2023-2024学年上海交大附中高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海交大附中高一（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.对于实数a，b，c，“ac2>bc2”是“a>b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x)，那么当xa的值域为(−∞,3a]，则实数a的取值范围是______．
16.已知x,y∈(0,π2)，且tanxtany+tanxsiny−sinx≤1，则x2−2(y−1)2的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
已知α、β均为第二象限角，且cs(α−π2)= 55，sinβ= 1010．
(1)求csα的值；
(2)求tan(α+β)的值．
18.(本小题15分)
设a为实数，函数f(x)=2x2+(x−a)|x−a|
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值．
19.(本小题15分)
为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜种植实践活动.经测量，边界AB与AD的长度都是14米，∠BAD=60°，∠BCD=120°．
(1)若DC的长为6米，求BC的长；
(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=lgax−1x+1(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)若当a=12时，函数g(x)=f(x)−b在(1,+∞)有且只有一个零点，求实数b的范围；
(3)是否存在实数a，使得当f(x)的定义域为[m,n]时，值域为[1+lgan,1+lgam]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.(本小题16分)
已知函数y=f(x)的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在x0，使得f(x0)=f(x0+m)，则称函数y=f(x)在区间D上具有性质P(m)．
(1)判断函数f(x)=x2在区间[−1,1]上是否具有性质P(12)，并说明理由；
(2)若函数f(x)=sinx在区间(0,n)(n>0)上具有性质P(π4)，求n的取值范围；
(3)已知函数y=f(x)的图像是连续不断的曲线，且f(0)=f(2)，求证：函数y=f(x)在区间[0,2]上具有性质P(13).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
【解答】
解：若ac2>bc2，则c≠0，则不等式等价为a>b，即充分性成立，
若c=0，若a>b，则ac2>bc2不成立，即必要性不成立，
故，“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件，
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：设x0，
故可得f(−x)=−x(1−x)，
又y=f(x)是奇函数，
则−f(x)=f(−x)=−x(1−x)，
故可得f(x)=x(1−x)，
故选：B．
设x0，代入已知式子，由函数的奇偶性可得．
本题考查函数对称区间的解析式，涉及函数的奇偶性，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：设x=csθ，y=sinθ则xa+yb=1
对任意角θ，都有csθa+sinθb=1，可看成直线xa+yb=1与单位圆有交点
d=|ab| a2+b2≤ 1，化简得1a2+1b2≥1，
故选D．
先换元，对任意角θ，都有csθa+sinθb=1，可转化成直线xa+yb=1与单位圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径建立不等关系即可．
本题主要考查了基本不等式，转化成直线和圆恒有交点，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：对①，因为f(x)是“{1}关联”的，
∴当x1−x2=1时，f(x1)−f(x2)=1，
从而可得自变量增加的倍数与相应函数值增加的倍数相同，
∴f(x)一定是“{k}关联”的(k为正整数)，∴①正确；
下证②也是真命题：
对于任意x，我们估计f(x+ab)−f(x)的范围．
一方面，考虑自变量每次增量为a，共增了b次，
则f(x+ab)−f(x)∈[ab,b2](*)；
另一方面，考虑自变量每次增量为b，共增了a次，
则f(x+ab)−f(x)∈[a2,ab]．
由此可得f(x+ab)−f(x)=ab，
此时(*)中不等式取等号，只能f(x+a)−f(x)=a，
即f(x)一定是“{a}关联”的．
故选：A．
根据题意可得：新概念刻画了在任意x处，函数的自变量增量和相应函数值增量之间的关系，再根据新定义分别求解即可．
本题考查命题真假的判断，新定义的应用，属中档题．
5.【答案】8
【解析】解：集合A={−1,0,1}子集的个数是：23=8．
故答案为：8．
集合A中如果有n个元素，则集合A有2n个子集．
本题考查集合的子集个数的求法、考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】−13
【解析】解：根据题意，若lg(3x+2)=0，必有3x+2=1，解可得x=−13．
故函数的零点为x=−13．
故答案为：−13．
根据题意，解方程lg(3x+2)=0，求出x的值，即可得答案．
本题考查函数的零点，注意函数零点的定义，属于基础题．
7.【答案】32
【解析】解：有题意可知，2a=2 2，
∴a=32，
故答案为：32．
把点坐标代入幂函数解析式，即可求出a的值．
本题主要考查了幂函数的定义，是基础题．
8.【答案】65
【解析】解：直径为6的圆中，25弧度的圆心角所对的弧长为：62×25=65．
故答案为：65．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
9.【答案】34
【解析】解：由题意知csα=35，ctα=34．
故答案为：34．
由已知结合同角基本关系即可直接求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
10.【答案】2
【解析】解：根据题意得f(x)=sinωx+ 3csωx=2sin(ωx+π3)，可得f(x)的最小正周期T=2π|ω|=π，结合ω>0解得ω=2．
故答案为：2．
根据两角和与差的三角函数公式，化简得f(x)=2sin(ωx+π3)，再由三角函数的周期公式，算出ω的值．
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、三角函数的周期公式等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．
11.【答案】[0,4)
【解析】解：a=0时，不等式ax2+ax+1>0化为1>0，对任意实数x不等式恒成立，满足条件；
a≠0时，根据一元二次不等式恒成立的条件，应满足a>0△0a2−4a