2023-2024学年河南省商丘市民权县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省商丘市民权县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列分式中，是最简分式的是( )
A. x−yx2+y2B. m−11−mC. x−yx2−2xy+y2D. 2a4b
2.如图图形中，为轴对称的图形的是( )
A. B. C. D.
3.在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是( )
A. 1cmB. 2cmC. 13cmD. 14cm
4.下列运算正确的是( )
A. 3x4÷x3=3xB. (x3)4=x7C. x4+x3=x7D. x3⋅x4=x12
5.若关于x的分式方程3x−4=1−x+m4−x有增根，则m的值是( )
A. 0B. 1C. 2D. −1
6.若m2−km+19是完全平方式，则k的值是( )
A. 13B. −23C. 23D. 23或−23
7.如图，五边形ABCDE中，AB//CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于( )
A. 100∘
B. 180∘
C. 210∘
D. 270∘
8.如图所示，已知在△ABC中，∠C=90∘，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28∘，则∠AEC=( )
A. 28∘B. 59∘C. 60∘D. 62∘
9.如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE=60∘，则∠CAF的度数为( )
A. 35∘
B. 30∘
C. 59∘
D. 65∘
10.如图，在△ABC中，点E为BC边上一点，AC=CE，连结AE，CD⊥AE交AE于点F，连结DE，∠CAB=2∠B，若CE=5，AD=3，则BC的长为( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若式子x−1x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
12.已知xm=2，xn=7，则x3m−2n的值为______.
13.在△ABC是AB=5，AC=3，BC边的中线的取值范围是______.
14.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是__________.
15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，点D是线段BC上一点，∠ADC=90∘，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=40∘；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的是______.(填序号)
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
先化简，再求值：(2m−3+1)÷2m−2m2−6m+9，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值.
17.(本小题10分)
计算：
(1)(−3a2b)2⋅(−a2c3)3；
(2)(2x+y−6)(2x−y+6).
18.(本小题9分)
如图，在△ABC中(AC>AB)，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长.
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−1,5)，B(−3,0)，C(−4,3).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)写出点C1的坐标；
(3)求△ABC的面积．
20.(本小题9分)
已知x+y=4，xy=2，求下列各式的值：
(1)x2+y2；
(2)yx+xy.
21.(本小题9分)
如图，已知AC、DB的交点为E，AE=DE，∠A=∠D；过点E作EF⊥BC，垂足为F.
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)求证：F为BC边的中点．
22.(本小题10分)
某化工厂用A，B两种型号的机器人搬运化工原料，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小时多搬运30kg，每个A型机器人搬运900kg所用的时间与每个B型机器人搬运600kg所用的时间相等.
(1)求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少化工原料？
(2)某化工厂有4500kg化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由8个A型机器人搬运2小时，再增加若干个B型机器人一起搬运，问至少增加多少个B型机器人才能按要求完成任务？
23.(本小题11分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC>1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.
(1)求证：OC=AD；
(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；
(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：x−yx2+y2是最简分式，故A符合题意；
∵m−11−m=−1，
∴m−11−m不是最简分式，故B不符合题意；
∵x−yx2−2xy+y2=1x−y，
∴x−yx2−2xy+y2不是最简分式，故C不符合题意；
∵2a4b=a2b，
∴2a4b不是最简分式，故D不符合题意；
故选：A.
根据最简分式的概念逐项判断即可．
本题考查最简分式，解题的关键是掌握最简分式的概念．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
8−6解得：2只有13cm适合，
故选：C.
首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
4.【答案】A
【解析】解：A、3x4÷x3=3x，故A符合题意；
B、(x3)4=x12，故B不符合题意；
C、x4与x3不能合并，故C不符合题意；
D、x3⋅x4=x7，故D不符合题意；
故选：A.
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：方程两边都乘(x−4)，
得3=(x−4)+(x+m)，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−4=0，
解得x=4，
当x=4时，m=−1，
故m的值是−1.
故选：D.
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−4=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6.【答案】D
【解析】解：∵m2−km+19是完全平方式，
∴−km=±2×m×13，
解得：k=±23.
故选：D.
根据完全平方式得出−km=±2×m×13，再求出答案即可．
本题考查了完全平方式，能根据完全平方式得出−km=±2×m×13是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个．
7.【答案】B
【解析】解：延长AB，DC，
∵AB//CD，
∴∠4+∠5=180∘.
∵多边形的外角和为360∘，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘，
∴∠1+∠2+∠3=360∘−(∠4+∠5)=360∘−180∘=180∘.
故选：B.
