2023年山东省淄博市博山区中考数学三模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 中国航天科技的蓬勃发展，已在世界航天领域占据重要地位中国航天的下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B
2. 下列各组数中互为相反数的是（ ）
A. 3和B. 和C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】根据求一个数的绝对值，化简多重符号，求一个数的立方根，逐项化简各数，分析判断即可求解．
【详解】解：A． 3和不互为相反数，不符合题意；
B．和互为相反数，符合题意；
C．和不互为相反数，不符合题意；
D．和不互为相反数，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，化简多重符号，求一个数的立方根，判断相反数，分别化简各数是解题的关键．
3. 若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据按键的顺序即可得出算式．
【详解】解：根据按键顺序可知算式为
故选C．
【点睛】本题考查了科学计算器的使用与立方根，掌握“”与“平方根”键组合表示求一个数的立方根是关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
【点睛】根据合并同类项，幂乘方与积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．
5. 如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡能发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，能让灯泡发光的有6种情况，
∴能让灯泡发光概率为．
故选：C．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6. 如图，中，__________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（ ）
A. 是边上的中线B. 是的平分线
C. 是边上的垂线D. 是的中位线
【答案】A
【解析】
【分析】先表示出和的周长，再根据其差为6，可得，进而可得，问题得解．
【详解】的周长的为：，
的周长的为：，
∵，，要使和的周长的差是，
∴，
即：，
则有：，
∴，
故是边上的中线，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，掌握三角形中线的定义是解答本题的关键．
7. 表格是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．若成绩的平均数为23，众数是a，中位数是b，则的值是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平均数求得x、y的值，然后利用中位数及众数的概念求得b和a的值，从而求得的值即可．
【详解】解：∵平均数为23，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴中位数，众数，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，求得x、y的值是解答本题的关键．
8. 如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 10B. 12C. 15D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
9. 如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．
【详解】解：先求，函数与的交点，
解得：，
两个交点分别为，
∴函数与交于x轴同一点，
当a＞0时，二次函数的图象开口向上、对称轴在y轴的右侧，一次函数的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于x轴同一点；
当a＜0时，二次函数的图象开口向下、对称轴在y轴的左侧，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且两个函数的图象交于x轴同一点．
故选项B不可能．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据、与0的大小关系进行分类讨论．
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在格点处，点的坐标为，点的坐标为，以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. ，D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先根据图形和正方形的性质求出点的坐标，根据以原点为位似中心的位似图形的性质计算．
【详解】解：过点作轴的垂线，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，
以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，
点的对应点的坐标是，或，，即或，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 计算：______．
【答案】8
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
【详解】解：
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12. 两个最简二次根式与可以合并，则_____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
∴，
∴，
但当时，，不是最简二次根式，应舍去，
∴；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．
13. 已知二次函数中的和满足如表：
根据表格内容，该二次函数的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数对称性．由表格数据可得抛物线对称轴，再由抛物线对称性求解．
【详解】解：由表格可得抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
，关于对称轴对称，
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由扇形面积﹣三角形面积求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的面积与等边三角形的性质与判定，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
15. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，EF是过点A的一条直线，若记∠BAF＝α（0°＜α≤120°），作点B关于直线EF的对称点P，则下列选项正确的有____________．
①当30°＜α＜45°时，2＜BP＜2；
②当60°＜α＜75°时，2＜BP＜＋；
③当BP＝1时，α＝15°；
④当BP＝2时，α＝60°或120°．
【答案】①②④
【解析】
【分析】首先作B点关于EF的对称点P，由特殊角的直角三角形三边关系结合勾股定理可得BP长，然后根据α取值范围或BP的值，逐一判断即可．
【详解】解：过B作BH⊥EF交EF于H，延长BH到P，使PH=BH，则P点就是B点关于EF的对称点，且 BP=2BH．
∴BP=2BH，
当α=30°时，由30°的直角三角形的性质可知：BH=AB，
∴BP=2BH=2×AB =2，
当α=45°时，由45°的直角三角形的性质可知：BH=AB，
∴ BP=2BH=2×AB =
∵30°＜α＜45°
∴，
∴①正确；
当α=60°时，由30°的直角三角形的性质可知：BH=AB，
∴BP=2BH=2AB = ，
当α=75°时，由30°的直角三角形和45°的直角三角形的性质及勾股定理（特别说明给予了推导）可知：BH=AB，
∴ BP=2BH=2×AB =，
∵60°＜a＜75°，
∴，
特别说明：
在△ABC中，∠A=90°，∠ACB=30°，延长AC到D，使CD=BC，连结BD，
则∠ADB=∠BCD=15°，∠ABD=75°．
令AB=1，∴BC=CD=2AB=2，AC=，AD=AC+CD=2+，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得
∴，得到
∴，得到
∴②正确；
∵BP=1，
∴，
∴，
而若α＝15°，由特别说明推导可知
，
∴③不正确；
∵，
∴，
∴，
结合②的推导及对称性可得α=60°或120°，
∴④正确；
故正确的有：①②④
【点睛】本题考查菱形性质、轴对称性质、勾股定理及含特殊角的直角三角形的三边关系，解题关键是结合图形，熟练掌握并应用勾股定理．
三、解答题（本大题共9小题，共9.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 定义一种新的运算，如，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义运算列式子计算即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：方程两边同乘，得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ADF≌△CBE．
