常州市溧阳市2022-2023学年八年级第二学期数学期末试卷（含答案解析）

这是一份常州市溧阳市2022-2023学年八年级第二学期数学期末试卷（含答案解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1．下列式子中，与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．下列各式，，，中分式有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列事件中是确定事件的是（）
A．锐角三角形都相似B．等腰三角形都相似
C．等边三角形都相似D．直角三角形都相似
4．下列各式中，最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
5．如图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点A到踏脚点D的距离为1米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（）．
A．1.5米B．1.2米C．1米D．0.9米
6．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则和的大小关系正确的是（）
A．B．C．D．无法确定
7．关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（）
A．B．C．且D．且
8．定义一种新运算“＆”如下：对于任意的实数a，b，若，则；若，．下列结论：①当，a＆b；②；③；④的值是无理数，其中一定成立的是（）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
10．线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为_____cm．
11．“从一个装有4个红球和3个绿球（除颜色外都相同）的黑色布袋中摸出一个球是白球．”这一事件是___________________________．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
12．顺次连接正方形各边的中点得到四边形，则=___________________．
13．已知等式，对任意正整数n都成立．计算：______．
14．已知菱形的面积是5，它的两条对角线的长分别为，则y与x的函数表达式为______．
15．若,则的值为______.
16．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(﹣2，﹣1)，B(﹣2，﹣3)，O(0，0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1，﹣1)，B1(1，﹣5)，O1(5，1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为_______.
17．如图，直线l：与x轴交于点A，与y轴拍交于点B，菱形边轴，另一边在直线l上，且点B是的中点，点D在反比例函数的图象上，则k=_____．
18．某设计公司为某品牌设计如图所示，该图是由一个含60°且边长为6cm的菱形绕其顶点顺时针分别旋转30°和60°得到，则该品牌图标的整体面积为___________________cm2．
三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．化简：
（1）（2）
（3）（4）
20．解下列分式方程：
（1）（2）
（3）（4）
21．某校开设街舞、唱歌、吉他三项延时活动课程，随机抽取了部分学生对这三项活动课程的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．
（1）本次抽样调查的样本容量是__________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢吉他的人数．
22．已知：如图，直线分别与x，y轴相交于点A、B，点P为的中点．
（1）写出点A、B、P的坐标A：_____________，B：_______________，P：________________；
（2）点C为折线上的动点，线段把分割成两部分，使得分割得到的三角形与相似．
①在图上画出所有符合要求的线段（要求：利用格点画图）；
②直接写出相应的点C的坐标（可以不在格点上）．
23．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示一段曲线且端点为和．
求k和m值；
若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
24．某饰品店经营某种女孩子束发用的小装饰品．该商铺第一次批发购进该装饰品共花费3000元，很快全部售完．接着该商铺第二次批发购进该装饰品共花费9000元．已知第二次所购进该装饰品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了．
（1）求第一次购进该装饰品的进价是多少元？
（2）若该装饰品的第一次售价为10元/个，由于第二次进价提高了，商家也相应地将第二次售价在第一次的售价基础上提高了，两次所购装饰品全部售完后，求该装饰品两次共盈利多少元？
25．如图1，正方形中，点O是对角线的中点，过点O作，垂足为点E．
（1）________________；直线与直线所夹锐角的度数为_______________°；
（2）将绕点C旋转到如图2所示，请探究（1）中结论否仍然成立？并说明理由；
（3）若正方形边长为2，在旋转过程中，当A、E、O三点共线时，请直接写出的值．
26．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”．
（1）写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身点的坐标________________________；
（2）点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
（3）如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．
参考答案
一、选择题:（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1．B
【解析】先将每一个二次根式化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故选项符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故选项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查同类二次根式，准确化成最简二次根式是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】形如，A、B都是整式，B中有字母的式子叫分式，根据定义判断．
【详解】解：是整式，是分式，是分式，是分式，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的定义，熟记分式的定义是解题的关键．
3．C
【解析】利用相似三角形的判定定理对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：A、锐角三角形不一定都相似，不是确定事件，故A选项错误；
B、等腰三角形不一定相似，不是确定事件，故B选项错误；
C、等边三角形都相似，每个角都是，是确定事件，故C选项正确；
D、直角三角形不一定都相似，不是确定事件，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，以及事件的分类，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A选项，，故不符合题意；
B选项，是最简二次根式，故符合题意；
C选项，，故不符合题意；
D选项，，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义和二次根式的性质是解题的关键．
5．D
【解析】如图，先证明，然后根据对应边成比例列列方程求解即可．
【详解】解：如图：
∵由题意可得，
∴，
∴
∴
∴米．
∴捣头点E上升了米．
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，能将实际问题抽象到相似三角形中并利用相似三角形对应边成比例列出方程是解答本题的关键．
6．A
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可，由于点，都在反比例函数的图象上，若，在第三象限，随的增大而减小，进而得出答案．
【详解】解：由于点，都在反比例函数的图象上，且，
由在第三象限内，随的增大而减小可得，．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解并掌握当时，在每个象限内随的增大而减小的性质是正确解答的关键．
7．C
【解析】先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：，且．
故选C．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.