先根据平行线的性质得出∠4+∠5=180∘，再由多边形的外角和为360∘即可得出结论．
本题考查的是多边形的外角与内角，熟知多边形的外角和等于360∘是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠B=28∘，∠C=90∘，
∴∠BAC=62∘，
∵DE⊥AB，
∴∠EDA=90∘，
在△ACE和△ADE中，AC=ADAE=AE，
∴△ACE≌△ADE(HL)
∴∠CAE=∠DAE=12∠BAC=31∘，
∵∠C=90∘，
∴∠AEC=180∘−∠C−∠CAE=180∘−90∘−31∘=59∘.
9.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACF=∠BCE=60∘，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=90∘，
∴∠CAF=90∘−60∘=30∘.
故选：B.
由全等三角形的性质推出∠ACB=∠DCE，得到∠ACF=∠BCE=60∘，由垂直的定义得到∠AFC=90∘，即可求出∠CAF=90∘−60∘=30∘.
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
10.【答案】C
【解析】解：∵AC=CE=5，CD⊥AE，
∴AF=EF，
∴CD是线段AE的垂直平分线，
∴AD=DE=3，
∴∠DAE=∠DEA，
∵AC=CE，
∴∠CAE=∠CEA，
∴∠CAE+∠DAE=∠CEA+∠DEA，
即：∠CAB=∠AED，
∵∠CAB=2∠B，
∴∠CED=2∠B
又∵∠CED=∠B+∠EDB，
∴2∠B=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE=3，
∴BC=CE+BE=5+3=8，
故选：C.
根据等腰三角形的性质得到CD垂直平分AE，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=DE，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠B=∠EDB，进而得到BE=DE=3，据此可求出BC的长．
本题考查等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．
11.【答案】x≠−1
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
根据分式的分母不等于0即可得出答案．
【解答】
解：∵x+1≠0，
∴x≠−1.
故答案为：x≠−1.
12.【答案】849
【解析】解：∵xm=2，xn=7，
∴x3m−2n=(xm)3÷(xn)2=23÷72=8÷49=849，
故答案为：849.
将x3m−2n变形为(xm)3÷(xn)2计算即可．
本题考查了同底数幂除法和幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
13.【答案】1【解析】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC中线，
∴BD=DC，
在△ADC和△EDB中
∵AD=DE∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE=3，
∵在△ABE中，根据三角形的三边关系定理得：5+3>AE>5−3，
∴2<2AD<8，
1故答案为：1延长AD到E，使AD=DE，连接BE，根据SAS证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=3，在△ABE中，根据三角形的三边关系定理得出5+3>AE>5−3，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理，关键是通过作辅助线把已知条件和未知条件放在一个三角形中．
14.【答案】60∘
【解析】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60∘，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90∘，
∴∠EBC=30∘，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30∘，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60∘.
故答案为60∘.
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30∘，
即可解决问题；
本题考查的是最短路线问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
15.【答案】①③④
【解析】解：连接OB，
∵AB=AC，∠BAC=120∘，
∴∠ABC=∠ACB=12×(180∘−120∘)=30∘，
∵点D是线段BC上一点，∠ADC=90∘，
∴AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴OB=OC，
∵OP=OC，
∴OB=OP，
∴∠APO=∠ABO，
在△ABO和△ACO中，
OB=OCAB=ACOA=OA，
∴△ABO≌△ACO(SSS)，
∴∠ABO=∠ACO，
∴∠APO=∠ACO，
故①正确；
∵∠APO+∠DCO=∠ACO+∠DCO=∠ACB，∠ACB=30∘，
∴∠APO+∠DCO=30∘≠40∘，
故②错误；
在AC上截取AI=AP，连接PI，设AC交OP于点L，
∵∠PAC=∠ABC+∠ACB=60∘，
∴△PAI是等边三角形，
∴PI=PA，∠API=60∘，
∵OP=OC，∠POC=∠PLC−∠ACO=∠PLC−∠APO=∠PAC=60∘，
∴△POC是等边三角形，
∴PO=PC，∠OPC=60∘，
故④正确；
∴∠IPC=∠APO=60−∠OPI，
在△IPC和△APO中，
PC=PO∠IPC=∠APOPI=PA，
∴△IPC≌△APO(SAS)，
∴IC=AO，
∴AC=IC+AI=AO+AP，
故③正确，
故答案为：①③④．
连接OB，由AB=AC，∠BAC=120∘，求得∠ABC=∠ACB=30∘，由AD⊥BC，证明AD垂直平分BC，则OB=OC，而OP=OC，所以OB=OP，则∠APO=∠ABO，可证明△ABO≌△ACO，得∠ABO=∠ACO，所以∠APO=∠ACO，可判断①正确；由∠APO+∠DCO=∠ACO+∠DCO=∠ACB=30∘，可判断②错误；在AC上截取AI=AP，连接PI，设AC交OP于点L，则∠PAC=∠ABC+∠ACB=60∘，所以△PAI是等边三角形，则PI=PA，∠API=60∘，由OP=OC，∠POC=∠PAC=60∘，证明△POC是等边三角形，所以PO=PC，∠OPC=60∘，可判断④正确；再证明△IPC≌△APO，得IC=AO，则AC=IC+AI=AO+AP，可判断③正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：原式=2+m−3m−3⋅(m−3)22(m−1)
=m−1m−3⋅(m−3)22(m−1)
=m−32，
∵m−3≠0，m−1≠0，
∴m≠3，m≠1，
∴当m=2时，原式=2−32=−12.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(−3a2b)2⋅(−a2c3)3；
=9a4b2⋅(−a6c9)
=−9a10b2c9；
(2)(2x+y−6)(2x−y+6)
=[2x+(y−6)][2x−(y−6)]
=(2x)2−(y−6)2
=4x2−(y2−12y+36)
=4x2−y2+12y−36.
