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专题14 考前小题狂做60道-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）
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这是一份专题14 考前小题狂做60道-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版），文件包含专题14考前小题狂做60道原卷版docx、专题14考前小题狂做60道解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。
一．选择题（共16小题）
1．函数y＝x和y=−2x在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．全等的两个图形成中心对称
B．成中心对称的两个图形必须能完全重合
C．旋转后能重合的两个图形成中心对称
D．成中心对称的两个图形不一定全等
3．下列各式：xπ+2，5p2q，a2−b22，1m+m，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．函数y＝kx﹣1与y=kx（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5．对于反比例函数y=−9x，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣3，3）在它的图象上
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．它的图象在第二、四象限
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，点F在边CD上，如果添加一个条件，使△ADE≌△CBF，那么添加的条件不能为（ ）
A．DE＝BFB．AE＝CFC．BE＝DFD．∠ADE＝∠CBF
7．平面直角坐标系中，已知点P（1，2），则在点A（1，﹣1），B（2，﹣1），C（﹣2，3），D（4，0）中，不可能与点P在同一函数图象上的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
8．已知m、n是正整数，若2m+5n是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）
A．（2，5）B．（8，20）
C．（2，5），（8，20）D．以上都不是
9．把分式2x2x−3y中的x和y都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍B．不变
C．缩小到原来的15D．扩大为原来的52倍
10．若反比例函数y＝（2m﹣1）xm2−2的图象在第二，四象限，则m的值是（ ）
A．﹣1或1B．小于12的任意实数
C．﹣1D．不能确定
11．已知点（1，y1），（2，y2），（﹣1，y3）都在直线y＝2x+b上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
12．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，AC＝5，OA＝3，把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E，点M在y轴上，点N在坐标平面内，若四边形MFDN是菱形，则菱形MFDN的面积是（ ）
A．258B．134C．278D．154
13．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，P为对角线BD上动点，则CP+12BP的最小值为（ ）
A．2B．3C．1+3D．23
14．点A（3，2）经过某种图形变化后得到点B（﹣2，3），这种图形变化可以是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点E在边CD上，DE＝2，将△DEQ沿EQ翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC的最小值为（ ）
A．62−2B．8C．10D．82−2
16．如图，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．1+5B．4+2C．4−2D．﹣1+5
二．填空题（共19小题）
17．若a：b：c＝1：2：3，则a+3b−ca−3b+c=
18．若函数y=(k−2)xk2−5是反比例函数，则k＝ ．
19．若关于x的分式方程xx−1=3a2x−2−2有非负数解，则a的取值范围是 ．
20．一次函数y＝kx+b与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点（如图），则0＜kx＜kx+b的解集是 ．
21．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在点C′、D′的位置上，EC'交AD于G，已知∠EFG＝56°，那么∠BEG＝ ．
22．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠BAB′等于 ．
23．若x−6+|y+2|＝0，则x−y= ．
24．如图平行四边形ABCD的对角线为AC，BD交于点O，点E在AB延长线上，BF垂直平分CE，垂足为点F，如果OF＝4．则平行四边形ABCD周长是 ．
25．已知：m、n为两个连续的整数，且m＜11＜n，则m+n＝ ．
26．若分式方程1x−3+1=a−xx−3有增根，则a的值是 ．
27．若式子x+1x有意义，则x的取值范围是 ．
28．如图，∠MON＝∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝5，△ABC顶点A、C分别在ON、OM上，点D是AB边上的中点，当点A在边ON上运动时，点C随之在边OM上运动，则OD的最大值为 ．
29．分式3a2a−2b与2ab−a的最简公分母是 ．
30．已知a＝2+3，b＝2−3，则a2b+ab2＝ ．
31．如图①，点M从菱形ABCD的顶点D出发，沿D→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A．如图②是点M运动过程中，△MAB的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为 ．
32．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ．
33．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D（4，2），反比例函数y=kx的图象经过点D．若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为 ．
34．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝ 2 ．
35．如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是 ．
三．解答题（共25小题）
36．两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式例如：3与3、2+1与2−1等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：13=33×3=33；
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1；
…
请仿照上述过程，化去下列各式分母中的根号．
（1）13−2；
（2）2n+2+n（n为正整数）
37．（1）（−12）﹣2+18−（10−4）0
（2）（6−1）2﹣（3+5）（3−5）
38．（1）发现规律：
特例1：1+13=3+13=4×13=213；
特例2：2+14=8+14=9×14=314；
特例3：3+15=415；
特例4： 16=516 （填写一个符合上述运算特征的例子）；
（2）归纳猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明猜想：
（4）应用规律：
①化简：2019+12021×4042= ；
