专题07 矩形中的最值最新期中真题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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【例题讲解】
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E为对角线DB的中点，P为线段AD上一动点，则EPB的周长最小值为______．
解：延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，
∵AF＝AB，∠DAB＝90°，∴AD垂直平分BF，即B、F关于直线AD对称，
∴PB＝PF，∴EP＋PB＝EP＋PF≥EF，∵E、G分别为DB、AB的中点，
∴EG∥AD，EG＝AD＝BC＝1，FG＝AF＋AG＝4＋2＝6，
∴EG⊥AB，∴EF＝，EB＝，
∴△EPB的周长最小值为．故答案为：．
【综合演练】
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（ ）
A．0B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度．
【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵四边形是矩形，
∴，，∠QCE＝90°，
∵，
∴,
∵点F点关于BC的对称点G，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴GH＝DF＝6，∠H＝90°,
∵点E是CD中点，
∴CE=2，
∴EH＝2+4＝6，
∴∠GEH＝45°，
∴∠CEQ＝45°，
设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
在△CQE中，
∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，
∴CQ＝EC，
∴6﹣x＝2，
解得x＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．
2．如图，在矩形ABCD中，点N、O、P、M分别是边AB、BC、CD、DA上的点(不与端点重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，则四边形MNOP周长的最小值等于（ ）
A．2B．2C．D．
【答案】A
【分析】首先利用SAS证明，得，同理得，则四边形是平行四边形，作点N关于BC的对称点，连接，，求出 的长，从而解决问题．
【详解】解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
同理得，，
∴四边形MNOP是平行四边形，
作点N关于BC的对称点，连接，，过点P和，将AB于点H，
则，，
∴的最小值为．
∵四边形ABCD是矩形，，，
∴四边形PCBH是矩形，
∴，．
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴四边形MNOP周长的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，证明四边形MNOP是平行四边形是解题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】先由S△PBC＝S矩形ABCD．得出动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形BCE中，由勾股定理求得CE的值，即PB＋PC的最小值．
【详解】解：设△PBC中BC边上的高是h．
∵S△PBC＝S矩形ABCD．
∴BC•h＝AB•AD，
∴h＝AB＝1，
∴动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，
如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．
在Rt△BCE中，∵BC＝3，BE＝BA＝2，
∴CE＝，
即PB＋PC的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
4．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，
∴×4×x=××4×（6-x），
∴x=2，
∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD=PE，
∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
5．如图，在矩形中，，，E、F分别是AB、CD边上的动点，，则的最小值为______．
【答案】5
【分析】过点C作，且，连接，则当点A、F、G三点共线时，有最小值，根据平行四边形的性质得，，根据点A、F、G三点共线得，根据四边形是矩形得，根据四边形是平行四边形得，，根据可判定四边形是菱形，则，设，则，在中，由勾股定理得，，计算得，即可得，在中，由勾股定理得，得，即可得，根据可判定，则计算，根据，，即可得．
【详解】解：如图所示，过点C作，且，连接，
则当点A、F、G三点共线时，有最小值，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵点A、F、G三点共线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴四边形是菱形，
∴
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形的相似与判定，勾股定理，最短距离问题，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点，作辅助线，三点共线时两条线段的和最小．
6．如图，是长方形内部的动点， ，的面积等于9，则点到两点距离之和的最小值为__________.
【答案】
【分析】根据三角形的面积，计算出三角形BPC的高，由此得出P点的运动轨迹是平行于BC的线段MN上，找到C点关于MN的对称点E，连接BE，BE的长度即为，此时线段最短.
【详解】解：∵的面积等于9,BC=6，
∴PE=9×2÷6=3，
即△BPC得高为3，
P点在长方形内部且平行于BC的线段MN上，
CM=3，延长CD到E使ME=MC，此时PC=PE
连接BE交MN与点P此时最短，且=BE
在Rt△BCE,
所以BE=
故答案为
【点睛】本题考查了特殊平行四边形动点问题，求线段最值，解决本题的关键是熟练掌握最短路径问题模型，根据题意找到切入点，能够正确运用勾股定理计算直角三角形中的边长问题.
