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专题08 选择压轴题精选-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）
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这是一份专题08 选择压轴题精选-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版），文件包含专题08选择压轴题精选原卷版docx、专题08选择压轴题精选解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
1．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．23+2B．5−33C．3−3D．3+1
试题分析：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG＝90°，AB＝2，∠ABC＝60°，运用解直角三角形可得AG＝23，DG＝2+23，再求得∠G＝30°，根据直角三角形性质得出答案．
方法二：过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH=3，再证明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH=3，即可求得答案．
答案详解：解：如图，延长DA、BC交于点G，
∵四边形ABED是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝23，
∴DG＝AD+AG＝2+23，
∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，
∴DF=12DG=12×（2+23）＝1+3，
所以选D．
2．已知下列命题
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③一组对边平行且两条对角线相等的四边形是矩形；
④两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
其中正确的命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
试题分析：（1）本题根据平行四边形的判定方法即可得出结论．
（2）本题根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（3）本题根据矩形的判定方法得出结论．
（4）本题根据菱形的判定方法得出结论．
答案详解：解：（1）∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
∴故本选项正确．
（2）∵两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，
∴故本选项错误．
（3）∵一组对边平行且两条对角线相等的四边形可能是等腰梯形．
∴故本选项错误．
④∵两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
∴故本选项正确．
所以选：C．
3．如图，点A是反比例函数y=4x图象上的一动点，连接AO并延长交图象的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，则m，n满足（ ）
A．mn＝﹣2B．mn＝﹣4C．n＝﹣2mD．n＝﹣4m
试题分析：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质得出OC＝OA，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质，可得出A（n，﹣m），进而得到﹣mn＝4，进一步得到mn＝﹣4．
答案详解：解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由直线AB与反比例函数y=4x的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO．
又∵AC⊥BC，AC＝BC，
∴CO⊥AB，CO=12AB＝OA，
∵∠AOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵点C（m，n），
∴CF＝﹣m，OF＝n，
∴OE＝n，AE＝﹣m，
∴A（n，﹣m），
∵点A是反比例函数y=4x图象上，
∴﹣mn＝4，即mn＝﹣4，
所以选：B．
4．在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），则下列说法错误的是（ ）
A．若x1x2＜0，则y1y2＜0
B．若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则k＜0
C．若x1+x2＝0，则A、B关于原点对称
D．若k＞0，x1＞x2＞0，则y2＞y1＞0
试题分析：根据反比例函数的性质判断即可．
答案详解：解：A．∵x1x2＜0，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）在第一、三象限或第二、四象限，
∴y1y2＜0，故A说法正确；
B．∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∴x1﹣x2＞0，y1﹣y2＜0或x1﹣x2＜0，y1﹣y2＞0，
∴x1＞x2，则y1＜y2或x1＜x2，则y1＞y2，
∴反比例函数y=kx的图象在第一、三象限，
∴k＞0，故B说法错误；
C．∵x1+x2＝0，
∴x1＝﹣x2，
∴y1=k−x2=−y2，
∴y1+y2＝0，
∴A、B关于原点对称，故C说法正确；
D．若k＞0，则反比例函数y=kx的图象在第一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∴当x1＞x2＞0时，y2＞y1＞0，故D说法正确；
所以选：B．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．22C．3D．10
试题分析：过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF＝90°，根据正方形的性质可得AB＝CD＝4，∠B＝90°，根据旋转的性质可得EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，从而可证△EBF≌△FHG，进而可得BF＝GH＝1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在CD边上时，DG的值最小，进行计算即可解答．
答案详解：解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3，
∴DG的最小值为3，
所以选：C．
6．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO．若AB＝2，AO＝32，则AC的长等于（ ）
A．122B．8C．4+32D．2+32
试题分析：根据图形的性质可将图形补全为外弦图，可得到点O是两个正方形的中心，再根据等腰直角三角形的性质可得结论；
答案详解：解：如图，过点F作FG⊥BA交BA的延长线于点G，过点E作EH⊥FG于点H，过点E作ED⊥AC于点D，连接OD，
则有AB＝CD＝2，且△OAD是等腰直角三角形，
∵AO＝32，
∴AD=2OA＝6，
∴AC＝AD+CD＝8．
所以选：B．
7．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：
①若延长DE，则DE⊥BF； ②若连接AM，则AM∥FB； ③连接FE，当F、E、M三点共线时，AE＝42−4；④连接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝43−4；其中正确有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
试题分析：①连接AM，延长DE交BF于J，由旋转的性质可得∠ABF＝∠ADE，∠BAF＝∠DAE＝90°，由余角的性质可得∠BJE＝90°，可得DJ⊥BF，故①正确；
②由折叠的性质可得DE⊥AM，可得AM∥BF，故②正确；
③当F、E、M共线时，易证∠DEA＝∠DEM＝67.5°，在MD上取一点J，使得ME＝MJ，连接EJ，设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD=2x，构建方程即可解决问题；
④连接EC，CF，只有EF＝CE，设AE＝AF＝m，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
答案详解：解：①如图1中，连接AM，延长DE交BF于J．
由旋转的性质得：△BAF≌△DAE，
∴∠ABF＝∠ADE，∠BAF＝∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠AED＝90°，∠AED＝∠BEJ，
∴∠BEJ+∠EBJ＝90°，
∴∠BJE＝90°，
∴DJ⊥BF，故①正确；
②由翻折可知：EA＝EM，DM＝DA，∠AED＝∠MED，
∴DE垂直平分线段AM，
∴DE⊥AM，
∴AM∥BF，故②正确，
③如图2中，当F、E、M共线时，
∵AE＝AF，∠BAF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴∠DEA＝∠DEM＝67.5°，
在MD上取一点J，使得ME＝MJ，连接EJ，
∵∠MEJ＝∠MJE＝45°，
∴∠JED＝∠JDE=12∠MJE＝22.5°，
∴EJ＝JD，
设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD=2x，
则有x+2x＝4，
∴x＝42−4，
∴AE＝42−4，故③正确，
③如图3中，连接EC，CF，
∵∠AEF＝45°，∠AED＝67.5°，
∴∠DEF＝45°+67.5°＝112.5°，
∴∠CEF＞90°，
∵△FEC是等腰三角形，
∴EF＝CE，
设AE＝AF＝m，
则有：2m2＝42+（4﹣m）2，
∴m＝43−4或﹣43−4（舍弃），
∴AE＝43−4，故④正确；
所以选：A．
8．如图，点A是函数y=2x图象上的任意一点，点B、C在反比例函数y=kx的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k的值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
试题分析：由反比例函数系数k的几何意义可得S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，利用反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为a，用代数式表示MN、AM，列方程求解即可．
答案详解：解：如图，延长CA交x轴于点N，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，
∵S阴影部分＝S△CON+S矩形ABMN﹣S△BOM，而S△CON＝S△BOM=12|k|，
∴S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，
设ON＝a，
∵点A在反比例函数y=2x的图象上，
∴AN=2a=BM，
又∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴OM=ak2，
∴MN=ak2−a，
由S阴影部分＝S矩形ABMN＝4得，
（ak2−a）×2a=4，
即k﹣2＝4，
∴k＝6，