②若m+1n=191n，（m，n均为正整数），则m+n的值为 ．
39．（1）计算：3−a2a−4÷（1−1a−2）
（2）解方程：x2x−1=1−21−2x
40．如图，已知点A（2，4）、B（1，1）、C（3，2）．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△A1BC1，画出△A1BC1；
（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2；
（3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D的坐标
41．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1交AB于点E，OC1交BC于点F．
（1）求证：（BE+BF）2＝2OB2；
（2）如果正方形ABCD的边长为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动的过程中，与正方形ABCD重叠部分的面积始终等于 （用含a的代数式表示）
42．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝25，BD＝4，求OE的长．
43．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．
（1）求证：CD＝EF；
（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的面积．
44．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝75°，则∠C＝ °，∠D＝ °
（2）在探究等对角四边形性质时：
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．
要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长．
45．如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过格点P（网格线的交点），在图中用直尺和2B铅笔画出三个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
46．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．
47．如图，平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+3交x轴于点A，交y轴于点B．四边形OADC为平行四边形，点D坐标为（8，2）．
（1）求证：点C在直线AB上；
（2）若点P为线段CO延长线上的一个动点，设P横坐标为x，△BPC面积为S．
①直接写出S关于x的函数关系式；
②当S＝6时，在y轴上恰有点Q．使得此时四边形BCQP为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）若点M从A出发以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点N从O出发以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，过M，N作x轴的垂线分别交直线AB和直线OC于点G，H，设运动时间为t秒．是否存在时间t，使四边形MGHN为正方形？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
48．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．
49．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0）、B（5，0），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形，点A，B，C的对应点分别是D，E，F；
（2）若y轴上存在一点M，使得△MDF的周长最小，求点M的坐标．
50．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）①若四边形AFBD是矩形，则△ABC必须满足条件 ；
②若四边形AFBD是菱形，则△ABC必须满足条件 ．
51．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了20000元，乙种商品共用了24000元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于24600元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
52．【阅读理解】
对于任意正实数a、b，∵(a−b)2≥0，
∴a+b−2ab≥0
∴a+b≥2ab，只有当a＝b时，等号成立．
【数学认识】
在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2k，只有当a＝b时，a+b有最小值2k．
【解决问题】
（1）若x＞0时，当x＝ 时，x+1x有最小值为 ；
（2）如图，已知点A在反比例函数y=3x(x＞0)的图象上，点B在反比例函数y=−1x(x＞0)的图象上，AB∥y轴，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥y轴于点C．求四边形ABCD周长的最小值．
53．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．
54．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=12BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．
55．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当▱ABCD满足 条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．
56．如图1，正方形ABCD中，O是对角线BD的中点，点E在边AB上，点F在边AD上，且OE⊥OF
（1）求证：BE＝AF；
（2）如图2，延长FO交BC于H，连接EH，若BE＝12，DF＝5，求EH的长；
（3）如图3，连接EF，若AB＝16，求△AEF的面积的最大值．
57．阅读理解：如图1，如果四边形ABCD满足∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，CB＝CD．那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定是“完美筝形”的是 ；
（2）如图2，四边形ABCD为“完美筝形”，∠B＝∠D＝90°，E、F分别在边AB，AD上，若将四边形ABCD沿CE，CF折叠，B的对应点落在CF上，D的对应点D'落在CE上，连接EB'，FD′交于点O．
①图2中除四边形ABCD外，还有 个“完美筝形”；
②若四边形AECF为菱形，求证：四边形AEOF为“完美筝形”；
③若∠A＝90°．连接AB'，直接写出此时∠BAB'的度数为 ．
58．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
59．【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”
【判断尝试】
在①梯形；②矩形；③菱形中，是“对直四边形”的是 ．（填序号）
【操作探究】
在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，AE⊥BC于点E，请在边AD和CD上各找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF的长．
【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，若AB＝3米，AD＝1米，∠C＝45°，∠A＝∠B＝90°．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余求分割后得到的等腰三角形的腰长．
60．如图在平面直角坐标系xOy中位于第二象限的点A在反比例函数y1=kx（x＜0）的图象上，点B与点A关于原点O对称，直线y2＝mx+n经过点B，且与反比例函数y1=kx的图象交于点C．
