化成整式方程得k+3＝x﹣2，由分式方程有增根得出x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2，即可求出k的值．【规范解答】解：去分母得：k+3＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2，解得：k＝﹣3，故选：C．【考点评析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键．【变式训练11-1】（2023秋•定陶区期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 1 ．【思路点拨】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把x＝2代入计算，即可求出m的值．【规范解答】解：∵，去分母，得：1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2）；∵分式方程有增根，∴x＝2，把x＝2代入1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2），则1﹣2＝﹣m﹣2（2﹣2），解得：m＝1；故答案为：1．【考点评析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式训练11-2】（2021春•城关区校级期末）已知关于x的分式方程+＝（1）若方程的增根为x＝1，求m的值（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程无解，求m的值．【思路点拨】方程去分母转化为整式方程，（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．【规范解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，移项合并得：（m+1）x＝﹣5，（1）∵x＝1是分式方程的增根，∴1+m＝﹣5，解得：m＝﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣2或x＝1，当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．【考点评析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．重点考向12：分式方程的应用【典例精讲】（2023秋•夏津县期末）赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香.2023年赣南脐橙需求量猛增，某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元．（1）该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱多少元？（2）为运输两批水果从A市到相距160km的B市，批发商租用了甲、乙两种货车来运输两批赣南脐橙，其中甲货车运输第一批，乙货车运输第二批，已知甲、乙货车的速度比为4：5，两车先后出发，当甲车到达B市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，求甲、乙两货车的速度．【思路点拨】（1）设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，则该水果批发商购进的第二批赣南脐橙每箱（x+10）元，根据某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；（2）设甲货车的速度为4y km/h，则乙货车的速度为5y km/h，根据当甲车到达B市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，列出分式方程，解方程，即可解决问题．【规范解答】解：（1）设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，则该水果批发商购进的第二批赣南脐橙每箱（x+10）元，由题意得：＝×2，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，答：该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱80元；（2）设甲货车的速度为4y km/h，则乙货车的速度为5y km/h，由题意得：+＝4.5，解得：y＝16，经检验，y＝16是原方程的解，且符合题意，∴4y＝4×16＝64，5y＝5×16＝80，答：甲货车的速度为64km/h，乙货车的速度为80km/h．【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式训练12-1】（2023秋•赣州期末）甲乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍．若设这个人步行的速度为x千米/小时，（1）这个人步行时间为 小时，骑车时间为 小时．（2）求步行速度和骑车的速度．【思路点拨】（1）根据时间＝路程÷速度进行计算并填空；（2）此题根据时间来列等量关系．本题的等量关系为：步行时间+骑车时间＝2．【规范解答】解：（1）步行速度为x千米/时，那么骑车速度是4x千米/时，则这个人步行时间为 小时，骑车时间为＝；故答案为：；；（2）依题意得 +＝2，解得x＝5经检验x＝5是原方程的解．∴4x＝20答：步行速度为5km/h，骑自行车速度为20km/h．【考点评析】本题考查了分式方程的应用．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：时间＝路程÷速度，需注意分式应用题需验根．【变式训练12-2】（2023秋•潮州期末）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 （20﹣） 天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【思路点拨】（1）关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量＝1；（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；（3）关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用（2）得到的代数式求解．【规范解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，+＝1，解得：x＝30，经检验x＝30是原方程的解．∴x+30＝60，答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；故答案为：（20﹣）；（3）设甲单独做了y天，y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，解得：y≥36答：甲工程队至少要单独施工36天．【考点评析】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．【变式训练12-3】．（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？【思路点拨】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，根据总费用＝700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【规范解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，依题意，得：700m+500×≤14500，解得：m≥10．所以m最小值是10．答：至少应安排甲队工作10天．【考点评析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1无意义10.50.0.25…
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