8．C
【解析】
【分析】分别根据新运算的定义及算术平方根，立方根的定义逐项进行判断即可．
【详解】若，则，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，其值是有理数，故④错误；
综上，一定成立的是①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及求一个数的算术平方根和立方根，准确理解新运算的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．
【解析】解：二次根式中被开方数，所以．
故答案为：．
10．（﹣1）##（﹣1＋）
【解析】根据黄金分割的定义得到AP＝AB，把AB＝2cm代入计算即可．
【详解】解：∵线段AB＝2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴AP＝AB
＝×2cm
＝（﹣1）cm，
故答案为：（﹣1）．
【点睛】本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割的黄金比值是解题的关键．
11．不可能事件
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：“从一个装有4个红球和3个绿球（除颜色外都相同）的黑色布袋中摸出一个球是白球．”这一事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
【点睛】本题主要考查了事件的分类，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．
【解析】
【分析】由条件可求得正方形的边长，在中可求得，则可求得答案．
【详解】解：如图所示，
四边形为正方形，
，，
设
又、为、的中点，
在中，由勾股定理可求得，
正方形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查中点四边形，正方形的性质，勾股定理，掌握正方形的四边相等且每个角都为直角是解题的关键．
13．
【解析】
【分析】利用等式，把原式化成，然后进行计算即可．
【详解】解：原式
故答案为
【点睛】此题考查了分式的运算，熟练掌握拆项的方法是解本题的关键．
14．
【解析】
【分析】由菱形的两条对角线长分别为和，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【详解】∵菱形的两条对角线长分别为x和y，
∴它的面积为：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和函数表达式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．1
【解析】
【详解】∵，
∴．
故答案：1．
16．(-5，-1)
【解析】
【分析】分别延长B1B、O1O、A1A，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可.
【详解】解：如图，P点坐标为(﹣5，﹣1).
故答案为(﹣5，﹣1).
【点睛】本题主要考查了位似图形的位似中心的概念性质，掌握相关概念是解题关键
17．
【解析】
【分析】通过一次函数解析式易得和，再利用点B是的中点得到，则根据勾股定理计算出，然后根据菱形的性质得到，，然后写出D点坐标，即可求得k的值．
【详解】当时，，则，
当时，，解得，则，
∵点B是的中点，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵平行于x轴，
∴轴，
∴；
把代入得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数解析式，勾股定理，一次函数等综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键．
18．##
【解析】
【分析】如图所示，连接，连接，由题意可得，菱形、菱形可以看作是菱形绕点A逆时针旋转，顺时针旋转得到的，先求出，再根据对称性得到，进一步求出，；证明是等腰直角三角形，推出，进而求出；则可得，证明是等边三角形，进而求出，再由进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，连接，
由题意可得，菱形、菱形可以看作是菱形绕点A逆时针旋转，顺时针旋转得到的，
∴，
∴，
由对称性可知，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（1）（2）（3）（4）
【解析】
【分析】（1）根据分式乘法的运算法则计算即可；
（2）先算括号内，然后再根据分式乘法的运算法则计算即可；
（3）运用平方差公式和二次根式的乘法法则计算即可；
（4）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，
．
【小问3详解】
解：，
，
，
．
【小问4详解】
解：，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算、分式的混合运算、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关．
20．（1）
（2）（增根），原方程无解
（3）
（4）（增根），原方程无解．
【解析】
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可，注意要检验；
（2）根据解分式方程步骤求解即可，注意要检验；
（3）根据解分式方程的步骤求解即可，注意要检验；
（4）根据解分式方程的步骤求解即可，注意要检验．
【小问1详解】
解：，
，
，
检验：当是原分式方程的解；
【小问2详解】
解：，
，
，
检验：当是原分式方程的增根，
所以，原方程无解；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
检验：当是原分式方程的解；
【小问4详解】
解：，
，
，
检验：当是原分式方程的增根，
所以，原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤，正确求解是解题的关键，注意要检验．
21．（1）100（2）见解析（3）360
【解析】
【分析】（1）结合扇形统计图和条形统计图中选择街舞的人数和百分比即可求得女生总人数，再由条形统计图得出男生总人数，即可求得本次抽样调查的样本容量；
（2）由（1）计算出女生总人数求出选择唱歌的女生人数，即可补全统计图；
（3）用全校人数乘以抽查中的学生选择吉他的人数所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：由图可得，女生总人数为：（人），
男生总人数为：（人），
本次调查的总人数为（人），
即样本容量为100，
故答案为：100；
【小问2详解】
解：选择唱歌的女生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
