2023-2024学年上海理工大附中高一（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海理工大附中高一（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知全集为，集合，，，则 ．
2．（3分）若集合，，，且，则的取值范围是 ．
3．（3分）“且”的否定形式为 ．
4．（3分）如图，已知是全集，、、是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 ．
5．（3分）集合，，且，则实数可取值组成的集合为 ．
6．（3分）已知，，且，，则的取值范围为 ．
7．（3分）下面六个关系式：①；②；③；④，；⑤，，；⑥，，其中正确的是 ．
8．（3分）下列命题中真命题的编号是 ．
①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足，，2，3，4，的集合有7个．
9．（3分）已知集合，中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 ．
10．（3分）已知实数、满足，，则以、为两根的一个一元二次方程可以是 ．
11．（3分）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 （填序号）．
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件．
12．（3分）设集合，，且，，则实数的取值范围是 ．
13．（3分）设是集合，2，3，4，5，6，的子集，有且仅含有3个互不相邻的整数元素，则满足条件的集合的个数为 ．
14．（3分）设集合，，，，，2，3，，，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为 ．
15．（3分）某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 ．
二、解答题
16．比较与的大小．
17．若集合，，，，且，0，，求实数，的值．
18．求证：是无理数．
19．数字1，2，3，，的任意一个有序排列记作，，，，设为所有这样的排列构成的集合．如：，．
记集合，，，任意整数，都有；
记集合，，，任意整数，都有．
（1）用列举法表示集合；
（2）用列举法表示集合，；
（3）求集合中元素的个数．
20．已知集合，2，3，，，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，，若都不能整除，则称集合是的“好子集”．
（1）分别判断数集，4，6，与，4，是否是集合的“好子集”，并说明理由；
（2）证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，，都有；
（3）求集合的“好子集” 所含元素个数的最大值．
参考答案
一、填空题
1．（3分）已知全集为，集合，，，则 ．
解：，，，
则，．
故答案为：．
2．（3分）若集合，，，且，则的取值范围是 ， ．
解：集合，，，且，则．
故答案为：，．
3．（3分）“且”的否定形式为 或 ．
解：“且”的否定形式为：或．
故答案为：或．
4．（3分）如图，已知是全集，、、是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 ．
解：由韦恩图可知阴影部分表示集合中集合的补集与集合的公共部分，
所以可以表示为．
故答案为：．
5．（3分）集合，，且，则实数可取值组成的集合为 ，0， ．
解：因为，，
所以由可得：，
1．当时，，满足条件；
2．当时，，，
所以或，即或．
综上所述：，0，．
故答案为：，0，．
6．（3分）已知，，且，，则的取值范围为 ．
解：因为，，
所以，，
则，即的取值范围为．
故答案为：．
7．（3分）下面六个关系式：①；②；③；④，；⑤，，；⑥，，其中正确的是 ①③⑤ ．
解：因为空集是任何集合的子集，所以；故①正确；
由元素与集合的关系，可知，而不是，故②错误；
根据任意集合是它本身的子集，可知，故③正确，
由集合与集合的关系，可知，而不是，，故④错误；
由元素与集合的关系，可知，，，故⑤正确；
由集合与集合的关系，可知，而不是，，故⑥错误．
故答案为：①③⑤．
8．（3分）下列命题中真命题的编号是 ③④⑤ ．
①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足，，2，3，4，的集合有7个．
解：对于①：当时方程是一元一次方程，故①错误；
对于②：空集是任何非空集合的真子集，故②错误；
对于③：互相包含的两个集合相等，故③正确；
对于④：令，解得，所以函数的图像与轴有一个交点，故④正确；
对于⑤：若则，所以，故⑤正确；
对于⑥：满足，，2，3，4，的集合有，2，，，2，，，2，，
，2，3，，，2，3，，，2，4，共6个，故⑥错误．
故答案为：③④⑤．
9．（3分）已知集合，中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 ， ．
解：集合，中只有一个整数元素，
则，，即，此时，故，解得．
故，．
故答案为：，．
10．（3分）已知实数、满足，，则以、为两根的一个一元二次方程可以是 （答案不唯一） ．