所以选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B（10，8），点D在BC边上，连接AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（ ）
A．20B．30C．40D．48
试题分析：根据翻折变换的性质，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后设点D的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．
答案详解：解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（10，8），
∴AE＝AB＝10，DE＝BD，
∵AO＝8，AE＝10，
∴OE=AE2−OA2=6，CE＝10﹣6＝4，
设点D的坐标是（10，b），
则CD＝b，DE＝8﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+42＝（8﹣b）2，
解得b＝3，
∴点D的坐标是（10，3），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝10×3＝30，
所以选：B．
10．若x2+x﹣1＝0，则x3+2x−1x(x−1)的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
试题分析：将x2+x﹣1＝0变形得x2＝1﹣x，代入所求式中，整体代入若干次，化简可得答案．
答案详解：解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣x，
∴x3+2x−1x(x−1)
=x(1−x)+2x−11−x−x
=3x−x2−11−2x
=3x−1−(1−x)1−2x
=4x−21−2x
＝﹣2．
所以选：A．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）
A．AD＝3B．AD＝4C．AD＝5D．AD＝6
试题分析：先证四边形PMEN是平行四边形，当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，设DP＝x，CP＝10﹣x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可．
答案详解：解：方法1：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
所以选：D．
方法2：
连接MN，PE，如图所示：
由方法1得：四边形PMEN是平行四边形，
∵M、N分别是PA、PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN=12AB＝5，
若四边形PMEN是矩形，则PE＝MN＝5，
而当AD＝6时，PE不可能等于5，
∴当AD＝6时，四边形PMEN不可能为矩形，
所以选：D．
12．若关于x的分式方程x−a3x−6+x+1x−2=1的解为非负数，且关于y的不等式组y+6≤2(y+2)3y−a3＜1有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．19B．22C．30D．33
试题分析：求出分式方程的解，根据解为非负数可得a的取值范围，再根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据a为整数进行计算即可．
答案详解：解：解关于x的分式方程x−a3x−6+x+1x−2=1得，
x＝a﹣9，
由于方程的解为非负数，而x＝2是增根，
∴a﹣9≥0且a﹣9≠2，
即a≥9且a≠11，
不等式①的解集为y≥2，
不等式②的解集为y＜a+33，
由于2≤y＜a+33的整数解只有3个，
∴4＜a+33≤5，
解得9＜a≤12，
又∵a为整数，且a≠11，
∴a＝10，12，
∴所有满足条件的整数a的值之和为22，
所以选：B．
13．如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点P运动时△PAD的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系如图2，则a的值为（ ）
A．354B．253C．192D．9
试题分析：过点C作CE⊥AD，再根据图象的三角形的面积可得CE＝8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a即可．
答案详解：解：过点C作CE⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴点P在边BC上运动时，y的值不变，
∴AD＝BC＝10+a﹣10＝a，
即菱形的边长是a，
∴12AD•CE＝4a，即CE＝8，
当点P在AC上运动时，y逐渐增大，
∴AC＝10，
∴AE=AC2−CE2=102−82=6，
在Rt△DCE中，DC＝a，DE＝a﹣6，CE＝8，
∴a2＝82+（a﹣6）2，
解得：a=253．
所以选：B．
14．函数y=1x−2+3的图象可以由y=1x的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据所获信息判断，下列直线中与函数y=1x−1−2的图象没有公共点的是（ ）
A．经过点（0，2）且平行于x轴的直线
B．经过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线
C．经过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线
D．经过点（1，0）且平行于y轴的直线
试题分析：根据题意可以知道平移后的反比例函数不会与直线x＝1、直线y＝﹣2相交，判断出答案即可．
答案详解：解：根据题意可知，如下图所示，图1根据题意平移后得到图2，
函数y=1x−1−2的图象是函数y=1x的图象向右平移1个单位，在向下平移2个单位得到的，
∴由反比例函数的图象的性质和平移的定义可知，函数y=1x−1−2的图象与直线x＝1、直线y＝﹣2不会相交．
所以选：D．
15．如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（ ）
A．35B．1255C．42D．532
试题分析：如图1，连接AF，由对称的性质可得AF＝CF，所以y＝EF+CF＝EF+AF，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，根据图2可计算BC＝5，如图3，作辅助线，构建直角三角形，计算AE的长可解答．
答案详解：解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1，
∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∴y＝EF+CF＝EF+AF，
当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，
如图2，当x＝0时，y＝6，
设BE＝a，则CE＝4a，
∴y＝a+5a＝6，
∴a＝1，
∴BC＝5，
由图2知：BD＝6，
如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BG=12BD＝3，
由勾股定理得：CG＝4，
∴△ECG的面积=45S△BCG=12•CG•EH，
∴45×12×3×4=12×4×EH，
∴EH=125，
∴CH=CE2−EH2=42−(125)2=165，
∴AH＝AC﹣CH＝8−165=245，
∴AE=AH2+EH2=(245)2+(125)2=1255，
即图象最低点的纵坐标是1255．
所以选：B．
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝22，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，△BEF的面积是2.5，下列选项正确的是（ ）
①EF＝2；
②S△ABE＝S△BCF；
③四边形BEDF的面积是4；
④D到EF的距离为0.5．
A．①③B．①④C．②③D．②④
试题分析：连接AC、BD，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理求出EF；根据三角形的面积公式判断SABE与S△BCF的关系；根据三角形中位线定理、三角形的面积公式求出四边形BEDF的面积；根据三角形的面积公式求出D到EF的距离，判断即可．
答案详解：解：连接AC、BD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝22，
则AC=AB2+BC2=4，
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴EF是△DAC的中位线，
∴EF=12AC＝2，①正确；
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴SABE=12S△ABD，S△BCF=12S△BCD，
∵S△ABD与S△BCD的大小不确定，
∴SABE与S△BCF不一定相等，②错误；
∵S△ABC=12×22×22=4，S四边形ABCD＝6，
∴S△ADC＝2，
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴S△DEF=12，
∵S△BEF＝2.5，
∴S四边形BEDF＝3，③错误；
∵S△DEF=12，EF＝2，
∴D到EF的距离为0.5，④正确；
所以选：B．
17．已知△ABC中，AB＝1，BC＝4，以AC为边长作等边三角形ACD，连接BD，则BD的长不可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
试题分析：以AB为边作等边△ABE，根据题意得到△DAB≌△CAE （SAS），根据全等三角形的性质得出BD＝CE，据此即可得解．
答案详解：解：如图，以AB为边作等边△ABE，
∵△ACD，△ABE是等边三角形，
∴AD＝AC，AB＝AE＝BE＝1，∠EAB＝∠DAC＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD，
在△DAB和△CAE中，
AB=AE∠BAD=∠EACAD=AC，
∴△DAB≌△CAE （SAS），
∴BD＝CE，
若点E，点B，点C不共线时，EC＜BC+BE；若点E，点B，点C共线时，EC＝BC+BE，
∴EC≤BC+BE＝5，
∴EC的最大值为5，
即BD的最大值为5，BD的长不可能为6，
所以选：D．
18．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，DE＝1，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．有下列结论：
①AB＝BE；
②BG平分∠EBF；
③△BFG的面积是四边形EFBC面积的14；
④BE=2+2．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
试题分析：由角的数量关系可求∠AEB＝67.5°＝∠EAF，可得AB＝BE，故①正确；计算出∠EBG＝22.5°，得出∠EBG＝∠FBG，故②正确；过点G作GM⊥BE于点M，由角平分线的性质可得GF＝GM，根据直角三角形的斜边大于直角边得出GE＞GM＝GF，从而根据三角形的面积公式得出结论，得到③错误；连接AG，根据等腰直角三角形的性质可知AG=2，推导得出AG＝EG=2，从而EF＝EG+FG=2+1，再由BE＝BF+AF，判断出④正确．
答案详解：解：由旋转的性质可得：EF＝FB，∠EFB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AB，
∴∠ABC＝∠C＝∠EFB＝90°，
∴四边形EFBC是矩形，
又∵EF＝BF，
