2023-2024学年河南省商丘市民权县九年级（上）期末数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年河南省商丘市民权县九年级（上）期末数学试卷-普通用卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中是二次函数的是( )
A. y=1x2−1B. y=x2−(1+x)2
C. y=−2x2+10x−1D. y=ax2+5x
2.如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图中的几何体由五个完全相同的小正方体组成，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是( )
A. 13B. 12C. 23D. 14
5.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5B. k>5C. k≤5，且k≠1D. k<5，且k≠1
6.如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是( )
A. 12
B. 55
C. 2 55
D. 2
7.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则BFFD的值是( )
A. 15
B. 14
C. 13
D. 12
8.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数y=kx(k>0,x>0)的图象与线段AB交于点C，且AB=3BC.若△AOB的面积为12，则k的值为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
9.如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E=40°，则∠CDB=( )
A. 20°
B. 25°
C. 40°
D. 50°
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−2,0)，B两点，对称轴是直线x=2，下列结论中，所有正确结论的序号为( )
①a>0；
②点B的坐标为(6,0)；
③c=3b；
④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．
A. ①②B. ②③C. ②③④D. ③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知函数y=(m−2)x|m|−3是反比例函数，则m=______．
12.根据下列从不同方向看物体的图形，填出几何体名称(或画出图形)．
几何体是______．
13.如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD=∠C，AC=2AD，如果△ABD的面积为4，那么△ACD的面积为______．
14.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是______．
15.如图，在▱ABCD中，AB= 3+1，BC=2，AH⊥CD，垂足为H，AH= 3.以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1−r2= ______.(结果保留根号)
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AE，交CD于点F，求证：AB：CE=BE：CF．
17.(本小题9分)
如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF=CE，求证：FD=BE．
18.(本小题9分)
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示：
(1)求电流I关于电阻R的函数解析式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？
19.(本小题9分)
我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同．
(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；
(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？
20.(本小题9分)
端午节是中国的传统节日.今年端午节前夕，某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图所示的两幅不完整统计图：
(1)本次参加抽样调查的居民有______人.
(2)喜欢C种口味粽子的人数所占扇形圆心角为______度.根据题中信息补全条形统计图．
(3)若有外型完全相同的A种、B种、C种粽子各一个，煮熟后小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他吃到的两个粽子中有A种粽子的概率．
21.(本小题9分)
我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功.如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P处到Q处的平均速度(结果精确到1m/s)．
(参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42)
22.(本小题10分)
如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和B(0,−5)．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
23.(本小题11分)
如图，已知AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交⊙O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=8，BC=6，求DE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A. y=1x2−1含有分式1x2，不是二次函数，不符合题意；
B.y=x2−(1+x)2=−2x−1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
C.y=−2x2+10x−1是二次函数，符合题意；
D.y=ax2+5x，若a=0，原函数为一次函数，不符合题意．
故选：C．
根据二次函数的定义判断即可．
本题主要考查了二次函数的判断，明确二次函数的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：从正面看，图形的底层是3个正方形，上层右边是1个正方形，．
故选：B．
主视图是从物体的正面观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键是掌握主视图的定义．
4.【答案】C
【解析】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，这两个数字之和为奇数的有8种情况，
∴这两个数字之和为奇数的概率为812=23．
