南京市秦淮区2022-2023学年八年级第二学期数学期末试卷（含答案解析）

这是一份南京市秦淮区2022-2023学年八年级第二学期数学期末试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了若点，计算等内容，欢迎下载使用。

（满分：100分考试时间：100分钟）
注意：
1．选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上。
2．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（）
A．缩小到原来的B．不变C．扩大3倍D．扩大9倍
3．如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（）
A．邗江区明天将有的时间下雨B．邗江区明天将有的地区下雨
C．邗江区明天下雨的可能性较大D．邗江区明天下雨的可能性较小
4．今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法正确的是( )
A．这4万名考生的全体是总体B．每个考生是个体
C．2000名考生是总体的一个样本D．样本容量是2000
5．若点（，），（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列各式中正确的是（）
A．B．C．D．
6．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
8．已知，则实数a值为________．
9．袋子里有5只红球,3只白球,每只球除颜色以外都相同,从中任意摸出1只球,是红球的可能性___(选填“大于”“小于”或“等于”)是白球的可能性．
10．计算：_____．
11．样本：14、8、10、7、9、7、12、11、13、8，那么样本数据落在范围8.5~11.5内的频率是________.
12．在平行四边形中，若，则＝________°．
13．如图，在矩形中，点B的坐标为，则的长是___．
14．如图，一次函数与反比例函数图象交于两点，当时，x的取值范围是________．
15．将正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点D与点M重合，折痕交于点E，交折痕于点H，已知正方形的边长为4，则的长度为________．
16．如图是反比例函数的部分图象，点D在函数图象上，点A是y轴正半轴上的一个动点，线段交函数图象于点C，若，的面积是8，则________．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．计算：
（1）（2）
18．先化简，再求值：，其中．
19．解方程：
（1）（2）
20．某教育主管部门为了解“双减”政策实施前城区学生作业负担情况，对某学区学生进行随机抽样调查（每位同学必须且只能选择一种），其中在学生对作业负担感受的调查项分四种情况进行统计：A．非常重；B．比较重；C．适中；D．比较轻．并根据调查结果绘制出部分条形统计图（如图1）和部分扇形统计图（如图2）．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共选取________名学生；
（2）求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1600人，估计有多少名学生作业负担非常重？
21．如图，中，点D是上一点，点E是中点，过点C作，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，如果点D是的中点，那么当与满足什么条件时，四边形是菱形？证明你的结论．
22．A，B两地相距100，甲、乙分别从A，B两地出发，甲开车速度是乙骑自行车速度的3倍，当他们同向出发时，甲将在某一时刻追上乙，当他们相向出发时，甲将在某一时刻与乙相遇，已知甲追上乙的时间比甲乙相遇所花的时间多h，甲、乙的速度分别是多少？
23．已知某品牌运动鞋每双进价120元，为求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表：
（1）表中数据x、y满足什么函数关系式？请求出这个函数关系式；
（2）若每天销售利润为3000元，则单价应定为多少元？
24．如图，网格中每个小正形的边长都是1，图形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）画一条直线平分△ABC的面积；
（2）画一条直线平分梯形ABCD的面积；
（3）画一条直线平分凹四边形ABCD的面积．
25．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
26．如何通过代数推理证明反比例函数图像的性质？
代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试．
（1）性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点．
证明：函数上任取一点，
则点A关于原点对称的点B为（_____，______），
∵______________________，
∴点B也在反比例函数图像上
∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上
∴反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点
（2）性质：反比例函数的图像关于直线对称，关于直线对称．
运用代数推理进行证明
（3）证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小．
扬州市邗江区天气
12-16℃
日出日落
体感温度降水概率降水量空气质量
优
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．C
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的意义和性质解答 .
【详解】解：A为轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查图形对称应用，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的意义和性质是解题关键.
