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2023-2024学年北京二十中高一（下）开学数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年北京二十中高一（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2+x−2≤0}，B={x|x+1x−2≥0}，则A∩(∁RB)=( )
A. {x|−12.已知函数y=f(x)可表示为，则下列结论正确的是( )
A. f(f(4))=3B. f(x)的值域是{1,2,3,4}
C. f(x)的值域是[1,4]D. f(x)在区间[4,8]上单调递增
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=lg2x，则f(−4)的值是( )
A. 2B. −2C. −12D. 12
4.若两个非零实数a，b满足a>|b|，则下列不等式不成立的是( )
A. a>bB. a+2>b−2C. 1a>1bD. a+b>0
5.化简 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)得( )
A. sin2+cs2B. cs2−sin2C. sin2−cs2D. ±cs2−sin2
6.已知f(x)=sinπx(x<0)f(x−1)−1(x>0)，则f(−116)+f(116)的值为( )
A. −1B. −2− 3C. −2D. −3
7.设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则( )
A. 2x<3y<5zB. 5z<2x<3yC. 3y<5z<2xD. 3y<2x<5z
8.设函数f(x)=csx+bsinx(b为常数)，则“b=0”是“f(x)为偶函数”的
( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.函数f(x)=|2x−3|−8sinπx(x∈R)的所有零点之和为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
10.甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛(至少包含数学和物理)，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x，另一个学生的分数为y，第三个学生的分数为z，其中x，y，z是三个互不相等的正整数.在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分，且在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则( )
A. 甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛
B. x，y，z这三个数中的最大值可以取到21
C. 在甲乙丙这三个学生中，甲的物理竞赛成绩可能排名第二
D. 在甲乙丙这三个学生中，丙的物理竞赛成绩一定排名第二
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.能说明命题“如果函数f(x)与g(x)的对应关系和值域都相同，那么函数f(x)和g(x)是同一函数”为假命题的一组函数可以是f(x)= ，g(x)= ．
12.下列结论正确的是______．
①当x>0时， x+1 x≥2；
②当x>2时，x+1x的最小值是2；
③设x>0，y>0，且x+y=2，则1x+4y的最小值是92．
13.已知a>b>1，且lgab+lgba=52，ab=ba，则a= ______．
14.f(x)=−3sin(ωx+φ)，对于任意的x都有f(π3+x)=−f(π3−x)，则f(π3)= ______．
15.若函数f(x)=−2x2+4x,x>02x2,x≤0在区间(a−1,3−2a)上有最大值，则实数a的取值范围是______．
16.关于函数f(x)=sinx+1sinx有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x=π2对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
设集合A={x|−1(1)若a=2，求A∪B和A∩B；
(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(4x−8)．
(Ⅰ)求函数f(x)的零点；
(Ⅱ)求函数f(x)的图象与函数g(x)=x+1的图象的交点坐标；
(Ⅲ)若函数f(x)的图象恒在直线y=4x+b的下方，求b的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,−π2≤φ≤π2)的图象关于直线x=π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
(1)求ω和φ的值；
(2)当x∈[0,π2]时，求函数y=f(x)的最大值和最小值；
(3)设g(x)=f(cx)(c>0)，若g(x)图象的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(1−x)+kln(1+x)，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：
条件①：f(x)+f(−x)=0
条件②：f(x)−f(−x)=0
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．
(Ⅰ)求实数k的值；
(Ⅱ)设函数F(x)=(1−x)(1+x)k，判断函数F(x)在区间上(0,1)的单调性，并给出证明；
(Ⅲ)设函数g(x)=f(x)+xk+2|k|，指出函数g(x)在区间(−1,0)上的零点的个数，并说明理由．
21.(本小题12分)
定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)=−2．
(1)判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)判断f(x)的单调性，并求当x∈[−3,3]时，f(x)的最大值及最小值；
(3)在b> 2的条件下解关于x的不等式12f(bx2)−f(x)>12f(b2x)−f(b)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查交集、补集的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
求出集合A，B，进而求出∁RB，由此能求出A∩(∁RB)．
