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专题01《相交线与平行线》-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲练测（苏科版）
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这是一份专题01《相交线与平行线》-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲练测（苏科版），文件包含专题01相交线与平行线教师版docx、专题01相交线与平行线学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
2023-2024学年苏科版数学七年级下册培优专题真题汇编卷专题01 相交线与平行线考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.42一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2022春•如皋市校级月考）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠DEC，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN＝∠BAD，∵∠ADC+∠ADN＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，∴∠2＝∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2＝90°，∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF＝×270°＝135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．综上所述正确的有：①③④，共3个．故选：C．2．（2分）（2023春•灌云县月考）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（ ）A．57° B．58° C．59° D．60°解：∵长方形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，故选：B．3．（2分）（2020春•工业园区校级期中）把一块直尺与一块含30°的直角三角板如图放置，若∠1＝34°，则∠2的度数为（ ）A．114° B．124° C．116° D．126°解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠3，∵∠3＝∠1+90°，∠1＝34°，∴∠3＝124°，∴∠2＝∠3＝124°，故选：B．4．（2分）（2023春•江都区期中）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．故选：D．5．（2分）（2022春•沭阳县校级月考）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10＝18（秒），∴t≤18﹣2，即t≤16．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图1，∠MAM'＝∠PBP'，30t＝10（2+t），解得t＝1；②如图2，∠NAM'+∠PBP'＝180°，30t﹣180+10（2+t）＝180，解得t＝8.5；综上所述，A灯旋转的时间为1或8.5秒．故选：C．6．（2分）（2023春•江都区月考）如图，已知射线OP∥AE，∠A＝α，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，…，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn都在射线AE上，则∠ABnO的度数为（ ）A． B． C． D．解：由图形可知，∠ABO＝（180°﹣α），∠AB1O＝（180°﹣∠OBB1）＝∠ABO＝（180°﹣α），∠AB2O＝（180°﹣α），…则∠ABnO＝．故选：C．7．（2分）（2022春•东海县校级月考）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E﹣∠1＝180°；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是（ ）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④解：①过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠E＝360°，故本小题错误；②过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A+∠C，即∠E＝∠A+∠C，故本小题正确；③过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠A+∠E﹣∠1＝180°，故本选项正确；④∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠P，故本小题正确．综上所述，正确的小题有②③④共3个．故选：C．8．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）A．22° B．33° C．44° D．55°解：过点C作CN∥AB，过点E作EM∥AB，∵FD∥AB，CN∥AB，EM∥AB，∴AB∥CN∥EM∥FD∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC，∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，∴∠BAC+∠FDE＝34°③．①﹣③，得∠FDE＝22°．∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．故选：C．9．（2分）（2023春•定兴县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．故选：C．10．（2分）（2023春•秦淮区校级月考）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB＝∠PGD；③∠P＝2∠E；④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．其中正确的结论有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD，∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD，∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝，即EG⊥FG，故①正确；设PG与AB交于M，GE于AB交于N，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∵∠PMB＝∠P+∠PHM，∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正确；∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD，∴∠PMB＝2∠ENB，∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB，∴∠P＝2∠E，故③正确；∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMH＝∠PGC，∠AHP﹣∠PGC＝∠F，∴∠P＝∠F，∵∠FGE＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∴∠E+∠P＝90°，∵∠P＝2∠E，∴3∠E＝90，解得∠E＝30°，∴∠F＝∠P＝60°，故④正确．综上，正确答案有4个，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023秋•镇江期末）如图，将一个三角尺60°角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合，若∠1＝20°30′，则∠2的度数是 50°30′ ．解：∵∠1＝20°30′，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠1＝60°﹣20°30′＝39°30′，∴∠2＝∠DAE﹣∠CAE＝90°﹣39°30′＝50°30′，故答案为：50°30′．12．（2分）（2023春•天宁区校级期中）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝ 72 °．解：∵AD∥CB，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．∵∠H＝∠D＝90°，∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，∴∠GMN＝72°．故答案为：72．13．（2分）（2023春•天宁区校级期中）如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝ 75 度．解：∵A'D∥BC∴∠CBA′＝∠A′．