（1）当点A的横坐标是﹣2，点C坐标是（﹣8，2）时，分别求出y1、y2的函数表达式；
（2）若点C的横坐标是点A的横坐标的4倍，且△ABC的面积是16，求k的值．
F在边AD上时，
F在边CD上时，
EF的长为
EF的长为
一．选择题（共16小题）
1．函数y＝x和y=−2x在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．全等的两个图形成中心对称
B．成中心对称的两个图形必须能完全重合
C．旋转后能重合的两个图形成中心对称
D．成中心对称的两个图形不一定全等
3．下列各式：xπ+2，5p2q，a2−b22，1m+m，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．函数y＝kx﹣1与y=kx（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5．对于反比例函数y=−9x，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣3，3）在它的图象上
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．它的图象在第二、四象限
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，点F在边CD上，如果添加一个条件，使△ADE≌△CBF，那么添加的条件不能为（ ）
A．DE＝BFB．AE＝CFC．BE＝DFD．∠ADE＝∠CBF
7．平面直角坐标系中，已知点P（1，2），则在点A（1，﹣1），B（2，﹣1），C（﹣2，3），D（4，0）中，不可能与点P在同一函数图象上的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
8．已知m、n是正整数，若2m+5n是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）
A．（2，5）B．（8，20）
C．（2，5），（8，20）D．以上都不是
9．把分式2x2x−3y中的x和y都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍B．不变
C．缩小到原来的15D．扩大为原来的52倍
10．若反比例函数y＝（2m﹣1）xm2−2的图象在第二，四象限，则m的值是（ ）
A．﹣1或1B．小于12的任意实数
C．﹣1D．不能确定
11．已知点（1，y1），（2，y2），（﹣1，y3）都在直线y＝2x+b上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
12．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，AC＝5，OA＝3，把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E，点M在y轴上，点N在坐标平面内，若四边形MFDN是菱形，则菱形MFDN的面积是（ ）
A．258B．134C．278D．154
13．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，P为对角线BD上动点，则CP+12BP的最小值为（ ）
A．2B．3C．1+3D．23
14．点A（3，2）经过某种图形变化后得到点B（﹣2，3），这种图形变化可以是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点E在边CD上，DE＝2，将△DEQ沿EQ翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC的最小值为（ ）
A．62−2B．8C．10D．82−2
16．如图，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．1+5B．4+2C．4−2D．﹣1+5
二．填空题（共19小题）
17．若a：b：c＝1：2：3，则a+3b−ca−3b+c=
18．若函数y=(k−2)xk2−5是反比例函数，则k＝ ．
19．若关于x的分式方程xx−1=3a2x−2−2有非负数解，则a的取值范围是 ．
20．一次函数y＝kx+b与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点（如图），则0＜kx＜kx+b的解集是 ．
21．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在点C′、D′的位置上，EC'交AD于G，已知∠EFG＝56°，那么∠BEG＝ ．
22．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠BAB′等于 ．
23．若x−6+|y+2|＝0，则x−y= ．
24．如图平行四边形ABCD的对角线为AC，BD交于点O，点E在AB延长线上，BF垂直平分CE，垂足为点F，如果OF＝4．则平行四边形ABCD周长是 ．
25．已知：m、n为两个连续的整数，且m＜11＜n，则m+n＝ ．
26．若分式方程1x−3+1=a−xx−3有增根，则a的值是 ．
27．若式子x+1x有意义，则x的取值范围是 ．
28．如图，∠MON＝∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝5，△ABC顶点A、C分别在ON、OM上，点D是AB边上的中点，当点A在边ON上运动时，点C随之在边OM上运动，则OD的最大值为 ．
29．分式3a2a−2b与2ab−a的最简公分母是 ．
30．已知a＝2+3，b＝2−3，则a2b+ab2＝ ．
31．如图①，点M从菱形ABCD的顶点D出发，沿D→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A．如图②是点M运动过程中，△MAB的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为 ．
32．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ．
33．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D（4，2），反比例函数y=kx的图象经过点D．若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为 ．
34．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝ 2 ．
35．如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是 ．
三．解答题（共25小题）
36．两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式例如：3与3、2+1与2−1等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：13=33×3=33；
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1；
…
请仿照上述过程，化去下列各式分母中的根号．
（1）13−2；
（2）2n+2+n（n为正整数）
37．（1）（−12）﹣2+18−（10−4）0
（2）（6−1）2﹣（3+5）（3−5）
38．（1）发现规律：
特例1：1+13=3+13=4×13=213；
特例2：2+14=8+14=9×14=314；
特例3：3+15=415；
特例4： 16=516 （填写一个符合上述运算特征的例子）；
（2）归纳猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明猜想：
（4）应用规律：
①化简：2019+12021×4042= ；
②若m+1n=191n，（m，n均为正整数），则m+n的值为 ．
39．（1）计算：3−a2a−4÷（1−1a−2）
（2）解方程：x2x−1=1−21−2x
40．如图，已知点A（2，4）、B（1，1）、C（3，2）．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△A1BC1，画出△A1BC1；
