2023-2024学年海南省乐东县华东师大二附中黄流中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省乐东县华东师大二附中黄流中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.满足条件{1}⊆M⊆{1,2,3}的集合M的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
2.扇形的面积为2cm2，半径为1cm，则扇形的圆心角是( )
A. 2B. 4C. 2或−2D. 4或−4
3.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，点P(−1,−3)为角α终边上一点，则tanα=( )
A. 13B. 3C. −13D. −3
4.函数f(x)=lnx−3x的零点一定位于区间( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
5.已知α是第三象限角，且sin(π−α)=−23，则csα=( )
A. 23B. 53C. −23D. − 53
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3−3x2，则f(−1)=( )
A. −2B. 2C. −4D. 4
7.如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取−2，−12，12，2四个值，与曲线C1、C2、C3、C4相应的n依次为( )
A. 2，12，−12，−2
B. 2，−2，−12，12
C. 12，−12，2，−2
D. −2，−12，2，12
8.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(−∞,0](x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0且f(2)=0，则不等式f(x)x−2<0的解集是( )
A. (2,+∞)B. (−2,0)∪(0,2)
C. (−2,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面说法正确的有( )
A. 240°化成弧度是4π3
B. 终边在直线y=x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k⋅360°+45°,k∈Z}
C. 3弧度的角终边在第二象限
D. 第一象限角是锐角
10.已知a>b>0>c>d，下列说法正确的是( )
A. a+c>b+dB. a3>b3C. ac>bcD. 1c<1d
11.下列说法正确的是( )
A. 命题“∀x∈R，x2+1<0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1<0”
B. 若集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素，则a=14
C. 关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集(−2,3)，则不等式cx2−bx+a<0的解集为(−13,12)
D. “a>2，b>2”是“ab>4”的充分不必要条件
12.已知α∈(0,π)，sinα+csα= 105，则下列结论中正确的是( )
A. sin2α=−35B. csα−sinα=2 105
C. cs2α=45D. tanα=−3
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.函数y=ax+2−3(a>0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标是______．
14.已知函数f(x)可用列表法表示如下，则f[110f(32)]的值是______．
15.设x>0，y>0，满足x+y=1，则4x+1y的最小值是______．
16.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，tmin后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−0.24t求得．把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却tmin后，物体的温度是40℃，那么t的值约于______.(保留三位有效数字，参考数据：ln3取1.099，ln2取0.693)
四、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：6lg67+2lg5−(sin1)0+lg4+(827)23；
(2)若tan(π−α)=−2，求cs(2π−α)+2cs(3π2−α)sin(π−α)−sin(−π2−α)和4sin2α−3sinαcsα的值．
18.(本小题8分)
已知函数f(x)= x+3+1x+2．
(1)求函数的定义域；
(2)求f(−3)的值．
19.(本小题10分)
某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费．
(1)若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？
(2)若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=2 3sinx⋅csx+2cs2x．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求该函数的单调递增区间；
(3)求函数f(x)在区间[−π6,5π12]上的最小值和最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意：M中必须有1这个元素，则M的个数应为集合{2,3}的子集的个数，
所以是4个
故选：A．
根据题意M中必须有1这个元素，因此M的个数应为集合{2,3}的子集的个数．