∴矩形EFBC是正方形，
∴∠BEF＝∠EBF＝45°，
∵∠DAE＝∠AEF＝22.5°，
∴∠AEB＝∠FEB+∠AEF＝67.5°＝90°﹣22.5°＝∠EAF，
∴AB＝BE，
故①正确；
∵∠EBF＝45°，∠FBG＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，
∴∠EBG＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠EBG＝∠FBG，
∴BG平分∠EBF，
故②正确；
过点G作GM⊥BE于点M，如图1，
∵BG平分∠EBF，
∴GF＝GM，
在Rt△GME中，GE＞GM＝GF，
∴S△BFG≠12S△BFE，
∵S△BFE=12S四边形EFBC，
∴S△BFG≠14S四边形的EFBC，
故③错误；
连接AG，如图1，
∵∠AFG＝90°，DE＝AF＝FG＝1，
∴∠GAF＝45°，AG=2，
∴∠EAG＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠AEG＝∠GAE，
∴EG＝AG=2，
∴EF＝EG+FG=2+1，
又∵EF＝BF，AB＝BE，
∴BE＝BF+AF=2+1+1=2+2，
故④正确，
∴正确的是：①②④，
所以选：C．
19．如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，使点B'落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为（ ）
A．98B．76C．87D．1
试题分析：由相似三角形的性质可求DD'的长，通过证明△CEB′∽△C'ED，可求解．
答案详解：解：如图，连接DD'，
由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，
∴△BAB′∽△DAD′，
∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，
∴DD′=43，
又∵∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，∠AD′D＝∠B＝∠AB′B，
∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′，D，C′在同一条直线上，
∴DC′=53，
又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，
∴△CEB′∽△C'ED，
∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：53，
设CE＝x，B'E＝y，
∴x：（4﹣y）＝y：（3﹣x）＝3：53，
∴x=98，
∴CE=98，
所以选：A．
20．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的长的最大值为（ ）
A．8B．9C．4+22D．4+32
试题分析：取AB中点P，连接OP、CP，根据直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理求出PC，根据三角形的三边关系解答即可．
答案详解：解：取AB中点P，连接OP、CP，
则OP＝AP=12AB＝4，
由勾股定理得，CP=AC2+AP2=5，
利用三角形两边之和大于点三边可知：OC≤OP+PC＝9，OC的长的最大值为9，
所以选：B．
21．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=kx（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，若四边形ACBD的面积等于23，则k的值为（ ）
A．4 3B．23C．4D．3
试题分析：设A（a，ka），可求出D（2a，k2a），由于对角线垂直，所以面积＝对角线乘积的一半即可．
答案详解：解：设A（a，ka），可求出D（2a，k2a），
∵AB⊥CD，
∴S四边形ACBD=12AB•CD=12×2a×ka=23，
解得k＝23．
所以选：B．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A′EFD′，边A′E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为（ ）
A．18﹣37B．92+37C．12−372D．6+372
试题分析：在EA上截取EM＝EG，连接OM，证明△MOE≌△GOE，所以OM＝OG，即可得OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，且OM＝4＝OG，再过点O作OH⊥BC，得OH＝3，又因为OC＝5，就可以根据勾股定理计算GH、HC的长，从而计算出最小面积．
答案详解：解：在EA上截取EM＝EG，连接OM，
由折叠得：∠MEO＝∠GEO，
又∵EO＝EO，
∴△MOE≌△GOE，
∴OM＝OG，
∴OM最短时，OG也就最短，
而当OM⊥AB时，OM最短，
此时，∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OM=12BC＝4＝OG，
即OG的最小值是4，
在△OGC中，∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OC长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，∠BCO度数也不变，是定值，
∴当OG＝4最小值时，△OGC面积最小．
过点O作OH⊥BC，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OH=12AB＝3，
∴Rt△OGH中，GH=OG2−OH2=42−32=7，
Rt△OHC中，HC=OC2−OH2=52−32=4，
∴GC＝GH+HC=7+4，
∴△OGC面积的最小值是12×GC×OH=12×（7+4）×3=327+6．
所以选：D．
23．点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
试题分析：过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，又四边形ABCD为正方形，可得出∠A为直角，进而得到一对角相等，由旋转可得∠DPE为直角，根据平角的定义得到一对角互余，在直角三角形ADP中，根据两锐角互余得到一对角互余，根据等角的余角相等可得出一对角相等，再由PD＝PE，利用AAS可得出三角形ADP与三角形PEF全等，根据确定三角形的对应边相等可得出AD＝PF，AP＝EF，再由正方形的边长相等得到AD＝AB，由AP+PB＝PB+BF，得到AP＝BF，等量代换可得出EF＝BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．
答案详解：解：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
由旋转可得：PD＝PE，∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠EPF＝90°，
∴∠ADP＝∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵∠ADP=∠FPE∠A=∠F=90°PD=EP，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP＝EF，AD＝PF，
又∵AD＝AB，
∴PF＝AB，即AP+PB＝PB+BF，
∴AP＝BF，
∴BF＝EF，又∠F＝90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°，又∠CBF＝90°，
则∠CBE＝45°．
所以选：C．
24．如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线y=kx（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E．过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在点C′处（点C′在矩形OABC内部），且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，3），则k的值为（ ）
A．274B．272C．392D．394
试题分析：首先证明点E是线段AB的中点，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．在Rt△BEC′中，根据BC′2＝BE2+EC′2，构建方程求出m即可解决问题；
答案详解：解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．
∵CD＝BD，
∴S△CDO=k2=14S矩形ABCD，
∵S△AOE=k2=S△CDO=14S矩形ABCD，
∴AE＝EB，
∵C′（2，3），
∴AE＝EB＝3，
在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，
∴m2＝32+（m﹣2）2，
∴m=134，
∴E（134，3），
∵点E在y=kx上，
∴k=394，
所以选：D．
25．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=6x（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP是（ ）
A．6B．3C．6D．12
试题分析：先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB＝∠CAD＝60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP＝S△AOP，故S△OBP＝S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
答案详解：解：如图：
∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB＝∠CAD＝60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP＝S△AOP，
∴S△OBP＝S△AOB，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABE=12S△AOB，
∵点B在反比例函数y=6x的图象上，
∴S△OBE=12×6＝3，
∴S△OBP＝S△AOB＝2S△OBE＝6．
所以选：C．
26．如图，正方形ABCD的边长为4，∠BCM＝30°，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（ ）
A．42−4B．22−2C．26−23D．26−3
试题分析：如图，连接BD，在BD上截取BG，使得BG＝BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H．证明△CBE≌△GBF（SAS），推出∠BCE＝∠BGF＝30°，推出点F在直线GF上运动，当点F与H重合时，DF的值最小，作出DH即可解决问题．
答案详解：解：如图，连接BD，在BD上截取BG，使得BG＝BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD＝45°，CD＝CB＝4，∠DCB＝90°，
∴BD＝42，BG＝BC＝4，
∴DG＝BD﹣BG＝42−4，
∵∠CBG＝∠EBF＝45°，
∴∠CBE＝∠GBF，
在△CBE和△GBF中，
CB=GB∠CBE=∠GBFBE=BF，
∴△CBE≌△GBF（SAS），
∴∠BCE＝∠BGF＝30°，
