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专题04《完全平方和平方差的几何背景》-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲练测（苏科版）
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这是一份专题04《完全平方和平方差的几何背景》-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲练测（苏科版），文件包含专题04完全平方和平方差的几何背景教师版docx、专题04完全平方和平方差的几何背景学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
2023-2024学年苏科版数学七年级下册培优专题真题汇编卷专题04 完全平方和平方差的几何背景考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.60一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2011春•锡山区期中）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：空白部分的面积：（a﹣b）2，还可以表示为：a2﹣2ab+b2，所以，此等式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故选：C．2．（2分）（2015春•丰县校级月考）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．a（a﹣b）＝a2﹣ab解：左上角正方形的面积＝（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故选：B．3．（2分）（2018春•镇江期中）如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab解：从整体计算正方形ABCD的面积：（a+b）2从局部计算正方形ABCD的面积：a2+ab+ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2故选：B．4．（2分）（2023秋•和田地区期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（ ）A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2．解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．5．（2分）（2023春•沭阳县期末）如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）A．（a﹣b）2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．a2+b2解：S阴影部分＝S大正方形﹣4S三角形＝（a+b）2﹣4×ab＝a2+b2．故选：D．6．（2分）（2023春•兴化市月考）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（ ）A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y） B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．（x+y）2＝x2+2xy+y2 D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容．图中大正方形的边长为：x+y，其面积可以表示为：（x+y）2分部分来看：左下角正方形面积为x2，右上角正方形面积为y2，其余两个长方形的面积均为xy，各部分面积相加得：x2+2xy+y2，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2故选：C．7．（2分）（2022春•吴江区期中）在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a﹣b）＝a2+ab解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：C．8．（2分）（2021春•盐城期末）如图，4张边长分别为a、b的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（ ）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab解：设大正方形的面积S1，小正方形的面积S2，大正方形的边长为a+b，则大正方形面积S1＝（a+b）2，小正方形的边长为a﹣b，则小正方形面积S2＝（a﹣b）2，四个长方形的面积为4ab，∵S1﹣S2＝4ab，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故选：D．9．（2分）（2021春•兴化市月考）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，图2梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2比较各选项，只有D符合题意故选：D．10．（2分）（2022春•姜堰区校级月考）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）A．10 B．20 C．30 D．40解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ②S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③∴阴影部分面积＝①+②+③＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2＝（a2+b2）÷2，④由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：（ a+b）2＝102， 解得a2+b2+2ab＝100， a2+b2＝100﹣2•20，化简＝60代入④式，得60÷2＝30，∴S阴影部分＝30．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2020春•常州期中）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为 11 ．解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，所以a2+b2＝11，故答案为：11．12．（2分）（2021春•东台市期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝20，ab＝30，则阴影部分的面积为 155 ．解：由图形面积之间的关系可得：S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△BFG，＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab，＝[（a+b）2﹣3ab]，＝（202﹣3×30），＝155，故答案为：155．13．