本题主要考查子集、真子集的概念及运算．
2.【答案】D
【解析】解：设扇形的圆心角弧度为|α|，
由扇形的面积为2cm2，半径为1cm，
可得2=12×|α|×12，∴α=±4．
故选：D．
扇形的圆心角弧度为|α|，根据扇形的面积公式，即可求得答案．
本题考查扇形的圆心角、扇形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得tanα=−3−1=3．
故选：B．
根据三角函数的定义即可求解．
本题考查三角函数的定义，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数的定义域为：(0,+∞)，有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．
又∵f(2)=ln2−32<0，f(3)=ln3−1>0，∴f(2)⋅f(3)<0，
∴函数f(x)=lnx−3x的零点所在的大致区间是(2,3)．
故选：B．
函数f(x)=lnx−3x在(0,+∞)上是连续函数，根据f(2)f(3)<0，可得零点所在的大致区间．
本题考查的是零点存在的大致区间问题，在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由sin(π−α)=−23，得sinα=−23，
∵α是第三象限角，
∴csα=− 1−sin2α=− 1−(−23)2=− 53．
故选：D．
由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=x3−3x2，则f(1)=1−3=−2，
又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=2．
故选：B．
根据题意，由函数的解析式求出f(1)的值，结合奇偶性可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由图象可知，曲线C1在第一象限单调递增，
且增长速度越来越快，故n>1，所以n=2．
曲线C2在第一象限单调递增，且增长速度越来越慢，故0曲线C3和C4在第一象限均单调递减，故n<0，
其中当x=2时，2−2=14，2−12= 22，而 22>14，
故C 3为y=x−12的图象，C4为y=x−2的图象．
故选：A．
根据函数图象在第一象限的单调性和增长速度得到C1和C2的n值，再将x=2代入C3和C4，比较出大小，得到答案．
本题主要考查幂函数的图象和性质，把握幂函数的关键点(1,1)和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1，x2∈(−∞,0](x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，
所以f(x)在(−∞,0]上单调递减，
因为f(2)=0，所以f(−2)=0，
则不等式f(x)x−2<0可转化为x>2f(x)<0或x<2f(x)>0，
即x>2−22或x<−2，
解得x<−2．
故选：D．
由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对A，根据角度制与弧度制的转化得240°=240180π=4π3，即A正确；
对B，易知终边在直线y=x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k⋅180°+45°,k∈Z}，即B错误；
对C，因为π2<3<π，则3弧度的角终边在第二象限，故C正确；
对D，390°是第一象限角，但不是锐角，即D错误．
故选：AC．
根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由π2<3<π即可判断C，举反例可判定D．
本题考查了角度制与弧度制的转化，终边相同的角的概念，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A选项，因为a>b，c>d，所以a+c>b+d，A正确；
B选项，因为y=x3在R上单调递增，故a3>b3，B正确；
C选项，a>b>0，不等式两边同时乘以c<0得acD选项，因为0>c>d，所以cd>0，不等式0>c>d两边同除以cd得，1c<1d，D正确．
故选：ABD．
由不等式的性质可判断ACD，由函数单调性可判断判断B．
本题主要考查了不等式的性质，考查了函数单调性的应用，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：对A：命题“∀x∈R，x2+1<0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1≥0”，故A错误；
对B：当a=0时，集合A中也只有一个元素−1，故B错误；
对C：因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−2,3)，故a<0，不妨设a=−1，则由韦达定理可得b=1，c=6，所以不等式6x2−x−1<0⇒(2x−1)(3x+1)<0⇒−13对D：由“a>2，b>2”可得“ab>4”，但“ab>4”，比如a=b=−3时，“a>2，b>2”就不成立，故D成立．
故选：CD．
因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；B中方程应该对a是否为0进行讨论，有两个结果，故B错误；根据一元二次不等式的解法确定C的真假；根据充要条件的判定对D进行判断．
本题主要考查了命题的否定，考查了一元二次不等式的解法，以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：sinα+csα= 105①，
两边同时平方可得，sin2α+cs2α+2sinαcsα=25，即1+2sinαcsα=25，解得2sinαcsα=−35<0，
α∈(0,π)，
则sinα>0，csα<0，
故sinα−csα>0，sinα−csα= 1−2sinαcsα=2 105②，
联立①②，解得sinα=3 1010，csα=− 1010，