∴点F在直线GF上运动，当点F与H重合时，DF的值最小，
∵DH⊥FH，∠DGH＝∠BGF＝30°
∴DH=12DG＝22−2，
∴DF的最小值为22−2，
所以选：B．
27．如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小B．一直减小后增大
C．一直不变D．先增大后减小
试题分析：根据题意∠DFE+∠EPC＝∠DPC，作PH⊥BC交BC的延长线于H，证明CP是∠DCH的角平分线即可解决问题．
答案详解：解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，
∠DAF＝∠ABE＝∠DCB＝∠DCH＝90°，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ADF≌△BAE（ASA），
∴DF＝AE，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴DF＝PE，∠DFE＝∠DPE，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠PEH＝90°，
∴∠BAE＝∠PEH，
∵∠ABE＝∠H＝90°，AE＝EP．
∴△ABE≌△EHP（AAS），
∴PH＝BE，AB＝EH＝BC，
∴BE＝CH＝PH，
∴∠PCH＝45°，
∵∠DCH＝90°，
∴∠DCP＝∠PCH，
∴CP是∠DCH的角平分线，
∴点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线，
∵∠DFE+∠EPC＝∠DPE+∠EPC＝∠DPC，
观察图象可得，∠DPC一直减小，
所以选：A．
28．如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝13，BC＝10，GF＝5，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．48B．36C．30D．24
试题分析：连接EO，EG，OF，依据EO是△ABC的中位线，即可得出EO∥BC，EO=12BC＝5，进而得到四边形EOFG是平行四边形，据此可得S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，求得△ABO的面积即可得出结论．
答案详解：解：如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，
∴O是AC的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BC，EO=12BC＝5，
又∵GF＝5，
∴EO＝GF，
∴四边形EOFG是平行四边形，
∴S△EOP+S△FGP=12S四边形EOFG＝S△EOG，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB，
∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，
∵AC＝AB＝13，BC＝10，
∴等腰△ABC中BC边上的高为132−52=12，
∴S△ABC=12×10×12=60，
∵O是AC的中点，
∴S△ABO=12S△ABC=12×60＝30，
∴阴影部分的面积为30，
所以选：C．
29．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF，以下结论中：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF的最小值为2．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
试题分析：①证明△ADP≌△CDP，则AP＝PC，根据矩形对角线相等得PC＝EF，即可判断；
②证明△AGP≌△FPE（SAS），得到∠BAP＝∠PFE，进而求解；
③当AP⊥BD时，即AP=12BD＝22时，EF的最小值等于22，即可判断．
答案详解：解：①连接PC，EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故①正确；
②延长FP与AB交于点M，延长AP与EF交于点H，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴△AMP≌△FPE（HL），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠BAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故②正确；
③由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP=12BD＝22时，EF的最小值等于22；
故③不正确；
综上，①②正确．
所以选：A．
30．平面直角坐标系中，菱形ABCD如图所示，OA＝3，点D在线段AB的垂直平分线上，若菱形ABCD绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒45°，则第2022秒时点D的对应坐标为（ ）
A．（23，3）B．（﹣23，﹣3）C．（3，﹣23）D．（﹣3，23）
试题分析：根据菱形的性质和垂直平分线的性质，可以得到点D的坐标，然后根据旋转的性质，可以得到点D在第2022秒对应的点D在第四象限，然后即可写出点D对应的坐标．
答案详解：解：作DE⊥BC于点E，如右图所示，
由题意可得，BE＝EC＝OB，
∵OA＝3，∠AOB＝90°，AB＝2OB，
∴OB=3，AB＝23，
∴点D的坐标为（23，3），
∵360°÷45°＝8，2022÷8＝252…6，
∴第2022秒时点D的对应坐标为在第四象限，此时点D对应的坐标为（3，﹣23），
所以选：C．
31．关于x的方程（x﹣2）（x+1）＝p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根D．无实数根
试题分析：先计算根的判别式的值得到Δ＞0，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为x1，x2，利用根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，根据有理数的性质得到x1、x2的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．
答案详解：解：方程化为一般式为x2﹣x﹣2﹣p2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣2﹣p2）＝4p2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，
设方程的两个分别为x1，x2，
根据根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，
∴方程有一个正根和一个负根．
所以选：C．
32．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是42，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
试题分析：①根据旋转的性质得△DEF为等腰直角三角形，进而得到EF与DE的数量关系，便可判定①的正误；
②证明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，再在直角△CEF中由勾股定理得EF2＝CF2+CE2，进而得EF2＝AE2+CE2，便可判断②的正误；
③由∠DCF＝45°恒成立，所以当PF⊥CF时，PF取最小值，求出此时的PF便可判断③的正误；
④先求得AE+CE＝AC=2AD=82，再根据（（AE﹣CE）2≥0求得AE•CE≤32，求得AE•CE的最大值为32，进而求得△CFE的面积最大值，便可判断④的正误．
答案详解：解：①∵由旋转知，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴EF=2DE，
故①正确；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°，
∴EF2＝CF2+CE2，
∴EF2＝AE2+CE2，
故②正确；
③∵CP＝3PD．
∴PC=34CD＝6，
当PF⊥CF时，PF取最小值，如图，
∵∠DCF＝45°，
∴PF＝CF=22CP＝32，
故③错误；
④∵∠ECF＝90°，
∴S△CEF=12CE⋅CF=12CE⋅AE，
∵AE+CE＝AC=2AD=82，
∴（AE﹣CE）2＝（AE+CE）2﹣4AE•CE＝128﹣4AE•CE≥0，
∴AE•CE≤32，
∴AE•CE的最大值为32，
∴△CFE的面积最大是12×32＝16，
故④正确；
所以选：A．
33．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．32−3
试题分析：连接AC、AF，证明△ACF为等边三角形，求得AC便可得出结果．
答案详解：解：连接AC、AF，
由旋转性质得，AC＝AF，∠CAF＝60°，
∴△ACF为等边三角形，
∴AC＝CF，
∵AC=2AB=2，
∴CF=2，
所以选：B．
34．若a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2=11−a1，a3=11−a2，…，an=11−an−1，则a2022等于（ ）
A．xB．x+1C．−1xD．xx+1
试题分析：分别求出a2=−1x，a3=xx+1，a4＝x+1，a5=−1x，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律得出答案即可．
答案详解：解：∵a1＝x+1，
∴a2=11−a1=11−(x+1)=−1x，
∴a3=11−a2=11−(−1x)=xx+1，
∴a4=11−a3=11−xx+1=x+1，
∴该数列每三个数就循环一次，
∵2022÷3＝674，
∴a2022=xx+1，
所以选：D．
35．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则EMFN的值是（ ）
A．3B．3−1C．2−3D．3−3
试题分析：设正方形纸片ABCD的边长为2a，由折叠的性质与正方形的性质可得AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，由勾股定理可求FN的长，进而可求FM的长，设AE＝EF＝x，再利用勾股定理可求x，得到EM的长，代入EMFN，计算即可．
答案详解：解：设正方形纸片ABCD的边长为2a．
由题意可知：AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，
∴FN=DF2−DN2=(2a)2−a2=3a，
∴FM＝MN﹣FN＝（2−3）a．
设AE＝EF＝x，则EM＝AM﹣AE＝a﹣x．
在Rt△EMF中，∵EM2+MF2＝EF2，
∴（a﹣x）2+[（2−3）a]2＝x2，
∴x＝（4﹣23）a，
∴EM＝a﹣（4﹣23）a＝（23−3）a，
∴EMFN=(23−3)a3a=2−3．
所以选：C．
36．疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为（ ）
A．7分钟B．8分钟C．9分钟D．10分钟
试题分析：分0≤x≤6和x＞6两种情况，利用待定系数法分别求出对应的一次函数和反比例函数解析式，在两个函数解析式中求出y＝8时，x的值，从而得到有效消毒时间．
答案详解：解：当0≤x≤6时，设y＝mx，
将点（6，16）代入，得：16＝6m，
解得m=83，
∴y=83x；
当x＞6时，设y=nx，
将点（6，16）代入，得：16=n6，
解得：n＝96，
∴y=96x；
综上，y=83x(0≤x≤6)96x(x＞6)；
当0≤x≤6时，若y＝8，则83x＝8，
解得x＝3；