【解析】(1)先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式；
(2)通过变形后运用平方差公式、完全平方公式进行计算求解
此题考查了整式乘法的运算能力，关键是能准确确定运算顺序与方法，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：设BC=2x，则AC=4x，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD=x，
由题意得：x+4x=55，AB+x=45，
解得：x=11，AB=34，
∴AC=4x=44，
∵AB+BC>AC，
∴AC的长为44，AB的长为34，
答：AC的长为44，AB的长为34.
【解析】根据三角形的中线的定义得到CD=BD，根据三角形的周长公式列方程，解方程得到答案．
本题考查的是三角形的中线、三角形的周长计算，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)点C1的坐标为(4,3)；
(3)△ABC的面积=3×5−12×3×1−12×3×2−12×5×2=112.
【解析】【分析】
本题考查了作图-对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
【解答】
(1)、(2)利用关于y轴对称的点的坐标特征找出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(3)用一个长方形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC的面积．
20.【答案】解：(1)∵x+y=4，xy=2，
∴x2+y2
=(x+y)2−2xy
=42−2×2
=16−4
=12；
(2)由(1)知x2+y2=12，
又∵xy=2，
∴yx+xy
=y2+x2xy
=122
=6.
【解析】(1)先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可；
(2)先通分，再把x2+y2=12和xy=2代入，即可求出答案．
本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键，(a+b)2=a2+2ab+b2.
21.【答案】证明：(1)在△ABE和△DCE中，
∠A=∠DAE=DE∠AEB=∠DEC，
∴△ABE≌△DCE(ASA)；
(2)∵△ABE≌△DCE，
∴EB=EC，
又∵EF⊥BC，
∴F为BC边的中点 (三线合一).
【解析】(1)根据ASA证明△ABE≌△DCE即可；
(2)根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查全等三角形的判定与性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
22.【答案】解：(1)设每个B型机器人每小时搬运xkg原料，则每个A型机器人每小时搬运(x+30)kg原料，
根据题意，得：900x+30=600x，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列方程的解且符合题意；
则每个A型机器人每小时搬运原料为：x+30=90；
因此，每个A型机器人每小时搬运90kg原料，每个B型机器人每小时搬运60kg原料．
(2)设增加y个B型机器人，
依题意，得：8×90×5+60(5−2)y≥4500，
解得：y≥5，
∵y为正整数，
∴y的最小值为5.
因此，至少要增加5个B型机器人．
【解析】(1)设B型机器人每个每小时搬运xkg原料，则A型机器人每个每小时搬运(x+30)kg原料，由题意：每个A型机器人搬运900kg所用的时间与每个B型机器人搬运600kg所用的时间相等，列出分式方程，解此方程即可求解；
(2)设增加y个B型机器人，根据题意：先由8个A型机器人搬运2小时，再增加若干个B型机器人一起搬运，共需要搬运4500kg化工原料，且所用时间不超过5小时，列出一元一次不等式，解不等式取最小整数值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，准确找到等量关系列出分式方程、正确分析题中的数量关系列出一元一次不等式是解这道题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，
∴∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
∵OB=AB∠OBC=∠ABDCB=DB，
∴△OBC≌△ABD(SAS)，
∴OC=AD；
(2)解：点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA=∠OAB=60∘，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60∘，
∴∠CAD=180∘−∠OAB−∠BAD=60∘；
(3)解：∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60∘，
又∵∠OAB=60∘，
∴∠OAE=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴∠EAC=120∘，∠OEA=30∘，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30∘，
∴AC=AE=2，
∴OC=3，
∴当点C的坐标为(3,0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
【解析】(1)先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60∘，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD，由全等三角形的判定与性质可得出结论；
(2)由△AOB是等边三角形知∠BOA=∠OAB=60∘，再由全等三角形的性质分析可得结论；
(3)先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC=120∘，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30∘，求得AC=AE=2，据此得到OC=3，即可得出点C的位置．
本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解决本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．