专题11 填空压轴题精选-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）

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一．填空题（共29小题）
1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 32 ．
试题分析：由中位线定理可得点P的运动轨迹是线段P1P2，再由垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线，由勾股定理求出BP2、BP1、CE的长，由三角形中位线定理得出P1P2的长，设P′P2＝x，则P′P1=322−x，由勾股定理得BP22﹣P′P22＝BP12﹣P′P12，解得x=322，即可得出结果．
答案详解：解：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2=12CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，如图所示，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6，∠DAB＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴CP1=12CD＝3，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE=12AB＝3，
连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，
则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线，
∴P2Q=12AD=32，QE＝AQ=12AE=32，
∴BQ＝BE+QE＝3+32=92，
在Rt△BP2Q中，由勾股定理得：
BP2=BQ2+P2Q2=(92)2+(32)2=3102，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：
CE=BE2+BC2=32+32=32，
∴P1P2=12CE=322，
在Rt△BCP1中，由勾股定理得：
BP1=32+32=32，
设P′P2＝x，则P′P1=322−x，
由勾股定理得：
BP22﹣P′P22＝BP12﹣P′P12，
即（3102）2﹣x2＝（32）2﹣（322−x）2，
解得：x=322，
∴BP′2＝（3102）2﹣（322）2＝18，
∴BP′＝32．
所以答案是：32．
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边AB平行于y轴，反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过OA的中点C和点B，若△OAB的面积为6，则k＝ ﹣4 ．
试题分析：延长AB交x轴于D，根据反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，设B（x，kx），则OD＝x，根据△OAB的面积为9，列等式可表示AB的长，表示点A的坐标，根据线段中点坐标公式可得C的坐标，从而得出结论．
答案详解：解：如图，延长AB交x轴于D，
∵AB∥y轴，
∴AD⊥x轴，
∵反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过OA中点C和点B，
∴设B（x，kx），则OD＝﹣x，
∵△OAB的面积为6，
∴12AB•OD＝6，
∴12AB•（﹣x）＝6，
∴AB=−12x，
∴A（x，−12−kx），
∵C是OA的中点，
∴C（12x，−12−k2x），
∴k=12x•（−12−k2x），
∴k＝﹣4．
所以答案是：﹣4．
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=2，则PM+CQ的最小值为 25 ．
试题分析：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小，解直角三角形求出CT即可．
答案详解：解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴AC＝BD＝42，
∴OD＝OB＝OA＝OC＝22，
∵AM＝OM，AT＝DT，
∴MT=12OD=2，
∴MT＝PQ=2，
∵MT∥PQ，
∴四边形PQTM是平行四边形，
∴PM＝TQ，
∴PM+CQ＝TQ+CQ＝CT，
∵∠CMT＝90°，MT=2，CM＝32，
∴CT=MT2+CM2=(2)2+(32)2=25，
所以答案是：25．
4．如图，点M在函数y=5x（x＞0）的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=2x（x＞0）的图象于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为 2110． ．
试题分析：设M（m，5m），可得C（m，2m），B（2m5，5m），由三角形的面积公式S△OBC＝S矩形ODME﹣S△OCE﹣S△ODB﹣S△MBC可求解．
答案详解：解：延长MB交y轴于点D，延长MC交x轴于点E，
设M（m，5m），可得C（m，2m），B（2m5，5m），
∴D（0，5m），E（m，0），
∴S△OBC＝S矩形ODME﹣S△OCE﹣S△ODB﹣S△MBC
＝5−12×m×2m−−12×5m×2m5−12×3m5×3m
＝5﹣1﹣1−910
=2110．
所以答案是：2110．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点P是边AB上的一动点．△A'B'C≌△ABC，将△A'B′C绕点C按逆时针方向旋转，点E是边A'C的中点，则PE长度的最小值为 3−1 ．
试题分析：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，根据CD＝ACsin∠BAC求出CD的长，当P在AB上运动至垂足点D，△A'B'C绕点C旋转，当点C、E、D共线时DE最小，即PE最小，据此求解可得．
答案详解：解：过点C作CD⊥AB于点D，如图：