故选：C．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k−1≠0且Δ=42−4(k−1)×1>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得k−1≠0且Δ=42−4(k−1)×1>0，
解得：k<5，且k≠1．
故选D．
6.【答案】D
【解析】解：根据网格可得：AC= 22+42=2 5，BC= 12+22= 5，AB= 32+42=5，
∵AC2+BC2=20+5=25，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠ABC=ACBC=2．
故选：D．
先根据勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解．
本题考查了网格与勾股定理，求正切，证明△ABC是直角三角形是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵菱形ABCD，
∴AD/​/BC，且AD=BC，
∴∠FAD=∠FEB，∠ADF=∠EBF，
∴△BEF∽△DAF，
∴BEAD=BFFD，
∵EC=2BE，BC=AD，
∴BEAD=BEBC=13，
则BFFD=13．
故选：C．
由菱形ABCD，得到对边AD与BC平行且相等，确定出三角形ADF与三角形EBF相似，由相似得比例列出比例式，根据EC=2BE，求出BE与BC比值，进而确定出BE与AD比值，即为相似比，即可求出所求式子的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：连结OC，如图，
∵AB⊥y轴于点B，AB=3BC，
∴S△AOB=3S△BOC，
∴S△BOC=13×12=4，
∴12|k|=4，
而k>0，
∴k=8．
故选：C．
连结OC，如图，根据三角形面积公式，由AB=3BC得到S△AOB=3S△BOC，可计算出S△BOC=4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到12|k|=4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
9.【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵∠E=40°，
∴∠COE=90°−40°=50°，
∴∠CDB=12∠COE=25°．
故选：B．
连接OC，根据切线的性质可知∠OCE=90°，再由直角三角形的性质得出∠COE的度数，由圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，①错误，
∵A、B关于对称轴x=2对称，
∴B点的横坐标为6，②正确，
∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，
∴−b2a=2，
∴a=−b4，
把(−2,0)代入y=ax2+bx+c，得：
4a−2b+c=0，
∴4⋅(−b4)−2b+c=0，整理得：
c=3b，③正确，
∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，抛物线取得最大值为y=4a+2b+c，
当x=m时，y=am2+bm+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
即4a+2b≥am2+bm，④正确．
∴所有正确结论的序号为②③④．
故选：C．
通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴交点可判断①、②、③，通过x=2时抛物线取得最大值判断4a+2b≥am2+bm，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质．
11.【答案】−2
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)或y=kx−1.由反比例函数的定义得到|m|−3=−1且m−2≠0，由此求得m的值．
【解答】
解：依题意得：|m|−3=−1且m−2≠0，
解得m=−2．
故答案是−2．
12.【答案】六棱柱
【解析】解：根据主视图和左视图可知，该几何体为柱体，根据俯视图可知，该几何体上下两个面均为六边形，故该几何体为六棱柱．
故答案为：六棱柱．
根据主视图和左视图可知，该几何体为柱体，根据俯视图可知，该几何体上下两个面均为六边形，即可得出该几何体为六棱柱．
本题主要考查了从不同的方向看物体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
13.【答案】12
【解析】解：∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA，
∴∠ADB=∠CAB，
∴△ABD∽△CBA，
∵AC=2AD，
∴ADAC=12，
∴S△ABDS△CBA=(ADAC)2=14，
∵△ABD的面积为4，
∴△CBA的面积是16，
∴S△ACD=S△CBA−S△ABD=12，
故答案为：12．
首先证明出△ABD∽△CBA，由相似三角形的性质可以得到两个三角形的面积比，进而得到答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】(− 3,3)
【解析】解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，
∴AB=OA=2，∠BAD=60°，
∴AD=1，BD= 3，
∴OD=OA+AD=3，
∴B(3, 3)，
∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′，
∴B′C=BD= 3，OC=AD=3，
∴B′坐标为：(− 3,3)．
故答案为：(− 3,3)．
过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，根据题意可得B(3, 3)，进而可得点B的对应点B′的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
15.【答案】 324
【解析】解：在▱ABCD中，AB= 3+1，BC=2，
∴AD=BC=2，CD=AB= 3+1，AB/​/CD．
∵AH⊥CD，垂足为H，AH= 3，
∴sinD=AHAD= 32，
∴∠D=60°，
∴∠DAH=90°−∠D=30°，
∴DH=12AD=1，
∴CH=CD−DH= 3+1−1= 3，
∴CH=AH，
∵AH⊥CD，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠ACH=∠CAH=45°，
∵AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACH=45°，
∴45π× 3180=2πr1，解得r1= 38，
30π× 3180=2πr2，解得r2= 312，
∴r1−r2= 38− 312= 324．
故答案为： 324．
根据平行四边形的性质以及正弦函数的定义求出∠D=60°，∠BAC=45°，利用弧长公式以及圆的周长公式求出r1，r2即可．
本题考查了圆锥的计算，平行四边形的性质，解直角三角形，弧长公式，求出∠D=60°，∠BAC=45°是解决本题的关键．
16.【答案】解：∵EF⊥AE，∠B=∠C=90°，
∴∠AEB+∠FEC=∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∴△AEB∽△EFC，
∴ABCE=BECF，