【解答】
解：∵集合A={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，
B={x|x+1x−2≥0}={x|x≤−1或x>2}，
∴∁RB={x|−1∴A∩(∁RB)={x|−1故选D．
2.【答案】B
【解析】解：由表知，
A：∵f(4)=3，∴f(f(4))=f(3)=2，∴A错误，
BC：∵f(x)的值域为{1,2,3,4}，∴B正确，C错误，
D：当4≤x<6时，y=3，∴f(x)在[4,8]不是单调递增，∴D错误，
故选：B．
利用分段函数值域的求法判断ABC，利用单调性判断D．
本题考查分段函数值域的求法，单调性的判断，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=lg2x，则f(4)=lg24=2，
又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−4)=f(4)=2，
故选：A．
根据题意，由函数的解析式求出f(4)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为a>|b|≥b，即a>b正确；
由a>b可得a+2>b−2一定成立，B正确；
由题意得a>0，b可正可负，
当a>0，b<0时，1a>1b一定成立，
当a>0，b>0时，由a>b可得，1a<1b，C错误；
由a>|b|可得a>−b，即a+b>0一定成立，D正确．
故选：C．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解： 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)= [sin(π−2)+cs(π−2)]2=|sin(π−2)+cs(π−2)|=|sin2−cs2|
∵sin2>0，cs2<0，
∴sin2−cs2>0，
∴ 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)=sin2−cs2
故选C
利用诱导公式对原式化简整理，进而利用同角三角函数关系进行化简，整理求得问题答案．
本题主要考查了诱导公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．巧妙的利用了同角三角函数中平方关系．
6.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=sinπx(x<0)f(x−1)−1(x>0)
∴f(−116)=sin(−11π6)=sinπ6=12
f(116)=f(116−1)−1=f(56)−1=f(56−1)−2=f(−16)−2=−sinπ6−2=−52
故f(−116)+f(116)=−2
故选：C．
由已知中f(x)=sinπx(x<0)f(x−1)−1(x>0)，我们分别求出f(−116)和f(116)，代入即可求出f(−116)+f(116)的值．
本题考查的知识点是分段函数的函数值，诱导公式，其中根据诱导公式分别求出f(−116)和f(116)值，是解答本题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的单调性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
方法一：x、y、z为正数，可得x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5，可得3y=lgklg33，2x=lgklg 2，5z=lgklg55，即可得出大小关系．
方法二：x、y、z为正数，可得x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5，作商比较可得三个数之间的大小关系．
【解答】
解：方法一：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k>1，则lgk>0，
则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．
∴3y=lgklg33，2x=lgklg 2，5z=lgklg55，
∵33=69>68= 2， 2=1032>1025=55．
∴lg33>lg 2>lg55>0．
∴3y<2x<5z．
故选：D．
方法二：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k>1，lgk>0，
则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．
∴2x3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x>3y，
5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52>1，可得5z>2x．
综上可得：5z>2x>3y．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
“b=0”⇒“f(x)为偶函数”，“f(x)为偶函数”⇒“b=0”，由此能求出结果．
【解答】
解：设函数f(x)=csx+bsinx(b为常数)，
若b=0，f(x)=csx，
则“b=0”⇒“f(x)为偶函数”，
若f(x)为偶函数，f(−x)=f(x)，
即cs(−x)+bsin(−x)=csx−bsinx=csx+bsinx，所以b=0，
则“f(x)为偶函数”⇒“b=0”，
则“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．
故选C．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合，属于中档题．
由题意画出函数图象，再判断零点个数，再求和即可．
【解答】
解：令f(x)=0可得8sinπx=|2x−3|，
作出g(x)=8sinπx和h(x)=|2x−3|的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象有8个交点，
又两函数图象均关于直线x=32对称，
∴f(x)的8个零点之和为32×2×4=12．
故选：C．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了合情推理的应用，主要考查了逻辑推理能力，正确理解题意是解题的关键，属于基础题．
确定甲乙丙三人总得分，不妨设x>y>z>0，先根据87的因数，即可判断选项A，通过分析甲乙丙的得分情况，判断甲必有第一名，且第一名分数不少于16分，丙没有第一名，由此进行推理，即可判断选项C，D，再列出x，y，z的方程组，求出x，y，z，即可判断选项B．