（2分）（2023春•吴中区期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝5，ab＝6，则阴影部分的面积为 3.5 ．解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab，把a+b＝5，ab＝6代入得：原式＝×25﹣×6＝3.5．故答案为：3.5．14．（2分）（2021春•海陵区期末）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为 8a+16 ．解：拼成的长方形的面积为（a+4）2﹣a2＝8a+16，故答案为：8a+16．15．（2分）（2022春•宜兴市校级期中）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝10，则阴影部分的面积为 9.5 ．解：根据题意得：当a+b＝7，ab＝10时，S阴影＝a2﹣b（a﹣b）＝a2﹣ab+b2＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab＝9.5．故答案为：9.516．（2分）（2022春•海州区期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是 8 ．解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得：，∴x+y＝6，∴（x+y）2＝36，∴x2+2xy+y2＝36∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，∴xy＝8，∴长方形ABCD的面积是8，故答案为：8．17．（2分）（2023春•邗江区期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为 19 ．解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，∴（a+b）2＝64，∴2（a2+b2）＝（a+b）2+（a﹣b）2＝70，∴a2+b2＝35，∵H是AE的中点，∴，∴S△AHD＝AD•AH＝a×4＝2a，S△EFH＝EF•HE＝b×4＝2b．∴S阴影＝S甲+S乙﹣S△AHD﹣S△EFH＝a2+b2﹣2a﹣2b＝（a2+b2）﹣2（a+b）＝19．故答案为：19．18．（2分）（2023春•南京期中）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、正方形CBFG．若这两个正方形的面积和为13，△ACG的面积为3，则AB的长度是 5 ．设AC＝a，BC＝b，则AB＝AC+BC＝a+b，∵这两个正方形的面积和为13，△ACG的面积为3，∴，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+2×6＝25，∴a+b＝5（负值舍去），∴AB的长度＝AC+CB＝a+b＝5，故答案为：5．19．（2分）（2022春•东海县校级月考）现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：方式1：将B放在A的内部，得甲图；方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 13 ．解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，得：2ab＝12，所以a2+b2＝13，故答案为：13．20．（2分）（2022秋•邗江区校级期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积S1与（2）图中长方形的面积S2的比是 ．解：设（1）中长方形的长为a，宽为b，（2）中长方形的长为y，宽为x．则AD＝3b+2y＝a+x．第一种覆盖方式中阴影部分的周长为：2（3b+2y+DC﹣x）＝6b+4y+2DC﹣2x＝2a+2DC．第二种覆盖方式中有一部分的周长为：2（a+x+DC﹣3b）＝2a+2x+2DC﹣6b＝2a+2x+2DC﹣2（a+x﹣2y）＝2DC+4y．∵两种方式周长相同．∴2a+2DC＝2DC+4y．∴a＝2y．∵3b+2y＝a+x．∴x＝3b．∴S1：S2＝ab：xy＝2y×：（xy）＝．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023春•海州区校级期中）把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当变形，可解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值，解：因为a+b＝3，ab＝1，所以（a+b）2＝9，2ab＝2，所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2，得a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝6，x2+y2＝20，则xy＝ 8 ．（2）若m+n＝3，mn＝1，求（m﹣n）2的值；（3）若（5﹣m）（m﹣4）＝﹣3，求（5﹣m）2+（m﹣4）2的值；（4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，直接写出图中阴影部分的面积为 44 （结果必须是一个具体数值）．解：（1）∵x+y＝6，∴（x+y）2＝36，x2+2xy+y2＝36，∵x2+y2＝20，∴20+2xy＝36，2xy＝16，xy＝8，故答案为：8．（2）∵m+n＝3，mn＝1，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×1＝9﹣4＝5．（3）设A＝5﹣m，B＝m﹣4，则AB＝﹣3，A+B＝1，∴A2+B2＝（A+B）2﹣2AB＝1﹣2×（﹣3）＝7，即（5﹣m）2+（m﹣4）2＝7．（4）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，∴ED＝x﹣1，DG＝x﹣3，∵长方形EFGD的面积是10，∴（x﹣1）（x﹣3）＝10，∵分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，∴ME＝DQ＝ED＝x﹣1，DH＝DG＝x﹣3，∴正方形MEDQ的面积为：（x﹣1）（x﹣1），正方形NGDH的面积为：（x﹣3）（x﹣3），长方形PQDH的面积为：（x﹣1）（x﹣3）＝10，则正方形MEDQ的面积和正方形NGDH的面积之和为：（x﹣1）（x﹣1）+（x﹣3）（x﹣3）＝x2﹣2x+1+x2﹣6x+9＝2x2﹣8x+10，∵（x﹣1）（x﹣3）＝10，∴x2﹣4x+3＝10，∴x2﹣4x＝7，∴2x2﹣8x+10＝2（x2﹣4x）+10＝2×7+10＝24，即正方形MEDQ的面积和正方形NGDH的面积之和为：24，∴图中阴影部分的面积为：10+10+24＝44，故答案为：44．22．（6分）（2023春•惠山区期中）【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：（1）写出图1中所表示的数学等式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．（2）如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ．（3）【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；（4）【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和 13 ．解：（1）∵，，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵S＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，S＝4ab，故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）∵x+y＝7，∴（x+y）2＝49，∴，∴x﹣y＝±6；（4）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由题意得：（a﹣b）2＝2，（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝11，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝2+11＝13，故答案为：13．23．（8分）（2023春•宜兴市月考）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形ABCD．（1）观察如图2填空：正方形ABCD的边长为 m+n ，阴影部分的小正方形的边长为 m﹣n ；（2）观察图2，试猜想式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系，并证明你的结论；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：①已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，求a+b的值；②已知a＞0，，求的值．（1）解：正方ABCD的边长为m+n，阴影部分的正方形的边长为m﹣n；故答案为：m+n，m﹣n；（2）解：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，理由如下：（m+n）2＝m2+2mn+n2＝m2﹣2mn+n2+4mn＝（m﹣n）2+4mn；（3）①由（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1，∴a+b＝±1；②由（2）＝，∵a，∴，∴，又a＞0，∴a，∴a+．24．（8分）（2022春•高新区期中）两个边长分别为a和b的正方形（a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）∵S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，∴当a+b＝15，ab＝5时，S1+S2＝225﹣3×5＝210；（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）＝（S1+S2），∴当S1+S2＝64时，S3＝（S1+S2）＝×64＝32．25．（8分）（2023春•东台市期中）如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （b+a）2＝（b﹣a）2+4ab ；根据（1）中的结论，解决下列问题：（2）若x﹣y＝5，xy＝6，则x+y＝ 7或﹣7 ；（3）设A＝，B＝x+2y﹣3，求（A﹣B）2﹣（A+B）2的结果；（4）若（2023﹣m）2+（m﹣2021）2＝9，求（2023﹣m）（m﹣2021）＝ ﹣ ．解：（1）图2中，大正方形的边长为（a+b），因此面积为（a+b）2，阴影正方形的边长为（b﹣a），因此面积为（b﹣a）2，4个长方形的面积和为4ab，所以有（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab，故答案为：（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab；（2）由（1）得：（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，∵x﹣y＝5，xy＝6，∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝25+24＝49，∴x+y＝7或x+y＝﹣7，故答案为：7或﹣7；（3）由（1）可得（A+B）2＝（A﹣B）2+4AB，即4AB＝（A+B）2﹣（A﹣B）2，∵A＝，B＝x+2y﹣3，∴（A﹣B）2﹣（A+B）2＝﹣4AB＝﹣4××（x+2y﹣3）＝﹣（x﹣2y﹣3）（x+2y﹣3）＝﹣[（x﹣3）2﹣（2y）2]＝4y2﹣x2+6x﹣9，即（A﹣B）2﹣（A+B）2的结果为4y2﹣x2+6x﹣9；（4）设p＝2023﹣m，q＝m﹣2021，则p+q＝2，p2+q2＝（2023﹣m）2+（m﹣2021）2＝9，∴（2023﹣m）（m﹣2021）＝pq＝＝＝﹣，故答案为：﹣．26．（8分）（2018春•工业园区期中）动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： （a﹣b）2 ， （a+b）2﹣4ab ；（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系： （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ；问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知x+y＝8，xy＝7，求x﹣y的值．解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2问题解决：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy∵x+y＝8，xy＝7．∴（x﹣y）2＝64﹣28＝36．∴x﹣y＝±6故答案为：（1）（a﹣b）2； （a+b）2﹣4ab；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．27．（8分）（2018春•江都区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．解：（1），S2＝（a+b）（a﹣b）；（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1＝（28﹣1）（28+1）+1＝（216﹣1）+1＝216．28．（8分）（2023春•镇江期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 ；（2）利用（1）中的结论，若x+y＝5，，求（x﹣y）2的值；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn，计算S50﹣S49+S48﹣S47+…+S2﹣S1的值．解：（1）由图1和图2中矩形的面积为等量得：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2故答案为：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）由（1）中公式可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．同理可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝＝16；（3）连接EC，在正方形ACDE和正方形BCGF中，∠ECD＝∠CGB＝45°，∴EC∥BG，∴△BGE和△BGC的边BG上的高相等，∴S△BGE＝S△BGC．当BC＝1时，，当BC＝2时，，……当BC＝n时，，∴，∴S50﹣S49+S48﹣S47+…+S2﹣S1，＝（S50﹣S49）+（S48﹣S47）+…+（S2﹣S1）＝＝＝＝