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质得出，进而证明；
（2）根据，得出，，进而得出 ，可得，进而即可得证．
小问1详解】
证明：四边形是平行四边形
，，
，
又，
．
【小问2详解】
已证
，
，
内错角相等，两直线平行
又
四边形是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
（1）在图中画出关于轴对称的图形；
（2）的面积为______；
（3）在轴上确定一点，使的周长最小，并直接写出点坐标．（注：不写作法，只保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）4
（3）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数确定出A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 点P即为所求；设交y轴于Q，取，连接，利用进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
解：的面积；
故答案为：；
【小问3详解】
解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 点P即为所求；设交y轴于Q，取，连接，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，轴对称最短路径问题，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
20. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：
（1）九年级接受调查的同学共有多少名，并补全条形统计图；
（2）九年级共有500名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生，心理老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，请直接写出同时选出的两名同学都是女生的概率．
【答案】（1）50名，见解析
（2）120名 （3）
【解析】
【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可求得总人数，求出听音乐的人数即可补全条形统计图；
（2）用总人数乘以样本中“听音乐”人数所占比例即可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：九年级接受调查的同学总数为（名，
则“听音乐”的人数为（名，
补全图形如下：
【小问2详解】
解：估计该校九年级听音乐减压的学生约有（名）；
【小问3详解】
解：画树状图得：
共有20种等可能的结果，选出同学是都是女生的有2种情况，
选取的两名同学都是女生的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21. 在交城县城西北方向的卦山群峰中，位于中央的小山峰上屹立着一座白塔，它在卦山诸多名胜中最引人注目如图．某数学小组为测量白塔的高度，在处如图测得塔顶的仰角为，然后沿着斜坡前进米到达处，在处测得到塔脚的距离米，已知，，求白塔的高度．
【答案】米
【解析】
【分析】依题意，，四边形是矩形，，解，得出,，解得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，四边形是矩形，，
在中，，，
设，则，
∴，
∵，
∴,，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
答：白塔的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，，，点的坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；；
（2）9； （3）或．
【解析】
【分析】（1）解直角三角形求得，利用勾股定理求得，即可求得点，故反比例函数的表达式为：，从而求得，将点、的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）首先求得点的坐标，然后利用的面积求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【小问1详解】
轴于点，，，
，
，
，
点，
反比例函数的图象过点，
，
故反比例函数的表达式为：，
把代入得，，
，
将点、的坐标代入一次函数表达式得，
解得，
故一次函数的表达式为：；
小问2详解】
把代入，求得，
，
的面积；
【小问3详解】
观察图象，不等式的解集是或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了解直角三角形，反比例函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
23. 如图，在正方形中，E是上一点，连接．过点A作，垂足为F，经过点C、D、F，与相交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若正方形的边长为5，，求的正切值和的半径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），半径
【解析】
【分析】（1）利用同角的余角相等证明，利用圆内接四边形的性质证明即可；
（2）由可得，由可得，即可得到；
（3）利用求出的正切值，再证明是直径，求出即可解决问题；
【小问1详解】
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵,
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，连接．
∵正方形的边长为5，，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴直径，
∴的半径为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24. 如图，已知抛物线（，是常数）与轴交于，两点，顶点为，点为线段上的动点（不与、重合），过作交抛物线于点，交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求面积的最大值；
（3）连接，当时，求点的坐标；
（4）点在运动过程中，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）
（2）2 （3）
（4）或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将抛物线表达式化为顶点式求得点的坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，，利用相似三角形的判定与性质求得线段，利用求得面积，再利用配方法和二次函数的性质解答即可；
（3）利用待定系数法求得直线的解析式，再利用平行线的性质和待定系数法求得直线的解析式，将直线的解析式与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论；
（4）利用分类讨论的思想方法，分种情形讨论解答：①当时，利用相似三角形的判定与性质求得线段即可；②当时，利用等腰三角形的性质和待定系数法解答即可；③当时，利用抛物线的性质，相似三角形的判定与性质和待定系数法解答即可．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
该抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：，
顶点．
，，
，，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，，
，
设，则，，
，
，
．
轴，轴，
，
，
，
，
．
，
，
当时，面积的最大值为；
【小问3详解】
解：设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，，
．
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
，
解得：或．
；
【小问4详解】
解：点在运动过程中，存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，理由：
过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
．
①当时，
，
，
，
，
，
；
②当时，
轴，
．
的横坐标为．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
．
由（3）知：直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
；
当时，则，
由题意：垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
轴，轴，
，
，
，
．
，
．
的横坐标为．
当时，．
，
设直线的解析式为，
．
．
直线的解析式为，
令，则，
．
．
综上，点在运动过程中，存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
成绩（分）
30
25
20
15
人数
2
x
y
1