【解答】
解：甲乙丙三人总得分为47+24+16=87分，不妨设x>y>z>0，
因为87只能被3和29整除，所以共有3门学科竞赛，每门一二三名总分为29分，即x+y+z=29，故选项A错误；
乙得分24甲共得47分，平均每门473>15分，故甲必有第一名，且第一名分数不少于16分，
丙三门共16分，则必然没有第一名，
故甲有两门第一，且这两门中乙第三，丙第二，
因为16不能被3整除，
所以数学丙第三，甲第二，故选项C错误，选项D正确；
由上述条件可知，2x+y=47x+2z=242y+z=16，解得x=20y=7z=2，故选项B错误．
故选D．
11.【答案】x2，x∈(−1,1)
x2，x∈[0,1)
【解析】【分析】
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
判断两个函数是同一函数时，只需判断两个函数的定义域相同，对应关系也相同即可，如果两个函数的对应关系相同，值域也相同，这两个函数不一定是同一函数，举例说明即可．
【解答】
解：如果两个函数的对应关系和值域都相同，那么这两个函数不一定是同一函数，
如：f(x)=x2，x∈(−1,1)，g(x)=x2，x∈[0,1)，它们的定义域不同，不是同一函数．(答案为不唯一)
故答案为：x2，x∈(−1,1)；x2，x∈[0,1)．
12.【答案】①③
【解析】解：∵x>0，∴ x+1 x≥2(，当且仅当 x=1 x，即x=1时取等号，∴①正确；
∵x>2，∴x+1x>52，∴②错误；
又∵x>0，y>0，且x+y=2，
∴1x+4y=12(1x+4y)(x+y)=12(5+4xy+yx)≥12(5+2 4xy⋅yx)=92，当且仅当4xy=yxx+y=2，即x=23，y=43时取等号，③正确．
故答案为：①③．
利用基本不等式逐项判断正误即可．
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：∵a>b>1，且lgab+lgba=52，
∴设lgba=t，t>1，
∵t+1t=52，
解得t=2，∴a=b2，
∵ab=ba，
∴b2b=bb2，∴2b=b2，
解得b=2，a=4．
故答案为：4．
设lgba=t，t>1，则t+1t=52，从而t=2，a=b2，由ab=ba，得2b=b2，由此能求出结果．
本题考查实数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14.【答案】0
【解析】解：∵对于任意的x都有f(π3+x)=−f(π3−x)，可得f(x)=−3sin(ωx+φ)的图象关于点(π3,0)对称，∴f(π3)=0
故答案为：0
由题中的条件可得f(x)=−3sin(ωx+φ)的图象关于点(π3,0)对称，故=π3x时，f(x)取得0值．
本题考查正弦函数的图象与性质．考查了关于点对称．
15.【答案】[0,1)
【解析】解：令g(x)=−2x2+4x，x>0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．
又f(1)=2=f(−1)，作出函数f(x)的大致图象，
又因为函数在区间(a−1,3−2a)上有最大值，
结合图象，由题意可得3−2a>1−1≤a−1<1，解得0≤a<1．
所以实数a的取值范围是[0,1)．
故答案为：[0,1)．
作出函数的图象，结合图象列出不等式组求解即可．
本题考查了二次函数的性质、数形给思想，作出图象是关键，属于中档题．
16.【答案】②③
【解析】【分析】
本题考查含sinx的函数的奇偶性，对称轴，最值，属于中档题．
先求定义域，再判断函数奇偶性，可判断①②；根据诱导公式化简，可得f(π−x)=f(x)，从而可得对称轴，可判断③；换元，结合对勾函数的图象与性质可判断④．
【解答】
解：对于①，由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，故定义域关于原点对称，
由f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx−1sinx=−f(x)；
所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；
对于③，由f(π−x)=sin(π−x)+1sin(π−x)=sinx+1sinx=f(x)，
所以该函数f(x)关于x=π2对称，③对；
对于④，令t=sinx，则t∈[−1,0)∪(0,1]，由双勾函数g(t)=t+1t的性质，可知，
g(t)=t+1t∈(−∞,−2]∪[2,+∞)，所以f(x)无最小值，④错；
故答案为：②③．
17.【答案】解：(1)因为a=2，所以B={x|0所以A∪B={x|−1(2)因为p是q成立的必要不充分条件，所以B⫋A，
当B=⌀时，2−a≥2+a，得a≤0；
当B≠⌀时，则2−a<2+a2−a≥−12+a≤3，等号不能同时取到，
解得0综上，实数a的取值范围是a≤1，即为(−∞,1]．
【解析】(1)利用集合的并集运算和交集运算即可求解；(2)将必要不充分条件转化为含参数的集合关系问题，分类讨论即可求解．
本题考查必要不充分条件的应用，考查集合的并集运算和交集运算，是中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)令lg2(4x−8)=0，
所以4x−8=1，即4x=9，
所以x=lg49=lg23，
所以f(x)零点为lg23；
(Ⅱ)令f(x)=g(x)，
即lg2(4x−8)=x+1，
所以4x−8=2x+1，
整理可得(2x)2−2⋅2x−8=0，
即(2x−4)(2x+2)=0，
所以2x=4，解得x=2；
将x=2代入g(x)=x+1中，可得g(2)=3，
所以函数f(x)的图象与函数g(x)图象的交点坐标为(2,3)；
(Ⅲ)由4x−8>0得22x>23，所以2x>3，解得x>32，
即函数f(x)的定义域为(32,+∞)，
由题意，f(x)<4x+b在(32,+∞)上恒成立．
所以4x−8<24x+b=2b⋅42x在(32,+∞)上恒成立．
令4x=t∈(8,+∞)，
则2b>1t−8(1t)2在(8,+∞)上恒成立，
即2b>[1t−8(1t)2]max即可，
令m=1t∈(0,18)，则y=−8m2+m，m∈(0,18)，
开口向下，对称轴m=116，所以m=116时，ymax=−8×1162+116=132=2−5，
所以2b>2−5，解得b>−5．
所以b的取值范围为(−5,+∞)．
【解析】(Ⅰ)令f(x)=0，解得x的值，即可得函数的零点；
(Ⅱ)令f(x)=g(x)，转化为指数形式，解得x的值，代入函数g(x)中，可得交点的纵坐标，即求出交点坐标；
(Ⅲ)由题意可得f(x)<4x+b，转化为指数表达式，换元，由函数的性质可得关于b的不等式，进而求出b的范围．