2023-2024学年苏科版数学七年级下册培优专题真题汇编卷专题04 完全平方和平方差的几何背景考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.60一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2011春•锡山区期中）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：空白部分的面积：（a﹣b）2，还可以表示为：a2﹣2ab+b2，所以，此等式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故选：C．2．（2分）（2015春•丰县校级月考）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．a（a﹣b）＝a2﹣ab解：左上角正方形的面积＝（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故选：B．3．（2分）（2018春•镇江期中）如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab解：从整体计算正方形ABCD的面积：（a+b）2从局部计算正方形ABCD的面积：a2+ab+ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2故选：B．4．（2分）（2023秋•和田地区期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（ ）A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2．解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．5．（2分）（2023春•沭阳县期末）如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）A．（a﹣b）2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．a2+b2解：S阴影部分＝S大正方形﹣4S三角形＝（a+b）2﹣4×ab＝a2+b2．故选：D．6．（2分）（2023春•兴化市月考）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（ ）A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y） B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．（x+y）2＝x2+2xy+y2 D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容．图中大正方形的边长为：x+y，其面积可以表示为：（x+y）2分部分来看：左下角正方形面积为x2，右上角正方形面积为y2，其余两个长方形的面积均为xy，各部分面积相加得：x2+2xy+y2，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2故选：C．7．（2分）（2022春•吴江区期中）在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a﹣b）＝a2+ab解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：C．8．（2分）（2021春•盐城期末）如图，4张边长分别为a、b的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（ ）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab解：设大正方形的面积S1，小正方形的面积S2，大正方形的边长为a+b，则大正方形面积S1＝（a+b）2，小正方形的边长为a﹣b，则小正方形面积S2＝（a﹣b）2，四个长方形的面积为4ab，∵S1﹣S2＝4ab，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故选：D．9．（2分）（2021春•兴化市月考）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，图2梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2比较各选项，只有D符合题意故选：D．10．（2分）（2022春•姜堰区校级月考）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）A．10 B．20 C．30 D．40解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ②S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③∴阴影部分面积＝①+②+③＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2＝（a2+b2）÷2，④由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：（ a+b）2＝102， 解得a2+b2+2ab＝100， a2+b2＝100﹣2•20，化简＝60代入④式，得60÷2＝30，∴S阴影部分＝30．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2020春•常州期中）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为 11 ．解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，所以a2+b2＝11，故答案为：11．12．（2分）（2021春•东台市期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝20，ab＝30，则阴影部分的面积为 155 ．解：由图形面积之间的关系可得：S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△BFG，＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab，＝[（a+b）2﹣3ab]，＝（202﹣3×30），＝155，故答案为：155．13．（2分）（2023春•吴中区期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝5，ab＝6，则阴影部分的面积为 3.5 ．解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab，把a+b＝5，ab＝6代入得：原式＝×25﹣×6＝3.5．故答案为：3.5．14．（2分）（2021春•海陵区期末）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为 8a+16 ．