∵△ABD沿BD翻折得△A'BD，∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD．∵∠A＝∠ABD，∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A．∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+3∠A＝100°．∴∠A＝25°．∴∠ABC＝75°．故答案为：75．14．（2分）（2023春•海州区期中）如图，直线AB∥CD，点E、F分别为直线AB和CD上的点，点P为两条平行线间的一点，连接PE和PF，过点P作∠EPF的平分线交直线CD于点G，过点F作FH⊥PG，垂足为H，若∠DGP﹣∠PFH＝120°，则∠AEP＝ 30 °．解：过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，∴∠AEP＝∠EPQ，∠CFP＝∠FPQ，∴∠AEP+∠CFP＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF，∵PD平分∠EPF，∴∠EPF＝2∠FPG，∴∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP，∵∠DGP﹣∠PFH＝120°，∠DGP＝∠FPG+∠PFH+∠HFG，∴∠HFG＝120°﹣∠FPG，∵FH⊥PG，∴∠PFH＝90°﹣∠FPG，∴∠CFP＝180°﹣∠PFH﹣∠HFG＝2∠PFG﹣30°，∴∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP＝30°，故答案为：30．15．（2分）（2023春•邗江区期中）将一副三角板如图1所示摆放，∠BAC＝30°，∠E＝45°，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤t≤120时，若边BC与三角板DEF的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为 15或105或60 ．解：由题意得：∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝3t°，（1）当BC∥DE时，如图所示：延长AC交MN于点P，①DE在MN上方，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDM＝∠HAC，即3t＝t+30，t＝15；②DE1 在MN下方时，∠F1DP＝（3t﹣180）°，∵DE1∥BC，DE1⊥DF1，AC⊥BC，∴AP∥DF1，∴∠F1 DM＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠F1DM＝∠HAC，即3t﹣180＝t+30，解之得：t＝105；如图：当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方，∠FDN＝（180﹣3t）度，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴AI∥DE，∴∠FDN+∠MIA＝90°，∵MN∥GH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180﹣3t+t+30＝90，解之得：t＝60；②DF在MN下方，∠F2DN＝（180﹣3t）度，∵DF2∥BC，AC⊥BC，ED2⊥DF2，∴AC∥DE2，∴∠AIM＝∠MDE2，∵MN∥GH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠E2DM＝∠HAC，即3t﹣180＝t+30，解之得：t＝105，综上可知：所有满足条件的t的值为：15或105或60，故答案为：15或105或60．16．（2分）（2023春•淮安区期末）如图，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄是一个直角梯形（挖去一个半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则∠1+∠2＝ 90° ．解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1＝∠AOP．∵AB∥CD，∴OP∥CD，∴∠2＝∠POC，∵∠AOP+∠POC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90°17．（2分）（2023春•江宁区校级月考）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是 ①②③④ （填序号）．解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．（7）如图5，当AE平分∠BAC，CE平分∠ACD时，∠BAE+∠DCE＝90°，即∠AEC＝180°﹣α﹣β；综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β或180°﹣α﹣β．即①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β都成立．故答案为：①②③④．18．（2分）（2023春•江都区期中）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ 秒或秒 ．解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分二种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，解得t＝；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，解得t＝；综上所述，当时间t的值为 或秒时，CD与AB平行．故答案为： 秒或秒．19．（2分）（2023春•玄武区期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝ 155 度．解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，∴∠A′EF＝∠AEF．∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，∴∠A′ED＝∠A″ED．∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，∴∠A′ED＝105°+∠DEF．∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．∴∠DEF＝25°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝25°．∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝180°﹣25°＝155°．故答案为：155．20．（2分）（2021春•江阴市校级月考）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 ①②③ （只填序号）．解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，故答案为：①②③．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023秋•宿豫区期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE．（1）如果∠AOC＝66°，求∠AOD、∠BOE的度数；（2）如果∠AOC＝n°（n＜180°），则∠FOD＝ （90﹣n）° （用含n的代数式表示）；（3）图中与∠DOE互余的角有： ∠FOD，∠AOF ．解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝66°，∴∠BOD＝∠AOC＝66°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝∠BOD＝33°，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴∠FOD＝∠EOF﹣∠DOE＝90°﹣33°＝57°，∵∠AOF+∠EOF+∠BOE＝180°，∠EOF＝90°，∴∠AOF+∠BOE＝90°，∴∠AOF＝180°﹣∠BOE＝90°﹣33°＝57°，∴∠AOD＝∠AOF+∠FOD＝57°+57°＝114°；（2）∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝n°，∴∠BOD＝∠AOC＝n°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOD＝（n）°，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴∠FOD＝∠EOF﹣∠DOE＝（90﹣n）°，故答案为：（90﹣n）°．（3）∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴∠FOD+∠DOE＝90°，∴∠FOD与∠DOE互余；∵∠AOF+∠EOF+∠BOE＝180°，∠EOF＝90°，∴∠AOF+∠BOE＝90°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠DOE＝90°，∴∠AOF与∠DOE互余，∴图中与∠DOE互余的角有：∠FOD，∠AOF．