本题考查换元法的应用及二次函数的性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T=π，所以ω=2πT=2，
又因为f(x)的图象关于直线x=π3对称，
所以2×π3+φ=kπ+π2，k∈Z，所以φ=kπ−π6，k∈Z，
又−π2≤φ≤π2，所以φ=−π6，
综上可得ω=2，φ=−π6；
(2)由(1)知f(x)= 3sin(2x−π6)，
当x∈[0,π2]时，−π6≤2x−π6≤5π6，
所以当2x−π6=π2(即x=π3)时，f(x)max= 3，
当2x−π6=−π6(即x=0)时，f(x)min=− 32，
所以函数y=f(x)在x∈[0,π2]的最大值为 3，最小值为− 32；
(3)由题意g(x)=f(cx)= 3sin(2cx−π6)(c>0)，
∵g(x)图象的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，
∴12×2π2c≥π且c>0，解得0令2cx−π6=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ2c+π3c，k∈Z，
若g(x)图象的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，
则π当k=−1时，−112当k=0时，16故c的取值范围为(0,16]∪[13,512]．
【解析】(1)根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出φ；
(2)由(1)可得f(x)解析式，再由x的取值范围求出2x−π6的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；
(3)首先得到g(x)的解析式，由12×2π2c≥π求出c的大致范围，再求出g(x)图象的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c的取值范围，即可得解．
本题考查了函数的综合应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)令1−x>01+x>0，解得−1若选①因为f(x)+f(−x)=0，即f(x)为奇函数，
则ln(1−x)+kln(1+x)+ln(1+x)+kln(1−x)=0，所以(1+k)ln(1−x2)=0，
因为对任意x∈(−1,1)上式均成立，所以1+k=0，解得k=−1；
若选②因为f(x)−f(−x)=0，即f(x)为偶函数，
则ln(1−x)+kln(1+x)−[ln(1+x)+kln(1−x)]=0，所以(1−k)ln1−x1+x=0，
因为对任意x∈(−1,1)上式均成立，可得1−k=0，解得k=1．
(Ⅱ)若选①则k=−1，可得F(x)=(1−x)(1+x)−1=1−x1+x=21+x−1，
则函数F(x)在区间(0,1)上单调递减，证明如下：
对任意x1，x2∈(0,1)，且x1则F(x1)−F(x2)=(21+x1−1)−(21+x2−1)=21+x1−21+x2=2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)，
因为00，1+x2>0，x2−x1>0，
所以F(x1)−F(x2)>0，即F(x1)>F(x2)，
所以函数F(x)在区间(0,1)上单调递减；
若选②则k=1，可得F(x)=(1−x)(1+x)=1−x2，
则函数F(x)在区间(0,1)上单调递减，证明如下：
对任意x1，x2∈(0,1)，且x1则F(x1)−F(x2)=(1−x12)−(1−x22)=x22−x12=(x1+x2)(x2−x1)，
因为00，x2−x1>0，
所以F(x1)−F(x2)>0，即F(x1)>F(x2)，
所以函数F(x)在区间(0,1)上单调递减．
(Ⅲ)若选①则k=−1，则g(x)=f(x)+1x+2=ln1−x1+x+1x+2，
由(Ⅱ)可知，F(x)=1−x1+x在(0,1)内单调递减，且y=lnx在定义域内单调递增，
则f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)=ln1−x1+x在(0,1)内单调递减，
又f(x)为奇函数，则f(x)在(−1,0)内单调递减，且y=1x在(−1,0)内单调递减，
则g(x)在(−1,0)内单调递减，结合g(−12)=ln3>0,g(−110)=ln119−8<0，
可知g(x)在(−1,0)内有且仅有一个零点；
若选②则k=1，则g(x)=f(x)+x+2=ln(1−x2)+x+2，
由(Ⅱ)可知，F(x)=1−x2在(0,1)内单调递减，且y=lnx在定义域内单调递增，
则f(x)=ln(1−x)+ln(1+x)=ln(1−x2)在(0,1)内单调递减，
又f(x)为偶函数，则f(x)在(−1,0)内单调递增，
且y=x+2在(−1,0)内单调递增，则g(x)在(−1,0)内单调递增，
结合g(−12)=ln34+32>ln1e+32=12>0,g(−99100)=ln19910000+101100可知g(x)在(−1,0)内有且仅有一个零点．
【解析】(Ⅰ)根据题意结合奇偶性的定义求解即可；
(Ⅱ)根据单调性的定义证明即可；
(Ⅲ)根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断g(x)在区间(−1,0)上的单调性，再结合零点存在性定理判断即可．
本题考查了利用定义法证明函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.…(1分)
再令y=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)=0.∴f(−x)=−f(x)．
∴f(x)为奇函数．…(3分)
(2)任取x10.∴由已知得f(x2−x1)<0．
∴f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)=−f(x2−x1)>0．
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．…(6分)
∴当x∈[−3,3]时，f(3)≤f(x)≤f(−3)．
∵f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=−6，
∴f(−3)=−f(3)=6．
∴当x∈[−3,3]时，f(x)max=6，f(x)min=−6.…(8分)
(3)不等式可化为：f(bx2)−2f(x)>f(b2x)−2f(b)．
而2f(x)=f(x)+f(x)=f(2x)，
得f(bx2)−f(2x)>f(b2x)−f(2b)．
即f(bx2−2x)>f(b2x−2b)．
∵y=f(x)在R上是减函数，
∴bx2−2x当b> 2>0时,①得(x−b)(x−2b)<0；