当x＞6时，若y＝8，则96x=8，
解得x＝12；
∴12﹣3＝9（分钟），
故室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为9分钟．
所以选：C．
1．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．23+2B．5−33C．3−3D．3+1
试题分析：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG＝90°，AB＝2，∠ABC＝60°，运用解直角三角形可得AG＝23，DG＝2+23，再求得∠G＝30°，根据直角三角形性质得出答案．
方法二：过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH=3，再证明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH=3，即可求得答案．
答案详解：解：如图，延长DA、BC交于点G，
∵四边形ABED是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝2，∠ABC＝60°，
∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝23，
∴DG＝AD+AG＝2+23，
∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，
∴DF=12DG=12×（2+23）＝1+3，
所以选D．
2．已知下列命题
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③一组对边平行且两条对角线相等的四边形是矩形；
④两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
其中正确的命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
试题分析：（1）本题根据平行四边形的判定方法即可得出结论．
（2）本题根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（3）本题根据矩形的判定方法得出结论．
（4）本题根据菱形的判定方法得出结论．
答案详解：解：（1）∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
∴故本选项正确．
（2）∵两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，
∴故本选项错误．
（3）∵一组对边平行且两条对角线相等的四边形可能是等腰梯形．
∴故本选项错误．
④∵两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
∴故本选项正确．
所以选：C．
3．如图，点A是反比例函数y=4x图象上的一动点，连接AO并延长交图象的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，则m，n满足（ ）
A．mn＝﹣2B．mn＝﹣4C．n＝﹣2mD．n＝﹣4m
试题分析：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质得出OC＝OA，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质，可得出A（n，﹣m），进而得到﹣mn＝4，进一步得到mn＝﹣4．
答案详解：解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由直线AB与反比例函数y=4x的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO．
又∵AC⊥BC，AC＝BC，
∴CO⊥AB，CO=12AB＝OA，
∵∠AOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵点C（m，n），
∴CF＝﹣m，OF＝n，
∴OE＝n，AE＝﹣m，
∴A（n，﹣m），
∵点A是反比例函数y=4x图象上，
∴﹣mn＝4，即mn＝﹣4，
所以选：B．
4．在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），则下列说法错误的是（ ）
A．若x1x2＜0，则y1y2＜0
B．若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则k＜0
C．若x1+x2＝0，则A、B关于原点对称
D．若k＞0，x1＞x2＞0，则y2＞y1＞0
试题分析：根据反比例函数的性质判断即可．
答案详解：解：A．∵x1x2＜0，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）在第一、三象限或第二、四象限，
∴y1y2＜0，故A说法正确；
B．∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∴x1﹣x2＞0，y1﹣y2＜0或x1﹣x2＜0，y1﹣y2＞0，
∴x1＞x2，则y1＜y2或x1＜x2，则y1＞y2，
∴反比例函数y=kx的图象在第一、三象限，
∴k＞0，故B说法错误；
C．∵x1+x2＝0，
∴x1＝﹣x2，
∴y1=k−x2=−y2，
∴y1+y2＝0，
∴A、B关于原点对称，故C说法正确；
D．若k＞0，则反比例函数y=kx的图象在第一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∴当x1＞x2＞0时，y2＞y1＞0，故D说法正确；
所以选：B．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．22C．3D．10
试题分析：过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF＝90°，根据正方形的性质可得AB＝CD＝4，∠B＝90°，根据旋转的性质可得EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，从而可证△EBF≌△FHG，进而可得BF＝GH＝1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在CD边上时，DG的值最小，进行计算即可解答．
答案详解：解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3，
∴DG的最小值为3，
所以选：C．
6．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO．若AB＝2，AO＝32，则AC的长等于（ ）
A．122B．8C．4+32D．2+32
试题分析：根据图形的性质可将图形补全为外弦图，可得到点O是两个正方形的中心，再根据等腰直角三角形的性质可得结论；
答案详解：解：如图，过点F作FG⊥BA交BA的延长线于点G，过点E作EH⊥FG于点H，过点E作ED⊥AC于点D，连接OD，
则有AB＝CD＝2，且△OAD是等腰直角三角形，
∵AO＝32，
∴AD=2OA＝6，
∴AC＝AD+CD＝8．
所以选：B．
7．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：
①若延长DE，则DE⊥BF； ②若连接AM，则AM∥FB； ③连接FE，当F、E、M三点共线时，AE＝42−4；④连接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝43−4；其中正确有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
试题分析：①连接AM，延长DE交BF于J，由旋转的性质可得∠ABF＝∠ADE，∠BAF＝∠DAE＝90°，由余角的性质可得∠BJE＝90°，可得DJ⊥BF，故①正确；
②由折叠的性质可得DE⊥AM，可得AM∥BF，故②正确；
③当F、E、M共线时，易证∠DEA＝∠DEM＝67.5°，在MD上取一点J，使得ME＝MJ，连接EJ，设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD=2x，构建方程即可解决问题；
④连接EC，CF，只有EF＝CE，设AE＝AF＝m，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
答案详解：解：①如图1中，连接AM，延长DE交BF于J．
由旋转的性质得：△BAF≌△DAE，
∴∠ABF＝∠ADE，∠BAF＝∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠AED＝90°，∠AED＝∠BEJ，
∴∠BEJ+∠EBJ＝90°，
∴∠BJE＝90°，
∴DJ⊥BF，故①正确；
②由翻折可知：EA＝EM，DM＝DA，∠AED＝∠MED，
∴DE垂直平分线段AM，
∴DE⊥AM，
∴AM∥BF，故②正确，
③如图2中，当F、E、M共线时，
∵AE＝AF，∠BAF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴∠DEA＝∠DEM＝67.5°，
在MD上取一点J，使得ME＝MJ，连接EJ，
∵∠MEJ＝∠MJE＝45°，
∴∠JED＝∠JDE=12∠MJE＝22.5°，
∴EJ＝JD，
设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD=2x，
则有x+2x＝4，
∴x＝42−4，
∴AE＝42−4，故③正确，
③如图3中，连接EC，CF，
∵∠AEF＝45°，∠AED＝67.5°，
∴∠DEF＝45°+67.5°＝112.5°，
∴∠CEF＞90°，
∵△FEC是等腰三角形，
∴EF＝CE，
设AE＝AF＝m，
则有：2m2＝42+（4﹣m）2，
∴m＝43−4或﹣43−4（舍弃），
∴AE＝43−4，故④正确；
所以选：A．
8．如图，点A是函数y=2x图象上的任意一点，点B、C在反比例函数y=kx的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k的值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
试题分析：由反比例函数系数k的几何意义可得S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，利用反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为a，用代数式表示MN、AM，列方程求解即可．
答案详解：解：如图，延长CA交x轴于点N，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，
∵S阴影部分＝S△CON+S矩形ABMN﹣S△BOM，而S△CON＝S△BOM=12|k|，
∴S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，
设ON＝a，
∵点A在反比例函数y=2x的图象上，
∴AN=2a=BM，
又∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴OM=ak2，
∴MN=ak2−a，
由S阴影部分＝S矩形ABMN＝4得，
（ak2−a）×2a=4，
即k﹣2＝4，
∴k＝6，
所以选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B（10，8），点D在BC边上，连接AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（ ）
A．20B．30C．40D．48