2．B
【解析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：把中的与都扩大3倍，得，故选：B．
【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
3．C
【解析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答．
【详解】解：“扬州市邗江区明天的降水概率为”表示“邗江区明天下雨的可能性较大”，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率反映随机事件出现的可能性大小，掌握相关概念是解题的关键．
4．D
【解析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】A．这4万名考生的数学成绩是总体，此选项错误；
B．每个考生的数学成绩是个体，此选项错误；
C．2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项错误；
D．样本容量是2000，此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5．D
【解析】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣1＜0，
∴此函数的图像在二、四像限，且在每一像限内y随x的增大而增大，
∵y1＜0＜y2＜y3，
∴点（x1，y1）在第四像限，（x2，y2）、（x2，y2）两点均在第二像限，
∴x2＜x3＜x1．故选D．
6．A
【解析】
【分析】取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，根据正方形边长为6，得，，则，，根据M、N分别是和的中点，得是的中位线，是的中位线，，，，根据得，，即，，则四边形是矩形，即，，即四边形是正方形，根据，得，根据，得，根据四边形是正方形得，运用勾股定理即可得．
【详解】解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，
∵正方形边长为6，，
∴，，
∴，，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∵
∴，，
∴，，
∴四边形矩形，
∴，，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．
【解析】
【分析】分式若有意义，则分式的分母不能为，据此可求得答案．
【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则
．
解得
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件（分式的分母不能为），牢记分式有意义的条件是解题的关键．
8．已知，则实数a的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由，可得．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
9．大于
【解析】
【详解】解：摸出1个球是红球概率是，摸到白球的概率是，
故摸到红球概率大于摸到白球的概率．
故答案为：大于．
【点睛】本题考查的是事件的可能性的大小．
10．
【解析】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．
11．0.3##
【解析】
【分析】根据数据可得落在范围8.5～11.5内的数据有3个，再利用频率=频数÷总数即可得答案．
【详解】解：∵在8.5～11.5中的频数有：10、9、11共三个
∴样本数据落在范围8.5～11.5内的频率是：=0.3，
故答案为0.3．
【点睛】此题主要考查了频率，关键是掌握频率=频数÷数据总数．
12．145
【解析】
【分析】运用平行四边形的性质即可解答；
【详解】四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行且相等，本题的关键是能够熟练地运用平行四边形的性质．
13．13
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：连接，过作轴于，
点的坐标是，
，，由勾股定理得：，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出是解此题的关键．
14．或
【解析】
【分析】先由已知条件求出m的值，再根据图象得到问题解答．
【详解】解：由题意可得：，解得：，
∴反比例函数为，
∴，
∴，即B为，
∴从图象可以得到：
当时，x的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的基础知识、一次函数与反比例函数的图象及用图象法解不等式的方法是解题关键．
15．
【解析】
【分析】根据题意得，垂直平分，，，，则，即，根据得，即，根据勾股定理得，，则，进行计算即可得．
【详解】解：∵正方形纸片的边长为4，
∴，
∵正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点D与点M重合，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
16．##
【解析】
【分析】作，，垂足分别为E，F，则，则，推出，设，则，由，列式计算即可求解.