即AB：CE=BE：CF
【解析】根据相似三角形的判定可知
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
17.【答案】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AF=CE，
∴AO−AF=CO−CE，
∴FO=EO，
在△FOD和△EOB中
FO=EO∠FOD=∠EOBBO=DO，
∴△FOD≌△EOB(SAS)，
∴DF=BE．
【解析】根据中心对称的性质可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得FO=EO，然后再证明△FOD≌△EOB，利用全等三角形的性质可得DF=BE．
此题主要考查了中心对称以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
18.【答案】解：(1)设电流I与电阻R之间的函数表达式为I=kR．
∵函数图象过点(9,4)，
∴4=k9，
解得k=36．
∴电流I与电阻R之间的函数表达式为I=36R．
(2)∵限制电流不能超过10A，
∴36R≤10，
解得R≥3.6，
∴用电器的可变电阻应大于或等于3.6Ω．
【解析】(1)先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=kR，将点(20,1.8)代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
(2)将I≤3代入(1)中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
19.【答案】解：(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为x，
依题意得：20(1+x)2=33.8，
解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不符合题意，舍去)．
答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%．
(2)33.8×(1+30%)=43.94(万件)，
∵43.94<45，
∴若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件．
【解析】(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为x，利用该快递公司今年4月份投递快递总件数=该快递公司今年2月份投递快递总件数×(1+该公司投递快递总件数的月增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)利用该快递公司今年5月份投递快递总件数=该快递公司今年4月份投递快递总件数×(1+该公司投递快递总件数的月增长率)，可求出该快递公司今年5月份投递快递总件数，再将其与45万件比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】600 72
【解析】解：(1)本次参加抽样调查的居民有240÷40%=600(人)．
故答案为：600．
(2)由题意得，喜欢B种口味粽子的人数为600×10%=60(人)，
∴喜欢C种口味粽子的人数为600−180−60−240=120(人)，
∴喜欢C种口味粽子的人数所占扇形圆心角为360°×120600=72°．
故答案为：72．
补全条形统计图如图所示．
(3)画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中他吃到的两个粽子中有A种粽子的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种，
∴他吃到的两个粽子中有A种粽子的概率为46=23．
(1)用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次参加抽样调查的居民人数．
(2)用本次参加抽样调查的居民人数乘以扇形统计图中B的百分比可得喜欢B种口味粽子的人数，进而可得喜欢C种口味粽子的人数，用360°乘以喜欢C种口味粽子的人数所占的百分比可得喜欢C种口味粽子的人数所占扇形圆心角度数，再补全条形统计图即可．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及他吃到的两个粽子中有A种粽子的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
21.【答案】解：由题意可得：∠PAO=23°，∠QAO=45°，AP=5000m，
则PO=APsin23°=5000×0.39≈1950(m)，
AO=APcs23°=5000×0.92≈4600(m)，
∴OQ=AO=4600m，
∴PQ=OQ−OP=4600−1950=2650(m)，
则火箭从P处到Q处的平均速度为：2650÷9≈294(m/s)，
答：火箭从P处到Q处的平均速度294m/s．
【解析】利用已知结合锐角三角函数关系得出PO以及QO的长，再求出PQ的长，即可得出平均速度．
此题主要考查了解直角三角形的应用，得出QO的长是解题关键．
22.【答案】解：(1)把A(1,−2)和B(0,−5)代入y=x2+bx+c得：
1+b+c=−2c=−5，
解得b=2c=−5，
∴二次函数的表达式为y=x2+2x−5，
∵y=x2+2x−5=(x+1)2−6，
∴顶点坐标为(−1,−6)；
(2)如图：

∵点A(1,−2)关于对称轴直线x=−1的对称点C(−3,−2)，
∴当y≤−2时，x的范围是−3≤x≤1．
【解析】(1)用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
(2)求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
23.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC/​/AD．
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD．
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：连接BE，交OC于点F，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AD⊥CD，OC⊥CD，
∴四边形EFCD为矩形，
∴EF=CD，ED=CF，OF⊥BE，
∴EF=BF．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB= AC2+CB2=10．
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ACAB=CDCB=ADAC，
∴810=CD6=AD8，
∴CD=4.8，AD=6.4．
∴EF=CD=4.8，
∴BE=2EF=9.6，
∴AE= AB2−BE2=2.8，
∴DE=AD−AE=6.4−2.8=3.6．
【解析】(1)连接OC，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)连接BE，交OC于点F，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和垂径定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．