试题分析：根据翻折变换的性质，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后设点D的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．
答案详解：解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（10，8），
∴AE＝AB＝10，DE＝BD，
∵AO＝8，AE＝10，
∴OE=AE2−OA2=6，CE＝10﹣6＝4，
设点D的坐标是（10，b），
则CD＝b，DE＝8﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+42＝（8﹣b）2，
解得b＝3，
∴点D的坐标是（10，3），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝10×3＝30，
所以选：B．
10．若x2+x﹣1＝0，则x3+2x−1x(x−1)的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
试题分析：将x2+x﹣1＝0变形得x2＝1﹣x，代入所求式中，整体代入若干次，化简可得答案．
答案详解：解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣x，
∴x3+2x−1x(x−1)
=x(1−x)+2x−11−x−x
=3x−x2−11−2x
=3x−1−(1−x)1−2x
=4x−21−2x
＝﹣2．
所以选：A．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）
A．AD＝3B．AD＝4C．AD＝5D．AD＝6
试题分析：先证四边形PMEN是平行四边形，当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，设DP＝x，CP＝10﹣x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可．
答案详解：解：方法1：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
所以选：D．
方法2：
连接MN，PE，如图所示：
由方法1得：四边形PMEN是平行四边形，
∵M、N分别是PA、PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN=12AB＝5，
若四边形PMEN是矩形，则PE＝MN＝5，
而当AD＝6时，PE不可能等于5，
∴当AD＝6时，四边形PMEN不可能为矩形，
所以选：D．
12．若关于x的分式方程x−a3x−6+x+1x−2=1的解为非负数，且关于y的不等式组y+6≤2(y+2)3y−a3＜1有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．19B．22C．30D．33
试题分析：求出分式方程的解，根据解为非负数可得a的取值范围，再根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据a为整数进行计算即可．
答案详解：解：解关于x的分式方程x−a3x−6+x+1x−2=1得，
x＝a﹣9，
由于方程的解为非负数，而x＝2是增根，
∴a﹣9≥0且a﹣9≠2，
即a≥9且a≠11，
不等式①的解集为y≥2，
不等式②的解集为y＜a+33，
由于2≤y＜a+33的整数解只有3个，
∴4＜a+33≤5，
解得9＜a≤12，
又∵a为整数，且a≠11，
∴a＝10，12，
∴所有满足条件的整数a的值之和为22，
所以选：B．
13．如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点P运动时△PAD的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系如图2，则a的值为（ ）
A．354B．253C．192D．9
试题分析：过点C作CE⊥AD，再根据图象的三角形的面积可得CE＝8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a即可．
答案详解：解：过点C作CE⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴点P在边BC上运动时，y的值不变，
∴AD＝BC＝10+a﹣10＝a，
即菱形的边长是a，
∴12AD•CE＝4a，即CE＝8，
当点P在AC上运动时，y逐渐增大，
∴AC＝10，
∴AE=AC2−CE2=102−82=6，
在Rt△DCE中，DC＝a，DE＝a﹣6，CE＝8，
∴a2＝82+（a﹣6）2，
解得：a=253．
所以选：B．
14．函数y=1x−2+3的图象可以由y=1x的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据所获信息判断，下列直线中与函数y=1x−1−2的图象没有公共点的是（ ）
A．经过点（0，2）且平行于x轴的直线
B．经过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线
C．经过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线
D．经过点（1，0）且平行于y轴的直线
试题分析：根据题意可以知道平移后的反比例函数不会与直线x＝1、直线y＝﹣2相交，判断出答案即可．
答案详解：解：根据题意可知，如下图所示，图1根据题意平移后得到图2，
函数y=1x−1−2的图象是函数y=1x的图象向右平移1个单位，在向下平移2个单位得到的，
∴由反比例函数的图象的性质和平移的定义可知，函数y=1x−1−2的图象与直线x＝1、直线y＝﹣2不会相交．
所以选：D．
15．如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（ ）
A．35B．1255C．42D．532
试题分析：如图1，连接AF，由对称的性质可得AF＝CF，所以y＝EF+CF＝EF+AF，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，根据图2可计算BC＝5，如图3，作辅助线，构建直角三角形，计算AE的长可解答．
答案详解：解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1，
∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∴y＝EF+CF＝EF+AF，
当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，
如图2，当x＝0时，y＝6，
设BE＝a，则CE＝4a，
∴y＝a+5a＝6，
∴a＝1，
∴BC＝5，
由图2知：BD＝6，
如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BG=12BD＝3，
由勾股定理得：CG＝4，
∴△ECG的面积=45S△BCG=12•CG•EH，
∴45×12×3×4=12×4×EH，
∴EH=125，
∴CH=CE2−EH2=42−(125)2=165，
∴AH＝AC﹣CH＝8−165=245，
∴AE=AH2+EH2=(245)2+(125)2=1255，
即图象最低点的纵坐标是1255．
所以选：B．
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝22，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，△BEF的面积是2.5，下列选项正确的是（ ）
①EF＝2；
②S△ABE＝S△BCF；
③四边形BEDF的面积是4；
④D到EF的距离为0.5．
A．①③B．①④C．②③D．②④
试题分析：连接AC、BD，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理求出EF；根据三角形的面积公式判断SABE与S△BCF的关系；根据三角形中位线定理、三角形的面积公式求出四边形BEDF的面积；根据三角形的面积公式求出D到EF的距离，判断即可．
答案详解：解：连接AC、BD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝22，
则AC=AB2+BC2=4，
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴EF是△DAC的中位线，
∴EF=12AC＝2，①正确；
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴SABE=12S△ABD，S△BCF=12S△BCD，
∵S△ABD与S△BCD的大小不确定，
∴SABE与S△BCF不一定相等，②错误；
∵S△ABC=12×22×22=4，S四边形ABCD＝6，
∴S△ADC＝2，
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴S△DEF=12，
∵S△BEF＝2.5，
∴S四边形BEDF＝3，③错误；
∵S△DEF=12，EF＝2，
∴D到EF的距离为0.5，④正确；
所以选：B．
17．已知△ABC中，AB＝1，BC＝4，以AC为边长作等边三角形ACD，连接BD，则BD的长不可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
试题分析：以AB为边作等边△ABE，根据题意得到△DAB≌△CAE （SAS），根据全等三角形的性质得出BD＝CE，据此即可得解．
答案详解：解：如图，以AB为边作等边△ABE，
∵△ACD，△ABE是等边三角形，
∴AD＝AC，AB＝AE＝BE＝1，∠EAB＝∠DAC＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD，
在△DAB和△CAE中，
AB=AE∠BAD=∠EACAD=AC，
∴△DAB≌△CAE （SAS），
∴BD＝CE，
若点E，点B，点C不共线时，EC＜BC+BE；若点E，点B，点C共线时，EC＝BC+BE，
∴EC≤BC+BE＝5，
∴EC的最大值为5，
即BD的最大值为5，BD的长不可能为6，
所以选：D．
18．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，DE＝1，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．有下列结论：
①AB＝BE；
②BG平分∠EBF；
③△BFG的面积是四边形EFBC面积的14；
④BE=2+2．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
试题分析：由角的数量关系可求∠AEB＝67.5°＝∠EAF，可得AB＝BE，故①正确；计算出∠EBG＝22.5°，得出∠EBG＝∠FBG，故②正确；过点G作GM⊥BE于点M，由角平分线的性质可得GF＝GM，根据直角三角形的斜边大于直角边得出GE＞GM＝GF，从而根据三角形的面积公式得出结论，得到③错误；连接AG，根据等腰直角三角形的性质可知AG=2，推导得出AG＝EG=2，从而EF＝EG+FG=2+1，再由BE＝BF+AF，判断出④正确．
答案详解：解：由旋转的性质可得：EF＝FB，∠EFB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AB，
∴∠ABC＝∠C＝∠EFB＝90°，
∴四边形EFBC是矩形，
又∵EF＝BF，
∴矩形EFBC是正方形，
∴∠BEF＝∠EBF＝45°，
∵∠DAE＝∠AEF＝22.5°，
∴∠AEB＝∠FEB+∠AEF＝67.5°＝90°﹣22.5°＝∠EAF，
∴AB＝BE，
故①正确；
∵∠EBF＝45°，∠FBG＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，