（人），
∴全校学生中喜欢吉他的人数约为360人．
【点睛】本题考查了样本容量、条形统计图和扇形统计图的信息关联以及样本估计总体，找到图中的有用信息是解题的关键．
22．（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）分别令、求出对应的函数值和自变量即可确定A、B的坐标，再根据中点坐标的定义即可解答；
（2）①根据相似三角形的判定定理画出图形；②根据①画出的图形，直接都出点C的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵直线分别与x，y轴相交于点A、B，
∴当时，；当时，；
∴
∵点P为的中点．
∴点P的坐标为，即．
故答案为．
【小问2详解】
解：①如图：即为所求；
②如图：可直接读出；
∵，
∴,
∵,
∴,即，解得，
∴,
∴．
综上，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像、相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的判定正确画图是解答本题的关键．
23．（1）k=40，m=80；（2）汽车通过该路段最少需要小时．
【解析】
【分析】（1）将点A（40，1）代入t=，求得k，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值；
（2）求出v=60时的t值，汽车所用时间应大于等于这个值．
【详解】（1）由题意得：函数经过点（40，1），
把（40，1）代入t=，得：k=40，
故可得：解析式为t=，再把（m，0.5）代入t=，得：m=80；
（2）把v=60代入t=，得：t=，∴汽车通过该路段最少需要小时．
【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24．某饰品店经营某种女孩子束发用的小装饰品．该商铺第一次批发购进该装饰品共花费3000元，很快全部售完．接着该商铺第二次批发购进该装饰品共花费9000元．已知第二次所购进该装饰品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了．
（1）求第一次购进该装饰品的进价是多少元？
（2）若该装饰品的第一次售价为10元/个，由于第二次进价提高了，商家也相应地将第二次售价在第一次的售价基础上提高了，两次所购装饰品全部售完后，求该装饰品两次共盈利多少元？
【答案】（1）5元（2）共盈利12000元
【解析】
【分析】（1）设第一次购进该装饰品的进价是x元，则第二次进价为，然后根据“第二次所购进该装饰品的数量是第一次的2倍还多300个”列方程求解即可．
（2）先分别求出两次的购进的数量，再根据“利润=（售价-进价）销量”求利润即可解答．
【小问1详解】
解：设第一次购进该装饰品进价是x元，则第二次进价为，
由题意可得：，解得：，
经检查，是原方程的解，则．
答：第一次购进该纪念品的进价为5元．
【小问2详解】
解：第一次购进：，第二次购进：，
第二次售价为
两次共获利：元．
答：该商铺两次共盈利12000元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，分析题意、找到关键描述语、找到合适的等量关系是解答问题的关键．
25．（1），45（2）成立，见解析（3），
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，即可求出的度数，根据勾股定理可得，则，连接，根据等腰三角形“三线合一”可得，即可求解；
（2）将绕点E逆时针旋转得到，连接，通过证明，得出，，进而得出，则四边形是平行四边形，，，即可求证；
（3）根据题意，进行分类讨论：①当在下方时，延长，过点A作于点M，易得，，，根据勾股定理得出，则，，根据勾股定理求出，根据，即可求解；②当在上方时，过点A作于点N，用同样的方法即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵点O是对角线的中点，
∴，
连接，
∵点O是对角线的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，45；
【小问2详解】
解：将绕点E逆时针旋转得到，连接，
∵绕点E逆时针旋转得到，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，夹角为．
即（1）中结论仍成立；
【小问3详解】
解：①当在下方时，延长，过点A作于点M，
∵四边形为正方形，
∴，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
∵为等腰直角三角形，A、E、O三点共线，
∴，，
则，
由（2）中结论可得：，
∴，，
设，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
∴；
②当在上方时，过点A作于点N，
∵四边形为正方形，
∴，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
∵为等腰直角三角形，A、E、O三点共线，
∴，，
则，
由（2）中结论可得：，
∴，，
设，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
∴；
综上：或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形．
26．（1）（2）（3）2或
【解析】
【分析】（1）利用“倒数点”的概念，可得，，即可解答；
（2）设点，故可求得点的坐标，即可得到点Q满足的函数表达式；
（3）分类讨论，即：①点在上时；②点在上时，利用矩形的性质，分别求出点的坐标，再分别求出的面积即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，，
解得，
在第一象限，
，
同理可得，
故平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标为，
故答案为：；
小问2详解】
解：设点，
根据题意可得点，
观察可得，
故点在反比例函数上，且，
点P的“倒数点”Q满足的函数表达式为；
【小问3详解】
解：设且，
根据题意可得，
观察可得，
结合（2）可得点在反比例函数上，
故点不能在和上，
①当点在上时，
四边形是矩形，
，
点B与点A的纵坐标相同，可得，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
；
②当点在上时，
四边形是矩形，，
可得的横坐标为4，可得，解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
，
综上所述，的面积为2或．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征，新定义的阅读能力，三角形面积的求法，坐标与图形、矩形的性质，分式方程的应用，理解题意是解题的关键．