22．（6分）（2022春•亭湖区校级期中）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，∴EB∥HC．∴∠EBH＝∠CHB．∵∠BHC+∠BEF＝180°，∴∠EBH+∠BEF＝180°．∴EF∥BH．（2）解：∵∠HCO＝∠EBC，∴∠HCO＝∠EBC＝64°，∵BH平分∠EBO，∴∠EBH＝∠CHB＝∠EBC＝32°．∵EF⊥AO于F，EF∥BH，∴∠BHA＝90°．∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．∵∠CHO＝180°﹣∠FHC＝180°﹣122°＝58°．23．（8分）（2022春•海州区期中）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数；问题迁移（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动．①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系．解：（1）∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，理由如下：过P作PT∥EF，如图：∵EF∥MN，∴PT∥EF∥MN，∴∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°，∴∠PAF+∠APT+∠TPB+∠PBN＝360°，即∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，∵∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠PAF﹣∠PBN＝360°﹣130°﹣120°＝110°；（2）①∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：过P作PE∥AD交CD于E，如图：∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；②当P在BA延长线时，如图：此时∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，如图：此时∠CPD＝∠α﹣∠β．24．（8分）（2020春•邗江区期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）求证：CE∥GF；（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF；（2）解：∠AED+∠D＝180°；理由：∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，又∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D＝180°；（3）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，∴∠CGF＝80°+30°＝110°，又∵CE∥GF，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，又∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝70°，∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．25．（8分）（2023春•高新区校级期中）如图1，已知两条直线AB、CD被直线EF所截，分别交于点E、点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；（2）点G是射线MD上一动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①如图2，若β＝40°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．解：（1）∵EM平分∠AEF∴∠AEM＝∠FEM，又∵∠FEM＝∠FME，∴∠AEM＝∠FME，∴AB∥CD；（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝40°∴∠AEG＝140°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝70°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣70°＝20°，即α＝20°；②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，α＝．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝180°﹣β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝，即α＝；如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF＝（∠AEF﹣∠FEG）＝∠AEG＝β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°﹣．26．（8分）（2022春•吴江区期中）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；（2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴CD∥PQ．∴∠CFP+∠FPQ＝180°∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，又∵PQ∥AB，∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如图3，过点G作AB的平行线GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE＝∠AEG＝∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝∠CFP，同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）﹣∠HGE＝α+∠AEP﹣∠HGE＝α．27．（8分）（2023春•江都区期中）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°）（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．①∠AOD与∠BOC大小关系是 相等 ，依据是 同角的余角相等 ．②∠BOD与∠AOC的数量关系是 互补 ．（2）小亮固定其中一块三角尺△COD不动，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况．①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小；②直接写出∠AOC的其余所有可能值．解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠AOD＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠BOC，（同角的余角相等），故答案为：相等，同角的余角相等；②∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠AOC+∠AOB＝180°．∵∠AOD+∠AOB＝∠BOD，∴∠AOC+∠BOD＝180°，即∠AOC与∠BOD互补，故答案为：互补；（2）①如图，过点O作OE∥AB，则OE∥AB∥CD，∵OE∥AB∥CD，∴∠A＝∠AOE＝30°，∠C＝∠COE＝45°，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝30°+45°＝75°；②当AB∥OC时，如图，此时∠AOC＝∠A＝30°；当OA∥CD时，如图，此时，∠AOC＝∠C＝45°；当AB∥CD时，由①得，∠AOC＝75°；当AB∥OD时，如图，此时，∠BOD＝∠B＝60°，∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°；当OB∥CD时，如图，此时，∠BOD＝∠D＝45°，∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°；综上，∠AOC的其余所有可能值为30°，45°，120°，135°．28．（8分）（2023春•虎丘区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 60 °（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x＝360，解得，x＝60，∠H的4系补周角的度数为60°，故答案为60；（2）①过E作EF∥AB，如图1，∴∠B＝∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠D＝60°，∴∠D＝∠DEF＝60°，∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，即∠B+60°＝∠BED，∵∠B是∠BED的3系补周角，∴∠BED＝360°﹣3∠B，∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，∴∠B＝75°；②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k＝2n