解：拼成的长方形的面积为（a+4）2﹣a2＝8a+16，故答案为：8a+16．15．（2分）（2022春•宜兴市校级期中）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝10，则阴影部分的面积为 9.5 ．解：根据题意得：当a+b＝7，ab＝10时，S阴影＝a2﹣b（a﹣b）＝a2﹣ab+b2＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab＝9.5．故答案为：9.516．（2分）（2022春•海州区期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是 8 ．解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得：，∴x+y＝6，∴（x+y）2＝36，∴x2+2xy+y2＝36∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，∴xy＝8，∴长方形ABCD的面积是8，故答案为：8．17．（2分）（2023春•邗江区期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为 19 ．解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，∴（a+b）2＝64，∴2（a2+b2）＝（a+b）2+（a﹣b）2＝70，∴a2+b2＝35，∵H是AE的中点，∴，∴S△AHD＝AD•AH＝a×4＝2a，S△EFH＝EF•HE＝b×4＝2b．∴S阴影＝S甲+S乙﹣S△AHD﹣S△EFH＝a2+b2﹣2a﹣2b＝（a2+b2）﹣2（a+b）＝19．故答案为：19．18．（2分）（2023春•南京期中）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、正方形CBFG．若这两个正方形的面积和为13，△ACG的面积为3，则AB的长度是 5 ．设AC＝a，BC＝b，则AB＝AC+BC＝a+b，∵这两个正方形的面积和为13，△ACG的面积为3，∴，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+2×6＝25，∴a+b＝5（负值舍去），∴AB的长度＝AC+CB＝a+b＝5，故答案为：5．19．（2分）（2022春•东海县校级月考）现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：方式1：将B放在A的内部，得甲图；方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 13 ．解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，得：2ab＝12，所以a2+b2＝13，故答案为：13．20．（2分）（2022秋•邗江区校级期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积S1与（2）图中长方形的面积S2的比是 ．解：设（1）中长方形的长为a，宽为b，（2）中长方形的长为y，宽为x．则AD＝3b+2y＝a+x．第一种覆盖方式中阴影部分的周长为：2（3b+2y+DC﹣x）＝6b+4y+2DC﹣2x＝2a+2DC．第二种覆盖方式中有一部分的周长为：2（a+x+DC﹣3b）＝2a+2x+2DC﹣6b＝2a+2x+2DC﹣2（a+x﹣2y）＝2DC+4y．∵两种方式周长相同．∴2a+2DC＝2DC+4y．∴a＝2y．∵3b+2y＝a+x．∴x＝3b．∴S1：S2＝ab：xy＝2y×：（xy）＝．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023春•海州区校级期中）把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当变形，可解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值，解：因为a+b＝3，ab＝1，所以（a+b）2＝9，2ab＝2，所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2，得a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝6，x2+y2＝20，则xy＝ 8 ．（2）若m+n＝3，mn＝1，求（m﹣n）2的值；（3）若（5﹣m）（m﹣4）＝﹣3，求（5﹣m）2+（m﹣4）2的值；（4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，直接写出图中阴影部分的面积为 44 （结果必须是一个具体数值）．解：（1）∵x+y＝6，∴（x+y）2＝36，x2+2xy+y2＝36，∵x2+y2＝20，∴20+2xy＝36，2xy＝16，xy＝8，故答案为：8．（2）∵m+n＝3，mn＝1，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×1＝9﹣4＝5．（3）设A＝5﹣m，B＝m﹣4，则AB＝﹣3，A+B＝1，∴A2+B2＝（A+B）2﹣2AB＝1﹣2×（﹣3）＝7，即（5﹣m）2+（m﹣4）2＝7．（4）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，∴ED＝x﹣1，DG＝x﹣3，∵长方形EFGD的面积是10，∴（x﹣1）（x﹣3）＝10，∵分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，∴ME＝DQ＝ED＝x﹣1，DH＝DG＝x﹣3，∴正方形MEDQ的面积为：（x﹣1）（x﹣1），正方形NGDH的面积为：（x﹣3）（x﹣3），长方形PQDH的面积为：（x﹣1）（x﹣3）＝10，则正方形MEDQ的面积和正方形NGDH的面积之和为：（x﹣1）（x﹣1）+（x﹣3）（x﹣3）＝x2﹣2x+1+x2﹣6x+9＝2x2﹣8x+10，∵（x﹣1）（x﹣3）＝10，∴x2﹣4x+3＝10，∴x2﹣4x＝7，∴2x2﹣8x+10＝2（x2﹣4x）+10＝2×7+10＝24，即正方形MEDQ的面积和正方形NGDH的面积之和为：24，∴图中阴影部分的面积为：10+10+24＝44，故答案为：44．22．（6分）（2023春•惠山区期中）【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：（1）写出图1中所表示的数学等式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．（2）如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ．（3）【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；（4）【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和 13 ．