（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2；
（3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D的坐标
41．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1交AB于点E，OC1交BC于点F．
（1）求证：（BE+BF）2＝2OB2；
（2）如果正方形ABCD的边长为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动的过程中，与正方形ABCD重叠部分的面积始终等于 （用含a的代数式表示）
42．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝25，BD＝4，求OE的长．
43．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．
（1）求证：CD＝EF；
（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的面积．
44．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝75°，则∠C＝ °，∠D＝ °
（2）在探究等对角四边形性质时：
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．
要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长．
45．如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过格点P（网格线的交点），在图中用直尺和2B铅笔画出三个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
46．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．
47．如图，平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+3交x轴于点A，交y轴于点B．四边形OADC为平行四边形，点D坐标为（8，2）．
（1）求证：点C在直线AB上；
（2）若点P为线段CO延长线上的一个动点，设P横坐标为x，△BPC面积为S．
①直接写出S关于x的函数关系式；
②当S＝6时，在y轴上恰有点Q．使得此时四边形BCQP为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）若点M从A出发以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点N从O出发以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，过M，N作x轴的垂线分别交直线AB和直线OC于点G，H，设运动时间为t秒．是否存在时间t，使四边形MGHN为正方形？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
48．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．
49．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0）、B（5，0），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形，点A，B，C的对应点分别是D，E，F；
（2）若y轴上存在一点M，使得△MDF的周长最小，求点M的坐标．
50．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）①若四边形AFBD是矩形，则△ABC必须满足条件 ；
②若四边形AFBD是菱形，则△ABC必须满足条件 ．
51．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了20000元，乙种商品共用了24000元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于24600元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
52．【阅读理解】
对于任意正实数a、b，∵(a−b)2≥0，
∴a+b−2ab≥0
∴a+b≥2ab，只有当a＝b时，等号成立．
【数学认识】
在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2k，只有当a＝b时，a+b有最小值2k．
【解决问题】
（1）若x＞0时，当x＝ 时，x+1x有最小值为 ；
（2）如图，已知点A在反比例函数y=3x(x＞0)的图象上，点B在反比例函数y=−1x(x＞0)的图象上，AB∥y轴，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥y轴于点C．求四边形ABCD周长的最小值．
53．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．
54．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=12BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．
55．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当▱ABCD满足 条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．
56．如图1，正方形ABCD中，O是对角线BD的中点，点E在边AB上，点F在边AD上，且OE⊥OF
（1）求证：BE＝AF；
（2）如图2，延长FO交BC于H，连接EH，若BE＝12，DF＝5，求EH的长；
（3）如图3，连接EF，若AB＝16，求△AEF的面积的最大值．
57．阅读理解：如图1，如果四边形ABCD满足∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，CB＝CD．那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定是“完美筝形”的是 ；
（2）如图2，四边形ABCD为“完美筝形”，∠B＝∠D＝90°，E、F分别在边AB，AD上，若将四边形ABCD沿CE，CF折叠，B的对应点落在CF上，D的对应点D'落在CE上，连接EB'，FD′交于点O．
①图2中除四边形ABCD外，还有 个“完美筝形”；
②若四边形AECF为菱形，求证：四边形AEOF为“完美筝形”；
③若∠A＝90°．连接AB'，直接写出此时∠BAB'的度数为 ．
58．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
59．【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”
【判断尝试】
在①梯形；②矩形；③菱形中，是“对直四边形”的是 ．（填序号）
【操作探究】
在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，AE⊥BC于点E，请在边AD和CD上各找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF的长．
【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，若AB＝3米，AD＝1米，∠C＝45°，∠A＝∠B＝90°．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余求分割后得到的等腰三角形的腰长．
60．如图在平面直角坐标系xOy中位于第二象限的点A在反比例函数y1=kx（x＜0）的图象上，点B与点A关于原点O对称，直线y2＝mx+n经过点B，且与反比例函数y1=kx的图象交于点C．
（1）当点A的横坐标是﹣2，点C坐标是（﹣8，2）时，分别求出y1、y2的函数表达式；
（2）若点C的横坐标是点A的横坐标的4倍，且△ABC的面积是16，求k的值．
F在边AD上时，
F在边CD上时，
EF的长为
EF的长为
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