2023-2024学年苏科版数学七年级下册培优专题真题汇编卷专题01 相交线与平行线考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.42一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2022春•如皋市校级月考）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠DEC，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN＝∠BAD，∵∠ADC+∠ADN＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，∴∠2＝∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2＝90°，∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF＝×270°＝135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．综上所述正确的有：①③④，共3个．故选：C．2．（2分）（2023春•灌云县月考）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（ ）A．57° B．58° C．59° D．60°解：∵长方形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，故选：B．3．（2分）（2020春•工业园区校级期中）把一块直尺与一块含30°的直角三角板如图放置，若∠1＝34°，则∠2的度数为（ ）A．114° B．124° C．116° D．126°解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠3，∵∠3＝∠1+90°，∠1＝34°，∴∠3＝124°，∴∠2＝∠3＝124°，故选：B．4．（2分）（2023春•江都区期中）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．故选：D．5．（2分）（2022春•沭阳县校级月考）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10＝18（秒），∴t≤18﹣2，即t≤16．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图1，∠MAM'＝∠PBP'，30t＝10（2+t），解得t＝1；②如图2，∠NAM'+∠PBP'＝180°，30t﹣180+10（2+t）＝180，解得t＝8.5；综上所述，A灯旋转的时间为1或8.5秒．故选：C．6．（2分）（2023春•江都区月考）如图，已知射线OP∥AE，∠A＝α，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，…，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn都在射线AE上，则∠ABnO的度数为（ ）A． B． C． D．解：由图形可知，∠ABO＝（180°﹣α），∠AB1O＝（180°﹣∠OBB1）＝∠ABO＝（180°﹣α），∠AB2O＝（180°﹣α），…则∠ABnO＝．故选：C．7．（2分）（2022春•东海县校级月考）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E﹣∠1＝180°；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是（ ）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④解：①过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠E＝360°，故本小题错误；②过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A+∠C，即∠E＝∠A+∠C，故本小题正确；③过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠A+∠E﹣∠1＝180°，故本选项正确；④∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠P，故本小题正确．综上所述，正确的小题有②③④共3个．故选：C．8．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）A．22° B．33° C．44° D．55°解：过点C作CN∥AB，过点E作EM∥AB，∵FD∥AB，CN∥AB，EM∥AB，∴AB∥CN∥EM∥FD∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC，∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，∴∠BAC+∠FDE＝34°③．①﹣③，得∠FDE＝22°．∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．故选：C．9．（2分）（2023春•定兴县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．故选：C．10．（2分）（2023春•秦淮区校级月考）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB＝∠PGD；③∠P＝2∠E；④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．其中正确的结论有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD，∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD，∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝，即EG⊥FG，故①正确；设PG与AB交于M，GE于AB交于N，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∵∠PMB＝∠P+∠PHM，∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正确；∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD，∴∠PMB＝2∠ENB，∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB，∴∠P＝2∠E，故③正确；∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMH＝∠PGC，∠AHP﹣∠PGC＝∠F，∴∠P＝∠F，∵∠FGE＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∴∠E+∠P＝90°，∵∠P＝2∠E，∴3∠E＝90，解得∠E＝30°，∴∠F＝∠P＝60°，故④正确．综上，正确答案有4个，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023秋•镇江期末）如图，将一个三角尺60°角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合，若∠1＝20°30′，则∠2的度数是 50°30′ ．解：∵∠1＝20°30′，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠1＝60°﹣20°30′＝39°30′，∴∠2＝∠DAE﹣∠CAE＝90°﹣39°30′＝50°30′，故答案为：50°30′．12．（2分）（2023春•天宁区校级期中）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝ 72 °．解：∵AD∥CB，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．∵∠H＝∠D＝90°，∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，∴∠GMN＝72°．故答案为：72．13．（2分）（2023春•天宁区校级期中）如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝ 75 度．解：∵A'D∥BC∴∠CBA′＝∠A′．∵△ABD沿BD翻折得△A'BD，∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD．∵∠A＝∠ABD，∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A．∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+3∠A＝100°．