当b> 2时,2b【解析】(1)可在恒等式中令x=y=0，即可解出f(0)=0，由奇函数的定义知，需要证明出f(−x)=−f(x)，观察恒等式发现若令y=−x，则问题迎刃而解；
(2)由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f(x2)−f(x1)与0的大小即可得出f(x)在R上是减函数，再根据单调性得出函数的最值即可．
(3)不等式可化为：f(bx2)−2f(x)>f(b2x)−2f(b)．再利用题中条件得到2f(x)=f(x)+f(x)=f(2x)，结合函数的单调性，将前不等式化成二次不等式，再解之即得．
本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．x
02≤x<4
4≤x<6
6≤x≤8
y
1
2
3
4
1.已知集合A={x|x2+x−2≤0}，B={x|x+1x−2≥0}，则A∩(∁RB)=( )
A. {x|−1
A. f(f(4))=3B. f(x)的值域是{1,2,3,4}
C. f(x)的值域是[1,4]D. f(x)在区间[4,8]上单调递增
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=lg2x，则f(−4)的值是( )
A. 2B. −2C. −12D. 12
4.若两个非零实数a，b满足a>|b|，则下列不等式不成立的是( )
A. a>bB. a+2>b−2C. 1a>1bD. a+b>0
5.化简 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)得( )
A. sin2+cs2B. cs2−sin2C. sin2−cs2D. ±cs2−sin2
6.已知f(x)=sinπx(x<0)f(x−1)−1(x>0)，则f(−116)+f(116)的值为( )
A. −1B. −2− 3C. −2D. −3
7.设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则( )
A. 2x<3y<5zB. 5z<2x<3yC. 3y<5z<2xD. 3y<2x<5z
8.设函数f(x)=csx+bsinx(b为常数)，则“b=0”是“f(x)为偶函数”的
( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.函数f(x)=|2x−3|−8sinπx(x∈R)的所有零点之和为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
10.甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛(至少包含数学和物理)，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x，另一个学生的分数为y，第三个学生的分数为z，其中x，y，z是三个互不相等的正整数.在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分，且在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则( )
A. 甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛
B. x，y，z这三个数中的最大值可以取到21
C. 在甲乙丙这三个学生中，甲的物理竞赛成绩可能排名第二
D. 在甲乙丙这三个学生中，丙的物理竞赛成绩一定排名第二
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.能说明命题“如果函数f(x)与g(x)的对应关系和值域都相同，那么函数f(x)和g(x)是同一函数”为假命题的一组函数可以是f(x)= ，g(x)= ．
12.下列结论正确的是______．
①当x>0时， x+1 x≥2；
②当x>2时，x+1x的最小值是2；
③设x>0，y>0，且x+y=2，则1x+4y的最小值是92．
13.已知a>b>1，且lgab+lgba=52，ab=ba，则a= ______．
14.f(x)=−3sin(ωx+φ)，对于任意的x都有f(π3+x)=−f(π3−x)，则f(π3)= ______．
15.若函数f(x)=−2x2+4x,x>02x2,x≤0在区间(a−1,3−2a)上有最大值，则实数a的取值范围是______．
16.关于函数f(x)=sinx+1sinx有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x=π2对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
设集合A={x|−1
(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(4x−8)．
(Ⅰ)求函数f(x)的零点；
(Ⅱ)求函数f(x)的图象与函数g(x)=x+1的图象的交点坐标；
(Ⅲ)若函数f(x)的图象恒在直线y=4x+b的下方，求b的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,−π2≤φ≤π2)的图象关于直线x=π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
(1)求ω和φ的值；
(2)当x∈[0,π2]时，求函数y=f(x)的最大值和最小值；
(3)设g(x)=f(cx)(c>0)，若g(x)图象的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(1−x)+kln(1+x)，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：
条件①：f(x)+f(−x)=0
条件②：f(x)−f(−x)=0
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．
(Ⅰ)求实数k的值；
(Ⅱ)设函数F(x)=(1−x)(1+x)k，判断函数F(x)在区间上(0,1)的单调性，并给出证明；
(Ⅲ)设函数g(x)=f(x)+xk+2|k|，指出函数g(x)在区间(−1,0)上的零点的个数，并说明理由．
21.(本小题12分)
定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)=−2．
(1)判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)判断f(x)的单调性，并求当x∈[−3,3]时，f(x)的最大值及最小值；