对于A，sin2α=2sinαcsα=−35，故A正确；
对于B，csα−sinα=−2 105，故B错误；
对于C，cs2α=2cs2α−1=−45，故C错误；
对于D，tanα=sinαcsα=−3，故D正确．
故选：AD．
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，推得sinα=3 1010，csα=− 1010，再结合正弦、余弦的二倍角公式，即可求解．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
13.【答案】(−2,−2)
【解析】解：因为y=ax+2−3(a>0，且a≠1)的图象过定点A，
令x+2=0，则x=−2，y=a0−3=−2，
所以点A的坐标为(−2,−2)．
故答案为：(−2,−2)．
利用指数函数的性质即可得解．
本题主要考查了指数函数性质的应用，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：根据表格可知：32满足1又因为210=15满足x≤1，所以f[110f(32)]=f(15)=1．
故答案为：1．
根据表格，先求f(32)，再求f[110f(32)]，由内向外求解即可．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
15.【答案】9
【解析】解：因为x>0，y>0，且 x+y=1，
所以4x+1y=(x+y)(4x+1y)=5+4yx+xy≥5+2 4yx⋅xy=9，
当且仅当4yx=xy，即x=23,y=13时取等号．
故答案为：9．
由题意，根据基本不等式中“1”的妙用，即可求得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】4.58
【解析】解：由题意可得40=10+(100−10)e−0.24t，
化简可得e−0.24t=13，
∴−0.24t=ln13=−ln3，
∴0.24t=ln3=1.099，
∴t≈4.58，
故答案为：4.58．
由题意可得40=10+(100−10)e−0.24t，化简可得0.24t=ln3=1.099，由此求得t的值．
本题考查对数的运算性质的应用，考查指数方程的解法，是基础题．
17.【答案】解：(1)原式=7+2lg5−1+2lg2+[(23)3]23=6+2(lg5+lg2)+(23)2=8+49=769；
(2)因为tan(π−α)=−2，
所以tanα=2，
所以cs(2π−α)+2cs(3π2−α)sin(π−α)−sin(−π2−α)=csα−2sinαsinα+csα=1−2tanαtanα+1=1−42+1=−1．
4sin2α−3sinαcsα=4sin2α−3sinαcsαsin2α+cs2α=4tan2α−3tanαtan2α+1=105=2．
【解析】(1)利用指对数的运算律求解；
(2)利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，还考查了诱导公式，同角基本关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可得，x+3⩾0x+2≠0，
解不等式可得{x|x⩾−3且x≠−2}，
故函数的定义域为{x|x⩾−3且x≠−2}；
(2)f(−3)=−1．
【解析】(1)根据分式及偶次根式成立的条件可得，x+3⩾0x+2≠0，解不等式可求函数的定义域
(2)直接把x=−3代入到函数解析式中可求
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
19.【答案】解：(1)设用电量为x度，对应电费为y元，
由题意得：当x≤100时，y=0.4x，
当x>100时，y=100×0.4+(x−100)×0.8=0.8x−40，
即y=0.4x,x≤1000.8x−40,x>100，
当x=120时，y=0.8×120−40=56，
所以该月电费为56元；
(2)因为x≤100时，y=0.4x≤0.4×100=40<60，
所以该户用电量超过了100度，
令0.8x−40=60，解得：x=125，
故其用电量为125度．
【解析】(1)设用电量为x度，对应电费为y元，求出y关于x的分段函数，将x=120代入，求解出该月电费；
(2)先判断出该户用电量超过了100度，进而解方程，求出其用电量．
本题考查了函数在解决实际问题上的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)f(x)=2 3sinx⋅csx+2cs2x= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．
(2)令2x+π6∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，k∈Z，则x∈[kπ−π3,2kπ+π6]，k∈Z，
故该函数的单调递增区间[kπ−π3,2kπ+π6]，k∈Z．
(3)因为x∈[−π6,5π12]，所以2x+π6∈[−π6,π]，
当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)max=f(π6)=3；
当2x+π6=−π6，即x=−π6时，f(x)min=f(−π6)=0，
故函数f(x)在区间[−π6,5π12]上的最小值为0，最大值为3．
【解析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式化简可得f(x)=2sin(2x+π6)+1，由正弦函数的周期性，得解；
(2)令2x+π6∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，k∈Z，解之即可；
(3)求得2x+π6∈[−π6,π]，再结合正弦函数的图象与性质，得解．
本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式和正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．x
x≤1
1x≥2
f(x)
1
2
3