∴∠A＝25°．∴∠ABC＝75°．故答案为：75．14．（2分）（2023春•海州区期中）如图，直线AB∥CD，点E、F分别为直线AB和CD上的点，点P为两条平行线间的一点，连接PE和PF，过点P作∠EPF的平分线交直线CD于点G，过点F作FH⊥PG，垂足为H，若∠DGP﹣∠PFH＝120°，则∠AEP＝ 30 °．解：过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，∴∠AEP＝∠EPQ，∠CFP＝∠FPQ，∴∠AEP+∠CFP＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF，∵PD平分∠EPF，∴∠EPF＝2∠FPG，∴∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP，∵∠DGP﹣∠PFH＝120°，∠DGP＝∠FPG+∠PFH+∠HFG，∴∠HFG＝120°﹣∠FPG，∵FH⊥PG，∴∠PFH＝90°﹣∠FPG，∴∠CFP＝180°﹣∠PFH﹣∠HFG＝2∠PFG﹣30°，∴∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP＝30°，故答案为：30．15．（2分）（2023春•邗江区期中）将一副三角板如图1所示摆放，∠BAC＝30°，∠E＝45°，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤t≤120时，若边BC与三角板DEF的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为 15或105或60 ．解：由题意得：∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝3t°，（1）当BC∥DE时，如图所示：延长AC交MN于点P，①DE在MN上方，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDM＝∠HAC，即3t＝t+30，t＝15；②DE1 在MN下方时，∠F1DP＝（3t﹣180）°，∵DE1∥BC，DE1⊥DF1，AC⊥BC，∴AP∥DF1，∴∠F1 DM＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠F1DM＝∠HAC，即3t﹣180＝t+30，解之得：t＝105；如图：当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方，∠FDN＝（180﹣3t）度，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴AI∥DE，∴∠FDN+∠MIA＝90°，∵MN∥GH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180﹣3t+t+30＝90，解之得：t＝60；②DF在MN下方，∠F2DN＝（180﹣3t）度，∵DF2∥BC，AC⊥BC，ED2⊥DF2，∴AC∥DE2，∴∠AIM＝∠MDE2，∵MN∥GH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠E2DM＝∠HAC，即3t﹣180＝t+30，解之得：t＝105，综上可知：所有满足条件的t的值为：15或105或60，故答案为：15或105或60．16．（2分）（2023春•淮安区期末）如图，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄是一个直角梯形（挖去一个半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则∠1+∠2＝ 90° ．解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1＝∠AOP．∵AB∥CD，∴OP∥CD，∴∠2＝∠POC，∵∠AOP+∠POC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90°17．（2分）（2023春•江宁区校级月考）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是 ①②③④ （填序号）．解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．（7）如图5，当AE平分∠BAC，CE平分∠ACD时，∠BAE+∠DCE＝90°，即∠AEC＝180°﹣α﹣β；综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β或180°﹣α﹣β．即①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β都成立．故答案为：①②③④．18．（2分）（2023春•江都区期中）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ 秒或秒 ．解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分二种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，解得t＝；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，解得t＝；综上所述，当时间t的值为 或秒时，CD与AB平行．故答案为： 秒或秒．19．（2分）（2023春•玄武区期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝ 155 度．解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，∴∠A′EF＝∠AEF．∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，∴∠A′ED＝∠A″ED．∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，∴∠A′ED＝105°+∠DEF．∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．∴∠DEF＝25°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝25°．∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝180°﹣25°＝155°．故答案为：155．20．（2分）（2021春•江阴市校级月考）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 ①②③ （只填序号）．解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，故答案为：①②③．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023秋•宿豫区期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE．（1）如果∠AOC＝66°，求∠AOD、∠BOE的度数；（2）如果∠AOC＝n°（n＜180°），则∠FOD＝ （90﹣n）° （用含n的代数式表示）；（3）图中与∠DOE互余的角有： ∠FOD，∠AOF ．解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝66°，∴∠BOD＝∠AOC＝66°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝∠BOD＝33°，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴∠FOD＝∠EOF﹣∠DOE＝90°﹣33°＝57°，∵∠AOF+∠EOF+∠BOE＝180°，∠EOF＝90°，∴∠AOF+∠BOE＝90°，∴∠AOF＝180°﹣∠BOE＝90°﹣33°＝57°，∴∠AOD＝∠AOF+∠FOD＝57°+57°＝114°；（2）∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝n°，∴∠BOD＝∠AOC＝n°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOD＝（n）°，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴∠FOD＝∠EOF﹣∠DOE＝（90﹣n）°，故答案为：（90﹣n）°．（3）∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴∠FOD+∠DOE＝90°，∴∠FOD与∠DOE互余；∵∠AOF+∠EOF+∠BOE＝180°，∠EOF＝90°，∴∠AOF+∠BOE＝90°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠DOE＝90°，∴∠AOF与∠DOE互余，∴图中与∠DOE互余的角有：∠FOD，∠AOF．22．（6分）（2022春•亭湖区校级期中）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，∴EB∥HC．∴∠EBH＝∠CHB．∵∠BHC+∠BEF＝180°，∴∠EBH+∠BEF＝180°．∴EF∥BH．