∴∠EBG＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠EBG＝∠FBG，
∴BG平分∠EBF，
故②正确；
过点G作GM⊥BE于点M，如图1，
∵BG平分∠EBF，
∴GF＝GM，
在Rt△GME中，GE＞GM＝GF，
∴S△BFG≠12S△BFE，
∵S△BFE=12S四边形EFBC，
∴S△BFG≠14S四边形的EFBC，
故③错误；
连接AG，如图1，
∵∠AFG＝90°，DE＝AF＝FG＝1，
∴∠GAF＝45°，AG=2，
∴∠EAG＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠AEG＝∠GAE，
∴EG＝AG=2，
∴EF＝EG+FG=2+1，
又∵EF＝BF，AB＝BE，
∴BE＝BF+AF=2+1+1=2+2，
故④正确，
∴正确的是：①②④，
所以选：C．
19．如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，使点B'落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为（ ）
A．98B．76C．87D．1
试题分析：由相似三角形的性质可求DD'的长，通过证明△CEB′∽△C'ED，可求解．
答案详解：解：如图，连接DD'，
由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，
∴△BAB′∽△DAD′，
∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，
∴DD′=43，
又∵∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，∠AD′D＝∠B＝∠AB′B，
∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′，D，C′在同一条直线上，
∴DC′=53，
又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，
∴△CEB′∽△C'ED，
∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：53，
设CE＝x，B'E＝y，
∴x：（4﹣y）＝y：（3﹣x）＝3：53，
∴x=98，
∴CE=98，
所以选：A．
20．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的长的最大值为（ ）
A．8B．9C．4+22D．4+32
试题分析：取AB中点P，连接OP、CP，根据直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理求出PC，根据三角形的三边关系解答即可．
答案详解：解：取AB中点P，连接OP、CP，
则OP＝AP=12AB＝4，
由勾股定理得，CP=AC2+AP2=5，
利用三角形两边之和大于点三边可知：OC≤OP+PC＝9，OC的长的最大值为9，
所以选：B．
21．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=kx（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，若四边形ACBD的面积等于23，则k的值为（ ）
A．4 3B．23C．4D．3
试题分析：设A（a，ka），可求出D（2a，k2a），由于对角线垂直，所以面积＝对角线乘积的一半即可．
答案详解：解：设A（a，ka），可求出D（2a，k2a），
∵AB⊥CD，
∴S四边形ACBD=12AB•CD=12×2a×ka=23，
解得k＝23．
所以选：B．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A′EFD′，边A′E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为（ ）
A．18﹣37B．92+37C．12−372D．6+372
试题分析：在EA上截取EM＝EG，连接OM，证明△MOE≌△GOE，所以OM＝OG，即可得OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，且OM＝4＝OG，再过点O作OH⊥BC，得OH＝3，又因为OC＝5，就可以根据勾股定理计算GH、HC的长，从而计算出最小面积．
答案详解：解：在EA上截取EM＝EG，连接OM，
由折叠得：∠MEO＝∠GEO，
又∵EO＝EO，
∴△MOE≌△GOE，
∴OM＝OG，
∴OM最短时，OG也就最短，
而当OM⊥AB时，OM最短，
此时，∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OM=12BC＝4＝OG，
即OG的最小值是4，
在△OGC中，∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OC长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，∠BCO度数也不变，是定值，
∴当OG＝4最小值时，△OGC面积最小．
过点O作OH⊥BC，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OH=12AB＝3，
∴Rt△OGH中，GH=OG2−OH2=42−32=7，
Rt△OHC中，HC=OC2−OH2=52−32=4，
∴GC＝GH+HC=7+4，
∴△OGC面积的最小值是12×GC×OH=12×（7+4）×3=327+6．
所以选：D．
23．点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
试题分析：过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，又四边形ABCD为正方形，可得出∠A为直角，进而得到一对角相等，由旋转可得∠DPE为直角，根据平角的定义得到一对角互余，在直角三角形ADP中，根据两锐角互余得到一对角互余，根据等角的余角相等可得出一对角相等，再由PD＝PE，利用AAS可得出三角形ADP与三角形PEF全等，根据确定三角形的对应边相等可得出AD＝PF，AP＝EF，再由正方形的边长相等得到AD＝AB，由AP+PB＝PB+BF，得到AP＝BF，等量代换可得出EF＝BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．
答案详解：解：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
由旋转可得：PD＝PE，∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠EPF＝90°，
∴∠ADP＝∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵∠ADP=∠FPE∠A=∠F=90°PD=EP，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP＝EF，AD＝PF，
又∵AD＝AB，
∴PF＝AB，即AP+PB＝PB+BF，
∴AP＝BF，
∴BF＝EF，又∠F＝90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°，又∠CBF＝90°，
则∠CBE＝45°．
所以选：C．
24．如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线y=kx（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E．过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在点C′处（点C′在矩形OABC内部），且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，3），则k的值为（ ）
A．274B．272C．392D．394
试题分析：首先证明点E是线段AB的中点，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．在Rt△BEC′中，根据BC′2＝BE2+EC′2，构建方程求出m即可解决问题；
答案详解：解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．
∵CD＝BD，
∴S△CDO=k2=14S矩形ABCD，
∵S△AOE=k2=S△CDO=14S矩形ABCD，
∴AE＝EB，
∵C′（2，3），
∴AE＝EB＝3，
在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，
∴m2＝32+（m﹣2）2，
∴m=134，
∴E（134，3），
∵点E在y=kx上，
∴k=394，
所以选：D．
25．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=6x（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP是（ ）
A．6B．3C．6D．12
试题分析：先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB＝∠CAD＝60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP＝S△AOP，故S△OBP＝S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
答案详解：解：如图：
∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB＝∠CAD＝60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP＝S△AOP，
∴S△OBP＝S△AOB，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABE=12S△AOB，
∵点B在反比例函数y=6x的图象上，
∴S△OBE=12×6＝3，
∴S△OBP＝S△AOB＝2S△OBE＝6．
所以选：C．
26．如图，正方形ABCD的边长为4，∠BCM＝30°，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（ ）
A．42−4B．22−2C．26−23D．26−3
试题分析：如图，连接BD，在BD上截取BG，使得BG＝BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H．证明△CBE≌△GBF（SAS），推出∠BCE＝∠BGF＝30°，推出点F在直线GF上运动，当点F与H重合时，DF的值最小，作出DH即可解决问题．
答案详解：解：如图，连接BD，在BD上截取BG，使得BG＝BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD＝45°，CD＝CB＝4，∠DCB＝90°，
∴BD＝42，BG＝BC＝4，
∴DG＝BD﹣BG＝42−4，
∵∠CBG＝∠EBF＝45°，
∴∠CBE＝∠GBF，
在△CBE和△GBF中，
CB=GB∠CBE=∠GBFBE=BF，
∴△CBE≌△GBF（SAS），
∴∠BCE＝∠BGF＝30°，
∴点F在直线GF上运动，当点F与H重合时，DF的值最小，
∵DH⊥FH，∠DGH＝∠BGF＝30°
∴DH=12DG＝22−2，
∴DF的最小值为22−2，
所以选：B．
27．如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小B．一直减小后增大
C．一直不变D．先增大后减小