(3)在b> 2的条件下解关于x的不等式12f(bx2)−f(x)>12f(b2x)−f(b)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查交集、补集的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
求出集合A，B，进而求出∁RB，由此能求出A∩(∁RB)．
【解答】
解：∵集合A={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，
B={x|x+1x−2≥0}={x|x≤−1或x>2}，
∴∁RB={x|−1
2.【答案】B
【解析】解：由表知，
A：∵f(4)=3，∴f(f(4))=f(3)=2，∴A错误，
BC：∵f(x)的值域为{1,2,3,4}，∴B正确，C错误，
D：当4≤x<6时，y=3，∴f(x)在[4,8]不是单调递增，∴D错误，
故选：B．
利用分段函数值域的求法判断ABC，利用单调性判断D．
本题考查分段函数值域的求法，单调性的判断，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=lg2x，则f(4)=lg24=2，
又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−4)=f(4)=2，
故选：A．
根据题意，由函数的解析式求出f(4)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为a>|b|≥b，即a>b正确；
由a>b可得a+2>b−2一定成立，B正确；
由题意得a>0，b可正可负，
当a>0，b<0时，1a>1b一定成立，
当a>0，b>0时，由a>b可得，1a<1b，C错误；
由a>|b|可得a>−b，即a+b>0一定成立，D正确．
故选：C．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解： 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)= [sin(π−2)+cs(π−2)]2=|sin(π−2)+cs(π−2)|=|sin2−cs2|
∵sin2>0，cs2<0，
∴sin2−cs2>0，
∴ 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)=sin2−cs2
故选C
利用诱导公式对原式化简整理，进而利用同角三角函数关系进行化简，整理求得问题答案．
本题主要考查了诱导公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．巧妙的利用了同角三角函数中平方关系．
6.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=sinπx(x<0)f(x−1)−1(x>0)
∴f(−116)=sin(−11π6)=sinπ6=12
f(116)=f(116−1)−1=f(56)−1=f(56−1)−2=f(−16)−2=−sinπ6−2=−52
故f(−116)+f(116)=−2
故选：C．
由已知中f(x)=sinπx(x<0)f(x−1)−1(x>0)，我们分别求出f(−116)和f(116)，代入即可求出f(−116)+f(116)的值．
本题考查的知识点是分段函数的函数值，诱导公式，其中根据诱导公式分别求出f(−116)和f(116)值，是解答本题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的单调性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
方法一：x、y、z为正数，可得x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5，可得3y=lgklg33，2x=lgklg 2，5z=lgklg55，即可得出大小关系．
方法二：x、y、z为正数，可得x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5，作商比较可得三个数之间的大小关系．
【解答】
解：方法一：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k>1，则lgk>0，
则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．
∴3y=lgklg33，2x=lgklg 2，5z=lgklg55，
∵33=69>68= 2， 2=1032>1025=55．
∴lg33>lg 2>lg55>0．
∴3y<2x<5z．
故选：D．
方法二：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k>1，lgk>0，
则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．
∴2x3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x>3y，
5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52>1，可得5z>2x．
综上可得：5z>2x>3y．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
“b=0”⇒“f(x)为偶函数”，“f(x)为偶函数”⇒“b=0”，由此能求出结果．
【解答】
解：设函数f(x)=csx+bsinx(b为常数)，
若b=0，f(x)=csx，
则“b=0”⇒“f(x)为偶函数”，
若f(x)为偶函数，f(−x)=f(x)，
即cs(−x)+bsin(−x)=csx−bsinx=csx+bsinx，所以b=0，
则“f(x)为偶函数”⇒“b=0”，
则“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．
故选C．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合，属于中档题．
由题意画出函数图象，再判断零点个数，再求和即可．
【解答】
解：令f(x)=0可得8sinπx=|2x−3|，
作出g(x)=8sinπx和h(x)=|2x−3|的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象有8个交点，
又两函数图象均关于直线x=32对称，
∴f(x)的8个零点之和为32×2×4=12．
故选：C．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了合情推理的应用，主要考查了逻辑推理能力，正确理解题意是解题的关键，属于基础题．