（2）解：∵∠HCO＝∠EBC，∴∠HCO＝∠EBC＝64°，∵BH平分∠EBO，∴∠EBH＝∠CHB＝∠EBC＝32°．∵EF⊥AO于F，EF∥BH，∴∠BHA＝90°．∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．∵∠CHO＝180°﹣∠FHC＝180°﹣122°＝58°．23．（8分）（2022春•海州区期中）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数；问题迁移（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动．①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系．解：（1）∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，理由如下：过P作PT∥EF，如图：∵EF∥MN，∴PT∥EF∥MN，∴∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°，∴∠PAF+∠APT+∠TPB+∠PBN＝360°，即∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，∵∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠PAF﹣∠PBN＝360°﹣130°﹣120°＝110°；（2）①∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：过P作PE∥AD交CD于E，如图：∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；②当P在BA延长线时，如图：此时∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，如图：此时∠CPD＝∠α﹣∠β．24．（8分）（2020春•邗江区期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）求证：CE∥GF；（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF；（2）解：∠AED+∠D＝180°；理由：∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，又∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D＝180°；（3）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，∴∠CGF＝80°+30°＝110°，又∵CE∥GF，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，又∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝70°，∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．25．（8分）（2023春•高新区校级期中）如图1，已知两条直线AB、CD被直线EF所截，分别交于点E、点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；（2）点G是射线MD上一动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①如图2，若β＝40°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．解：（1）∵EM平分∠AEF∴∠AEM＝∠FEM，又∵∠FEM＝∠FME，∴∠AEM＝∠FME，∴AB∥CD；（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝40°∴∠AEG＝140°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝70°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣70°＝20°，即α＝20°；②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，α＝．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝180°﹣β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝，即α＝；如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF＝（∠AEF﹣∠FEG）＝∠AEG＝β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°﹣．26．（8分）（2022春•吴江区期中）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；（2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴CD∥PQ．∴∠CFP+∠FPQ＝180°∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，又∵PQ∥AB，∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如图3，过点G作AB的平行线GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE＝∠AEG＝∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝∠CFP，同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）﹣∠HGE＝α+∠AEP﹣∠HGE＝α．27．（8分）（2023春•江都区期中）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°）（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．①∠AOD与∠BOC大小关系是 相等 ，依据是 同角的余角相等 ．②∠BOD与∠AOC的数量关系是 互补 ．（2）小亮固定其中一块三角尺△COD不动，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况．①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小；②直接写出∠AOC的其余所有可能值．解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠AOD＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠BOC，（同角的余角相等），故答案为：相等，同角的余角相等；②∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠AOC+∠AOB＝180°．∵∠AOD+∠AOB＝∠BOD，∴∠AOC+∠BOD＝180°，即∠AOC与∠BOD互补，故答案为：互补；（2）①如图，过点O作OE∥AB，则OE∥AB∥CD，∵OE∥AB∥CD，∴∠A＝∠AOE＝30°，∠C＝∠COE＝45°，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝30°+45°＝75°；②当AB∥OC时，如图，此时∠AOC＝∠A＝30°；当OA∥CD时，如图，此时，∠AOC＝∠C＝45°；当AB∥CD时，由①得，∠AOC＝75°；当AB∥OD时，如图，此时，∠BOD＝∠B＝60°，∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°；当OB∥CD时，如图，此时，∠BOD＝∠D＝45°，∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°；综上，∠AOC的其余所有可能值为30°，45°，120°，135°．28．（8分）（2023春•虎丘区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 60 °（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x＝360，解得，x＝60，∠H的4系补周角的度数为60°，故答案为60；（2）①过E作EF∥AB，如图1，∴∠B＝∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠D＝60°，∴∠D＝∠DEF＝60°，∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，即∠B+60°＝∠BED，∵∠B是∠BED的3系补周角，∴∠BED＝360°﹣3∠B，∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，∴∠B＝75°；②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k＝2n
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