【详解】解：作，，垂足分别为E，F，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点C，点D在函数图象上，
设，∴，且，
∴，
∴，
解得，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及相似三角形的判定和性质，灵活设点的坐标，用坐标表示线段长和图形面积是解题关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．（1）（2）11
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，然后计算加减法．
（2）先去括号，然后计算加减法．
【小问1详解】
【小问2详解】
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算顺序是解此题的关键．
18．；
【解析】
【分析】先将括号内通分，除法化为乘法，同时进行因式分解，再进行约分，将结果化为最简分式，代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了分式化简求值问题，分式混合运算，掌握分式化简的步骤是解题的关键．
19．（1）（2）无解
【解析】
【分析】（1）运用分式方程的运算法则，方程两边同乘去分母即可解答；
（2）运用分式方程的运算法则，方程两边同乘即可解答；
【小问1详解】
解：
方程两边同乘，得
解这个方程，得
检验：当时，，是原方程的解．
【小问2详解】
．
方程两边同乘，得
解这个方程，得
检验：当时，，是增根，原方程无解．
【点睛】本题主要考查了分式方程的运算法则，分式方程解答时需先给每一项同时乘以公分母，去分母之后变成整式方程才可解答，本题的易错点是进行检验．
20．（1）（2），图见解析（3）人
【解析】
【分析】（1）根据题意可知总人数．
（2）先求出作业负担适中的学生人数，再根据其所占总数的百分比即可求得所对扇形圆心角的度数，再补全统计图即可．
（3）根据题意可知感觉作业负担非常重的占比为，再乘以总人数即可解答．
【小问1详解】
总人数
故答案为100．
【小问2详解】
∵，
∴作业负担适中的学生人数为5人，
∴扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数为．
【小问3详解】
（人）
估计有1120名学生名学生作业负担非常重．
【点睛】本题考查了条形统计图及扇形统计图，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
21．（1）见解析（2）当时，四边形是菱形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由得，，结合，可证；
（2）由，，易得四边形是平行四边形，若，点D是的中点，可得，即得四边形是菱形．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，．
∵点E是的中点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，四边形是菱形．
证明如下：
由（1）知，，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是直角三角形．
∵点D是的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．
22．乙骑自行车速度为，甲开车速度为50
【解析】
【分析】设乙骑自行车速度为x，则甲开车速度为，根据题意，得，计算求出满足要求的解，进而可得结果．
【详解】解：设乙骑自行车速度为x，则甲开车速度为，
根据题意，得，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：乙骑自行车速度为，甲开车速度为50．
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列分式方程．
23．（1）y＝；（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【解析】
【分析】（1）根据表中的数据可以判断x与y的函数关系，本题即可解决；
（2）根据题意列出方程进行求解即可得到答案.
【详解】解：（1）由表中数据得：xy＝6000，
∴y＝，
∴y是x的反比例函数，
y与x之间的函数关系式为y＝；
（2）由题意得，（x﹣120）•＝3000，
∴
解得，x＝240；
经检验，x＝240是原方程的根，
∴单价应定为240元.
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.
24．（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】（1）取格点，连接交于，再作直线即可；
（2）取格点，使，则可得梯形的面积等于的面积，再取格点，连接交于，再作直线即可；
（3）取两个小网格正方形，连接其对角线，交点分别为E，N，连接，交于，再作直线即可．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求；
．
【小问2详解】
如图，直线即为所求；
．
【小问3详解】
如图，直线即为所求；
．
【点睛】本题考查的是复杂作图，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线的性质，与三角形的高相关的面积问题，熟练的掌握以上几何知识并运用于作图是解本题的关键．
25．（1）见解析；（2）是，定值为6
【解析】
【分析】（1）作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝6．
【详解】（1）证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）解：CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝是定值．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键是正确作出辅助线．
26．（1），（言之有理即可）（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】（1）依据证明过程补全条件即可；
（2）根据坐标中点的对称性及反比例函数的对称性及性质进行证明即可；
（2）根据反比例函数性质进行证明即可；
【小问1详解】
性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点．
证明：在函数上任取一点，
则点A关于原点对称的点B为，
∵
∴点B也在反比例函数的图像上
∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上
∴反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点，
故答案为：，；
【小问2详解】
证明：在任取一点，
则点A关于直线对称的点B为，
∵，
∴点B也在反比例函数的图像上，
∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图像上，
∴反比例函数的图像关于直线对称；
在上任取一点，
则点A关于直线对称的点C为，
∵，
∴点C也在反比例函数的图像上，
∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图像上，
∴反比例函数的图像关于直线对称．
【小问3详解】
在上任取两点
当时，随的增大而减小
【点睛】本题考查反比例函数的性质，以及如何求其对称轴和对称中心，并类比反比例函数探究其函数增减变化的性质．难度较大．