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，点E在AD上且DE＝4.点G在AE上且GE＝8，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为____．
【答案】10
【分析】作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交BC于点P，连接AP，此时GF + EF的值最小，根据已知条件可得AP = 2GF，进而可得GF+ EF= A'E，在Rt△AA' E中，由勾股定理可求A' E的长，即可得出答案．
【详解】作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交，BC于点P，连接AP，
∵ AD= 20，DE= 4，
∴ AE= 16，
∵GE=8，
∴G是AE的中点，
∵F是EP的中点，
∴ AP= 2GF，
∴GF+ EF= AP+EP
=，
此时，GF+EF取得最小值，
∵AB=6，
∴AA`=12，
在Rt∆AA`E中， ，
∴GF+EF的最小值为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离、三角形的中位线定理、勾股定理，熟练掌握轴对称求最短距离的方法及三角形中位线的性质是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为______．
【答案】##
【分析】作的外接圆，得到点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA、OE、OC，OA交于，分析得到当M与重合时，AM取得最小值．分别过点O作于点H，过点O作于点G，根据圆的性质和矩形的性质即可求解．
【详解】∵，
∴，
如图，作的外接圆，点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA、OE、OC，OA交于，
当M与重合时，AM取得最小值．
过点O作于点H，
∵
∴，
∴，，
过点O作于点G，
∴，，AG=6-2=4，
∴，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题．涉及圆的性质、矩形的性质和勾股定理．解题的关键是找到点M的轨迹．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且∠FEG＝30°，则线段FG的长度最大值为 _____．
【答案】
【分析】如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形，故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大，则由矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2可知，∠ABD=60°，故∠ABF=60°-30°=30°，则AF=，则FG=AD-AF=．
【详解】如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形
故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2
∴∠ABD=60°
∴∠ABF=60°-30°=30°
∴AF=
∴FG=AD-AF=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形中动点问题，图解法数学思想依据是数形结合思想． 它的应用能使复杂问题简单化、 抽象问题具体化． 特殊四边形的几何问题， 很多困难源于问题中的可动点． 如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路， 常常导致思维混乱．实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式， 确定运动变化过程中的数量关系， 图形位置关系， 分类画出符合题设条件的图形进行讨论， 就能找到解决的途径， 有效避免思维混乱．
10．图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点E为CD边上一动点（不与C、D重合），以CE为边向外作矩形CEFG，且CG＝CE，连接BF，点O是线段BF的中点，连接OE，则OE的最小值为_____．
【答案】
【分析】根据矩形的性质证明，得出，，再根据已知设，则，再根据勾股定理求出，求出的最小值即可．
【详解】解：延长，与交于点，如图所示：
为中点，，
，，
在和中，
，
，，
设，
则，
，
，
当最小时，最小，此时，
即，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质以及三角形全等的判定，关键是对知识的掌握和综合运用．
11．如图，在矩形中，，，动点满足，则周长的最小值为______．
【答案】6+2
【分析】先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则AB+BE就是周长的最小值．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，进而即可求解．
【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则AB+BE就是周长的最小值．
在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2＋2＝4，
∴BE＝，即PA＋PB的最小值为2．
∴周长的最小值=6+2．
故答案为：6+2．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝2S△PCD，则PC+PD的最小值为 ______________．
【答案】
【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．由PM垂直平分线段DE，推出PD＝PE，推出PC+PD＝PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB//CD，AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，
∵S△PAB＝2S△PCD，
∴×2×x＝2××2×（3﹣x），
∴x＝2，
∴AM＝2，DM＝EM＝1，
在Rt△ECD中，EC＝＝2，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD＝PE，
∴PC+PD＝PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥2，
∴PD+PC的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑运用两点之间线段最短，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13．如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接，取的中点，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是_________．
【答案】5
【分析】过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，，当时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度．
【详解】解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图，
∵F为AP的中点， ，
∴FE为△APM的中位线，
∴ ，
当EF取最小值时，即PM最短，
当时，PM最短，
此时 ，
∵，
在 中，，
∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键PM⊥AD．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是_____．
【答案】
【分析】分别作的中点连接，点在上运动，当时，有最小值，证明即可求得的最小值．
【详解】分别作的中点连接
P为DF中点
当点与点重合时，点与点重合，
当点与点重合时，点与点重合，
点在上运动
当时，有最小值
四边形是矩形,AB＝4，AD＝2

为的中点，为的中点
,
E为AB的中点
是等边三角形
在与中
（AAS）
故答案为
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形并证明是解题的关键．