确定甲乙丙三人总得分，不妨设x>y>z>0，先根据87的因数，即可判断选项A，通过分析甲乙丙的得分情况，判断甲必有第一名，且第一名分数不少于16分，丙没有第一名，由此进行推理，即可判断选项C，D，再列出x，y，z的方程组，求出x，y，z，即可判断选项B．
【解答】
解：甲乙丙三人总得分为47+24+16=87分，不妨设x>y>z>0，
因为87只能被3和29整除，所以共有3门学科竞赛，每门一二三名总分为29分，即x+y+z=29，故选项A错误；
乙得分24
丙三门共16分，则必然没有第一名，
故甲有两门第一，且这两门中乙第三，丙第二，
因为16不能被3整除，
所以数学丙第三，甲第二，故选项C错误，选项D正确；
由上述条件可知，2x+y=47x+2z=242y+z=16，解得x=20y=7z=2，故选项B错误．
故选D．
11.【答案】x2，x∈(−1,1)
x2，x∈[0,1)
【解析】【分析】
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
判断两个函数是同一函数时，只需判断两个函数的定义域相同，对应关系也相同即可，如果两个函数的对应关系相同，值域也相同，这两个函数不一定是同一函数，举例说明即可．
【解答】
解：如果两个函数的对应关系和值域都相同，那么这两个函数不一定是同一函数，
如：f(x)=x2，x∈(−1,1)，g(x)=x2，x∈[0,1)，它们的定义域不同，不是同一函数．(答案为不唯一)
故答案为：x2，x∈(−1,1)；x2，x∈[0,1)．
12.【答案】①③
【解析】解：∵x>0，∴ x+1 x≥2(，当且仅当 x=1 x，即x=1时取等号，∴①正确；
∵x>2，∴x+1x>52，∴②错误；
又∵x>0，y>0，且x+y=2，
∴1x+4y=12(1x+4y)(x+y)=12(5+4xy+yx)≥12(5+2 4xy⋅yx)=92，当且仅当4xy=yxx+y=2，即x=23，y=43时取等号，③正确．
故答案为：①③．
利用基本不等式逐项判断正误即可．
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：∵a>b>1，且lgab+lgba=52，
∴设lgba=t，t>1，
∵t+1t=52，
解得t=2，∴a=b2，
∵ab=ba，
∴b2b=bb2，∴2b=b2，
解得b=2，a=4．
故答案为：4．
设lgba=t，t>1，则t+1t=52，从而t=2，a=b2，由ab=ba，得2b=b2，由此能求出结果．
本题考查实数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14.【答案】0
【解析】解：∵对于任意的x都有f(π3+x)=−f(π3−x)，可得f(x)=−3sin(ωx+φ)的图象关于点(π3,0)对称，∴f(π3)=0
故答案为：0
由题中的条件可得f(x)=−3sin(ωx+φ)的图象关于点(π3,0)对称，故=π3x时，f(x)取得0值．
本题考查正弦函数的图象与性质．考查了关于点对称．
15.【答案】[0,1)
【解析】解：令g(x)=−2x2+4x，x>0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．
又f(1)=2=f(−1)，作出函数f(x)的大致图象，
又因为函数在区间(a−1,3−2a)上有最大值，
结合图象，由题意可得3−2a>1−1≤a−1<1，解得0≤a<1．
所以实数a的取值范围是[0,1)．
故答案为：[0,1)．
作出函数的图象，结合图象列出不等式组求解即可．
本题考查了二次函数的性质、数形给思想，作出图象是关键，属于中档题．
16.【答案】②③
【解析】【分析】
本题考查含sinx的函数的奇偶性，对称轴，最值，属于中档题．
先求定义域，再判断函数奇偶性，可判断①②；根据诱导公式化简，可得f(π−x)=f(x)，从而可得对称轴，可判断③；换元，结合对勾函数的图象与性质可判断④．
【解答】
解：对于①，由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，故定义域关于原点对称，
由f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx−1sinx=−f(x)；
所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；
对于③，由f(π−x)=sin(π−x)+1sin(π−x)=sinx+1sinx=f(x)，
所以该函数f(x)关于x=π2对称，③对；
对于④，令t=sinx，则t∈[−1,0)∪(0,1]，由双勾函数g(t)=t+1t的性质，可知，
g(t)=t+1t∈(−∞,−2]∪[2,+∞)，所以f(x)无最小值，④错；
故答案为：②③．
17.【答案】解：(1)因为a=2，所以B={x|0
当B=⌀时，2−a≥2+a，得a≤0；
当B≠⌀时，则2−a<2+a2−a≥−12+a≤3，等号不能同时取到，
解得0
【解析】(1)利用集合的并集运算和交集运算即可求解；(2)将必要不充分条件转化为含参数的集合关系问题，分类讨论即可求解．
本题考查必要不充分条件的应用，考查集合的并集运算和交集运算，是中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)令lg2(4x−8)=0，
所以4x−8=1，即4x=9，
所以x=lg49=lg23，
所以f(x)零点为lg23；
(Ⅱ)令f(x)=g(x)，
即lg2(4x−8)=x+1，
所以4x−8=2x+1，
整理可得(2x)2−2⋅2x−8=0，
即(2x−4)(2x+2)=0，
所以2x=4，解得x=2；
将x=2代入g(x)=x+1中，可得g(2)=3，
所以函数f(x)的图象与函数g(x)图象的交点坐标为(2,3)；
(Ⅲ)由4x−8>0得22x>23，所以2x>3，解得x>32，
即函数f(x)的定义域为(32,+∞)，
由题意，f(x)<4x+b在(32,+∞)上恒成立．
所以4x−8<24x+b=2b⋅42x在(32,+∞)上恒成立．
令4x=t∈(8,+∞)，
则2b>1t−8(1t)2在(8,+∞)上恒成立，
即2b>[1t−8(1t)2]max即可，
令m=1t∈(0,18)，则y=−8m2+m，m∈(0,18)，
开口向下，对称轴m=116，所以m=116时，ymax=−8×1162+116=132=2−5，
所以2b>2−5，解得b>−5．
所以b的取值范围为(−5,+∞)．
【解析】(Ⅰ)令f(x)=0，解得x的值，即可得函数的零点；
(Ⅱ)令f(x)=g(x)，转化为指数形式，解得x的值，代入函数g(x)中，可得交点的纵坐标，即求出交点坐标；
(Ⅲ)由题意可得f(x)<4x+b，转化为指数表达式，换元，由函数的性质可得关于b的不等式，进而求出b的范围．