解：因为，所以，
又，解得，
即，所以、是方程的两根．
故答案为：（答案不唯一）．
11．（3分）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 （1）（2）（3） （填序号）．
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件．
解：对于（1）开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，故（1）正确；
对于（2）开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，故（2）正确；
对于（3）开关闭合是灯泡亮的充要条件，故（3）正确；
对于（4）开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误；
故答案为：（1）（2）（3）．
12．（3分）设集合，，且，，则实数的取值范围是 ．
解：因为集合，，且，，
所以，或或，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，△，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
13．（3分）设是集合，2，3，4，5，6，的子集，有且仅含有3个互不相邻的整数元素，则满足条件的集合的个数为 10 ．
解：满足条件的子集为：
，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，5，，，4，，，4，，，5，，，5，．
故答案为：10．
14．（3分）设集合，，，，，2，3，，，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为 45 ．
解：将集合，2，3，，按照除以5的余数分为：
，10，，，，6，，，，7，，，，8，，，
，9，，，
有21个元素，有22个元素，有22个元素，有21个元素，有21个元素，
中最多可以选择1个，
和中只能选择一个集合中的元素，最多22个，
和中只能选择一个集合中的元素，最多22个，
综上所述：中选择1个，和中的全部元素，共45个．
故答案为：45．
15．（3分）某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 6 ．
解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为，，，且集合，，中元素个数分别为（A），（B），（C），
则（A），（B），（C），，
因为（A）（B）（C），
且，，，
所以，
即．
故答案为：6．
二、解答题
16．比较与的大小．
解：，
即，当且仅当时等号成立．
17．若集合，，，，且，0，，求实数，的值．
解：，0，，
把代入，可得，矛盾，
，则，
，则，，，
，代入得：，解得．
实数，的值分别为2，0．
18．求证：是无理数．
【解答】证明：假设是有理数，则不妨设，为互质正整数），
从而：，，可见是3的倍数．
设是正整数），则，可见也是3的倍数．
这样，，就不是互质的正整数（矛盾）．
不可能，
是无理数．
19．数字1，2，3，，的任意一个有序排列记作，，，，设为所有这样的排列构成的集合．如：，．
记集合，，，任意整数，都有；
记集合，，，任意整数，都有．
（1）用列举法表示集合；
（2）用列举法表示集合，；
（3）求集合中元素的个数．
解：（1）依题意，2，，，3，，，1，，，3，，，1，，，2，．
（2）因为集合，，，任意整数，都有，所以，2，，
，，，任意整数，都有，
所以，2，，，3，，，1，，，2，；
（3）考虑集合中的元素，，，．
由已知，对任意整数，，都有，
所以，
所以．
由，的任意性可知，，，，是1，2，3，，的单调递增排列，
所以，2，3，，，
又因为当时，对任意整数，，，
都有，
所以，2，3，，，所以，
所以集合的元素个数为1．
20．已知集合，2，3，，，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，，若都不能整除，则称集合是的“好子集”．
（1）分别判断数集，4，6，与，4，是否是集合的“好子集”，并说明理由；
（2）证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，，都有；
（3）求集合的“好子集” 所含元素个数的最大值．
【解答】解（1）由于整除，所以集合不是集合的“好子集”；
由于不能整除，不能整除，不能整除，
所以集合是集合的“好子集”；
（2）（反证）首先，由于是 “好子集”，所以，
假设存在中的任意两个不同的元素，，使得，
则与同为奇数或同为偶数，从而是偶数，
此时，能整除，与是 “好子集”矛盾，
故若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，，都有；
（3）设集合，，，，是集合的一个“好子集”，
令：，，2，3，，
由（2）知，，2，3，
于是：．
从而：
所以：．
另一方面：取，4，7，，997，（证明是好子集），
此时集合有334个元素，且是集合的一个“好子集”，
故集合的“好子集” 所含元素个数的最大值为334．