试题分析：根据题意∠DFE+∠EPC＝∠DPC，作PH⊥BC交BC的延长线于H，证明CP是∠DCH的角平分线即可解决问题．
答案详解：解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，
∠DAF＝∠ABE＝∠DCB＝∠DCH＝90°，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ADF≌△BAE（ASA），
∴DF＝AE，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴DF＝PE，∠DFE＝∠DPE，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠PEH＝90°，
∴∠BAE＝∠PEH，
∵∠ABE＝∠H＝90°，AE＝EP．
∴△ABE≌△EHP（AAS），
∴PH＝BE，AB＝EH＝BC，
∴BE＝CH＝PH，
∴∠PCH＝45°，
∵∠DCH＝90°，
∴∠DCP＝∠PCH，
∴CP是∠DCH的角平分线，
∴点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线，
∵∠DFE+∠EPC＝∠DPE+∠EPC＝∠DPC，
观察图象可得，∠DPC一直减小，
所以选：A．
28．如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝13，BC＝10，GF＝5，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．48B．36C．30D．24
试题分析：连接EO，EG，OF，依据EO是△ABC的中位线，即可得出EO∥BC，EO=12BC＝5，进而得到四边形EOFG是平行四边形，据此可得S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，求得△ABO的面积即可得出结论．
答案详解：解：如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，
∴O是AC的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BC，EO=12BC＝5，
又∵GF＝5，
∴EO＝GF，
∴四边形EOFG是平行四边形，
∴S△EOP+S△FGP=12S四边形EOFG＝S△EOG，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB，
∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，
∵AC＝AB＝13，BC＝10，
∴等腰△ABC中BC边上的高为132−52=12，
∴S△ABC=12×10×12=60，
∵O是AC的中点，
∴S△ABO=12S△ABC=12×60＝30，
∴阴影部分的面积为30，
所以选：C．
29．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF，以下结论中：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF的最小值为2．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
试题分析：①证明△ADP≌△CDP，则AP＝PC，根据矩形对角线相等得PC＝EF，即可判断；
②证明△AGP≌△FPE（SAS），得到∠BAP＝∠PFE，进而求解；
③当AP⊥BD时，即AP=12BD＝22时，EF的最小值等于22，即可判断．
答案详解：解：①连接PC，EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故①正确；
②延长FP与AB交于点M，延长AP与EF交于点H，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴△AMP≌△FPE（HL），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠BAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故②正确；
③由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP=12BD＝22时，EF的最小值等于22；
故③不正确；
综上，①②正确．
所以选：A．
30．平面直角坐标系中，菱形ABCD如图所示，OA＝3，点D在线段AB的垂直平分线上，若菱形ABCD绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒45°，则第2022秒时点D的对应坐标为（ ）
A．（23，3）B．（﹣23，﹣3）C．（3，﹣23）D．（﹣3，23）
试题分析：根据菱形的性质和垂直平分线的性质，可以得到点D的坐标，然后根据旋转的性质，可以得到点D在第2022秒对应的点D在第四象限，然后即可写出点D对应的坐标．
答案详解：解：作DE⊥BC于点E，如右图所示，
由题意可得，BE＝EC＝OB，
∵OA＝3，∠AOB＝90°，AB＝2OB，
∴OB=3，AB＝23，
∴点D的坐标为（23，3），
∵360°÷45°＝8，2022÷8＝252…6，
∴第2022秒时点D的对应坐标为在第四象限，此时点D对应的坐标为（3，﹣23），
所以选：C．
31．关于x的方程（x﹣2）（x+1）＝p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根D．无实数根
试题分析：先计算根的判别式的值得到Δ＞0，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为x1，x2，利用根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，根据有理数的性质得到x1、x2的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．
答案详解：解：方程化为一般式为x2﹣x﹣2﹣p2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣2﹣p2）＝4p2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，
设方程的两个分别为x1，x2，
根据根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，
∴方程有一个正根和一个负根．
所以选：C．
32．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是42，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
试题分析：①根据旋转的性质得△DEF为等腰直角三角形，进而得到EF与DE的数量关系，便可判定①的正误；
②证明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，再在直角△CEF中由勾股定理得EF2＝CF2+CE2，进而得EF2＝AE2+CE2，便可判断②的正误；
③由∠DCF＝45°恒成立，所以当PF⊥CF时，PF取最小值，求出此时的PF便可判断③的正误；
④先求得AE+CE＝AC=2AD=82，再根据（（AE﹣CE）2≥0求得AE•CE≤32，求得AE•CE的最大值为32，进而求得△CFE的面积最大值，便可判断④的正误．
答案详解：解：①∵由旋转知，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴EF=2DE，
故①正确；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°，
∴EF2＝CF2+CE2，
∴EF2＝AE2+CE2，
故②正确；
③∵CP＝3PD．
∴PC=34CD＝6，
当PF⊥CF时，PF取最小值，如图，
∵∠DCF＝45°，
∴PF＝CF=22CP＝32，
故③错误；
④∵∠ECF＝90°，
∴S△CEF=12CE⋅CF=12CE⋅AE，
∵AE+CE＝AC=2AD=82，
∴（AE﹣CE）2＝（AE+CE）2﹣4AE•CE＝128﹣4AE•CE≥0，
∴AE•CE≤32，
∴AE•CE的最大值为32，
∴△CFE的面积最大是12×32＝16，
故④正确；
所以选：A．
33．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．32−3
试题分析：连接AC、AF，证明△ACF为等边三角形，求得AC便可得出结果．
答案详解：解：连接AC、AF，
由旋转性质得，AC＝AF，∠CAF＝60°，
∴△ACF为等边三角形，
∴AC＝CF，
∵AC=2AB=2，
∴CF=2，
所以选：B．
34．若a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2=11−a1，a3=11−a2，…，an=11−an−1，则a2022等于（ ）
A．xB．x+1C．−1xD．xx+1
试题分析：分别求出a2=−1x，a3=xx+1，a4＝x+1，a5=−1x，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律得出答案即可．
答案详解：解：∵a1＝x+1，
∴a2=11−a1=11−(x+1)=−1x，
∴a3=11−a2=11−(−1x)=xx+1，
∴a4=11−a3=11−xx+1=x+1，
∴该数列每三个数就循环一次，
∵2022÷3＝674，
∴a2022=xx+1，
所以选：D．
35．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则EMFN的值是（ ）
A．3B．3−1C．2−3D．3−3
试题分析：设正方形纸片ABCD的边长为2a，由折叠的性质与正方形的性质可得AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，由勾股定理可求FN的长，进而可求FM的长，设AE＝EF＝x，再利用勾股定理可求x，得到EM的长，代入EMFN，计算即可．
答案详解：解：设正方形纸片ABCD的边长为2a．
由题意可知：AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，
∴FN=DF2−DN2=(2a)2−a2=3a，
∴FM＝MN﹣FN＝（2−3）a．
设AE＝EF＝x，则EM＝AM﹣AE＝a﹣x．
在Rt△EMF中，∵EM2+MF2＝EF2，
∴（a﹣x）2+[（2−3）a]2＝x2，
∴x＝（4﹣23）a，
∴EM＝a﹣（4﹣23）a＝（23−3）a，
∴EMFN=(23−3)a3a=2−3．
所以选：C．
36．疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为（ ）
A．7分钟B．8分钟C．9分钟D．10分钟
试题分析：分0≤x≤6和x＞6两种情况，利用待定系数法分别求出对应的一次函数和反比例函数解析式，在两个函数解析式中求出y＝8时，x的值，从而得到有效消毒时间．
答案详解：解：当0≤x≤6时，设y＝mx，
将点（6，16）代入，得：16＝6m，
解得m=83，
∴y=83x；
当x＞6时，设y=nx，
将点（6，16）代入，得：16=n6，
解得：n＝96，
∴y=96x；
综上，y=83x(0≤x≤6)96x(x＞6)；
当0≤x≤6时，若y＝8，则83x＝8，
解得x＝3；
当x＞6时，若y＝8，则96x=8，
解得x＝12；
∴12﹣3＝9（分钟），
故室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为9分钟．
所以选：C．
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