本题考查换元法的应用及二次函数的性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T=π，所以ω=2πT=2，
又因为f(x)的图象关于直线x=π3对称，
所以2×π3+φ=kπ+π2，k∈Z，所以φ=kπ−π6，k∈Z，
又−π2≤φ≤π2，所以φ=−π6，
综上可得ω=2，φ=−π6；
(2)由(1)知f(x)= 3sin(2x−π6)，
当x∈[0,π2]时，−π6≤2x−π6≤5π6，
所以当2x−π6=π2(即x=π3)时，f(x)max= 3，
当2x−π6=−π6(即x=0)时，f(x)min=− 32，
所以函数y=f(x)在x∈[0,π2]的最大值为 3，最小值为− 32；
(3)由题意g(x)=f(cx)= 3sin(2cx−π6)(c>0)，
∵g(x)图象的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，
∴12×2π2c≥π且c>0，解得0
若g(x)图象的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，
则π
【解析】(1)根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出φ；
(2)由(1)可得f(x)解析式，再由x的取值范围求出2x−π6的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；
(3)首先得到g(x)的解析式，由12×2π2c≥π求出c的大致范围，再求出g(x)图象的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c的取值范围，即可得解．
本题考查了函数的综合应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)令1−x>01+x>0，解得−1
则ln(1−x)+kln(1+x)+ln(1+x)+kln(1−x)=0，所以(1+k)ln(1−x2)=0，
因为对任意x∈(−1,1)上式均成立，所以1+k=0，解得k=−1；
若选②因为f(x)−f(−x)=0，即f(x)为偶函数，
则ln(1−x)+kln(1+x)−[ln(1+x)+kln(1−x)]=0，所以(1−k)ln1−x1+x=0，
因为对任意x∈(−1,1)上式均成立，可得1−k=0，解得k=1．
(Ⅱ)若选①则k=−1，可得F(x)=(1−x)(1+x)−1=1−x1+x=21+x−1，
则函数F(x)在区间(0,1)上单调递减，证明如下：
对任意x1，x2∈(0,1)，且x1
因为0
所以F(x1)−F(x2)>0，即F(x1)>F(x2)，
所以函数F(x)在区间(0,1)上单调递减；
若选②则k=1，可得F(x)=(1−x)(1+x)=1−x2，
则函数F(x)在区间(0,1)上单调递减，证明如下：
对任意x1，x2∈(0,1)，且x1
因为0
所以F(x1)−F(x2)>0，即F(x1)>F(x2)，
所以函数F(x)在区间(0,1)上单调递减．
(Ⅲ)若选①则k=−1，则g(x)=f(x)+1x+2=ln1−x1+x+1x+2，
由(Ⅱ)可知，F(x)=1−x1+x在(0,1)内单调递减，且y=lnx在定义域内单调递增，
则f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)=ln1−x1+x在(0,1)内单调递减，
又f(x)为奇函数，则f(x)在(−1,0)内单调递减，且y=1x在(−1,0)内单调递减，
则g(x)在(−1,0)内单调递减，结合g(−12)=ln3>0,g(−110)=ln119−8<0，
可知g(x)在(−1,0)内有且仅有一个零点；
若选②则k=1，则g(x)=f(x)+x+2=ln(1−x2)+x+2，
由(Ⅱ)可知，F(x)=1−x2在(0,1)内单调递减，且y=lnx在定义域内单调递增，
则f(x)=ln(1−x)+ln(1+x)=ln(1−x2)在(0,1)内单调递减，
又f(x)为偶函数，则f(x)在(−1,0)内单调递增，
且y=x+2在(−1,0)内单调递增，则g(x)在(−1,0)内单调递增，
结合g(−12)=ln34+32>ln1e+32=12>0,g(−99100)=ln19910000+101100
【解析】(Ⅰ)根据题意结合奇偶性的定义求解即可；
(Ⅱ)根据单调性的定义证明即可；
(Ⅲ)根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断g(x)在区间(−1,0)上的单调性，再结合零点存在性定理判断即可．
本题考查了利用定义法证明函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.…(1分)
再令y=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)=0.∴f(−x)=−f(x)．
∴f(x)为奇函数．…(3分)
(2)任取x1
∴f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)=−f(x2−x1)>0．
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．…(6分)
∴当x∈[−3,3]时，f(3)≤f(x)≤f(−3)．
∵f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=−6，
∴f(−3)=−f(3)=6．
∴当x∈[−3,3]时，f(x)max=6，f(x)min=−6.…(8分)
(3)不等式可化为：f(bx2)−2f(x)>f(b2x)−2f(b)．
而2f(x)=f(x)+f(x)=f(2x)，
得f(bx2)−f(2x)>f(b2x)−f(2b)．
即f(bx2−2x)>f(b2x−2b)．
∵y=f(x)在R上是减函数，
∴bx2−2x
当b> 2时,2b
(2)由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f(x2)−f(x1)与0的大小即可得出f(x)在R上是减函数，再根据单调性得出函数的最值即可．
(3)不等式可化为：f(bx2)−2f(x)>f(b2x)−2f(b)．再利用题中条件得到2f(x)=f(x)+f(x)=f(2x)，结合函数的单调性，将前不等式化成二次不等式，再解之即得．
本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．x
0
4≤x<6
6≤x≤8
y
1
2
3
4
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