解：（1）∵，，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵S＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，S＝4ab，故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）∵x+y＝7，∴（x+y）2＝49，∴，∴x﹣y＝±6；（4）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由题意得：（a﹣b）2＝2，（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝11，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝2+11＝13，故答案为：13．23．（8分）（2023春•宜兴市月考）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形ABCD．（1）观察如图2填空：正方形ABCD的边长为 m+n ，阴影部分的小正方形的边长为 m﹣n ；（2）观察图2，试猜想式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系，并证明你的结论；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：①已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，求a+b的值；②已知a＞0，，求的值．（1）解：正方ABCD的边长为m+n，阴影部分的正方形的边长为m﹣n；故答案为：m+n，m﹣n；（2）解：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，理由如下：（m+n）2＝m2+2mn+n2＝m2﹣2mn+n2+4mn＝（m﹣n）2+4mn；（3）①由（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1，∴a+b＝±1；②由（2）＝，∵a，∴，∴，又a＞0，∴a，∴a+．24．（8分）（2022春•高新区期中）两个边长分别为a和b的正方形（a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）∵S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，∴当a+b＝15，ab＝5时，S1+S2＝225﹣3×5＝210；（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）＝（S1+S2），∴当S1+S2＝64时，S3＝（S1+S2）＝×64＝32．25．（8分）（2023春•东台市期中）如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （b+a）2＝（b﹣a）2+4ab ；根据（1）中的结论，解决下列问题：（2）若x﹣y＝5，xy＝6，则x+y＝ 7或﹣7 ；（3）设A＝，B＝x+2y﹣3，求（A﹣B）2﹣（A+B）2的结果；（4）若（2023﹣m）2+（m﹣2021）2＝9，求（2023﹣m）（m﹣2021）＝ ﹣ ．解：（1）图2中，大正方形的边长为（a+b），因此面积为（a+b）2，阴影正方形的边长为（b﹣a），因此面积为（b﹣a）2，4个长方形的面积和为4ab，所以有（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab，故答案为：（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab；（2）由（1）得：（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，∵x﹣y＝5，xy＝6，∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝25+24＝49，∴x+y＝7或x+y＝﹣7，故答案为：7或﹣7；（3）由（1）可得（A+B）2＝（A﹣B）2+4AB，即4AB＝（A+B）2﹣（A﹣B）2，∵A＝，B＝x+2y﹣3，∴（A﹣B）2﹣（A+B）2＝﹣4AB＝﹣4××（x+2y﹣3）＝﹣（x﹣2y﹣3）（x+2y﹣3）＝﹣[（x﹣3）2﹣（2y）2]＝4y2﹣x2+6x﹣9，即（A﹣B）2﹣（A+B）2的结果为4y2﹣x2+6x﹣9；（4）设p＝2023﹣m，q＝m﹣2021，则p+q＝2，p2+q2＝（2023﹣m）2+（m﹣2021）2＝9，∴（2023﹣m）（m﹣2021）＝pq＝＝＝﹣，故答案为：﹣．26．（8分）（2018春•工业园区期中）动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： （a﹣b）2 ， （a+b）2﹣4ab ；（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系： （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ；问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知x+y＝8，xy＝7，求x﹣y的值．解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2问题解决：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy∵x+y＝8，xy＝7．∴（x﹣y）2＝64﹣28＝36．∴x﹣y＝±6故答案为：（1）（a﹣b）2； （a+b）2﹣4ab；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．27．（8分）（2018春•江都区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．解：（1），S2＝（a+b）（a﹣b）；（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1＝（28﹣1）（28+1）+1＝（216﹣1）+1＝216．28．（8分）（2023春•镇江期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 ；（2）利用（1）中的结论，若x+y＝5，，求（x﹣y）2的值；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn，计算S50﹣S49+S48﹣S47+…+S2﹣S1的值．解：（1）由图1和图2中矩形的面积为等量得：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2故答案为：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）由（1）中公式可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．同理可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝＝16；（3）连接EC，在正方形ACDE和正方形BCGF中，∠ECD＝∠CGB＝45°，∴EC∥BG，∴△BGE和△BGC的边BG上的高相等，∴S△BGE＝S△BGC．当BC＝1时，，当BC＝2时，，……当BC＝n时，，∴，∴S50﹣S49+S48﹣S47+…+S2﹣S1，＝（S50﹣S49）+（S48﹣S47）+…+（S2﹣S1）＝＝＝＝
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