∵Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵Rt△ACD中，AC＝2，
∴CD＝AC•sin∠BAC＝2×32=3，
当点P在AB上运动到点D，△A'B'C绕点C旋转，点C、E、D共线时DE最小，即PE最小，最小值为CD﹣CE=3−1，
所以答案是：3−1．
6．阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，并且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同．
应用：点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，BC＝2，以O为直角顶点的Rt△OPQ的顶点P在边AB上，∠BAC＝∠OPQ＝30°，当P在AB上运动时，DQ的最大值为 2213 ．
试题分析：如图，过点O作OT⊥AC交AB于点T，连接DT，TQ，DQ．求出DT，判断出点Q的运动轨迹，可得结论．
答案详解：解：如图，过点O作OT⊥AC交AB于点T，连接DT，TQ，DQ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
∴OA＝OC＝2，
∵∠OAT＝30°，∠AOT＝90°，
∴AT＝2OT，
∵AT2＝OT2+AO2，
∴4OT2＝OT2+4，
∴OT=233，AT=433，
∵∠TAD＝90°，
∴DT=AD2+AT2=22+(433)2=2213，
∵OPPQ=3，∠POQ＝90°，点P在线段AB上运动，
∴点Q在射线TQ上运动，
当点P与T重合时，PQ⊥AB，
∴TQ⊥AB，
观察图象可知，当点Q与T重合时，DQ的值最大，最大值为2213，
所以答案是：2213．
7．如图，正方形ABCD与正方形AEFG边长分别为1和2，一开始边AB与边AG重合，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为α（30°＜α＜180°）．在旋转过程中，连接BG、GE、ED、DB，四边形BGED面积的最大值是 3+222 ．
试题分析：连接BE，DG，相交于点H，BE与AG交于点K，根据正方形的性质可得AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，从而利用等式的性质可得∠DAG＝∠BAE，进而可证△BAE≌△DAG，然后利用全等三角形的性质可得BE＝DG，∠DGA＝∠BEA，从而可得∠HKG+∠DGA＝90°，进而可得∠GHK＝90°，最后根据四边形BGED面积＝△BEG的面积+△BDE的面积=12BE2，当BE取最大值时，四边形BGED面积最大，进行计算即可解答．
答案详解：解：连接BE，DG，相交于点H，BE与AG交于点K，
∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAG＝∠GAE+∠BAG，
∴∠DAG＝∠BAE，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠DGA＝∠BEA，
∵∠AKE＝∠HKG，∠AKE+∠BEA＝90°，
∴∠HKG+∠DGA＝90°，
∴∠GHK＝180°﹣（∠HKG+∠DGA）＝90°，
∴四边形BGED面积＝△BEG的面积+△BDE的面积
=12BE•HG+12BE•DH
=12BE（HG+DH）
=12BE•DG
=12BE2，
∴当BE取最大值时，四边形BGED面积最大，
∴当α＝90°时，BE最大＝AE+AB＝1+2，
∴四边形BGED面积的最大值=12BE2
=12×（1+2）2
=3+222，
所以答案是：3+222．
8． 如图，在矩形ABCD中，点P在边AD上，E、F分别为BC、PB的中点，若AB＝6，则线段EF的最小值为 3 ．
试题分析：根据题意可知PC＝2EF，当PC最小时，EF取得最小值．
答案详解：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，
E、F分别为BC、PB的中点，
∴PC＝2EF，
线段EF最小时，线段PC取得最小值，
∴当P点与D点重合时，PC最小，最小值为6，
∴EF的最小值为3．
所以答案是：3．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝15，M为BC的三等分点（BM=13BC），N是从B出发，以每秒1个单位的速度沿B﹣A﹣D方向运动的动点，点N运动t秒后沿MN所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点B恰好落在边AD上，则t的值为 53或7 ．
试题分析：分两种情况进行讨论：①点N在AB上；②点N在AD上，结合折叠的性质，可得直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
答案详解：解：①如图，过点M作ME⊥AD交AD于点E，N在AB上，
可得四边形ABME是矩形，
∴EM＝AB＝3，AE＝BM，
∵M是BC的三等分点，BC＝15，
∴由折叠性质得B'M＝BM=13BC＝5，
在Rt△B'EM中，B'E=B'M2−EM2=52−32=4，
∴AB'＝AE﹣B'E＝1，
设AN＝x，则NB＝AB﹣AN＝3﹣x，
在Rt△ANB中，AN2+AB2＝x2+12＝NB2＝（3﹣x）2，
解得：x=43，
∴NB＝AB﹣AN=53，
即t=53；
②如图，过点M作ME⊥AD交AD于点E，N在AD上，
可得四边形ABME是矩形，
∴ME＝AB＝3，AE＝BM＝5，
在Rt△EMB'中，B'E=B'M2−EM2=4，
AB'＝AE+B'E＝9，
设AN＝y，则EN＝AE﹣AN＝5﹣y，
∴NB'＝AB'﹣AN＝9﹣y，
在Rt△A'NB'中，NA'2+A'B'2＝y2+32＝NB'2＝（9﹣y）2，
解得：y＝4，即AN＝4，
∴t＝（3+4）÷1＝7．
综上所述，t=53或7．
所以答案是：53或7．
10．如图，菱形ABCD中，对角线长AC、BD的长分别为4、43，点P、Q分别在边AB、BC上运动，连接PQ，将△BQP沿着PQ翻折得到△B'QP，若点B的对称点B'恰好落在边AD上，则AB的长为 4 ，CQ长的最大值为 4−23 ．
试题分析：设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，由折叠可得：BQ＝B′Q，当B′Q⊥BC时，B′Q最小，即BQ最小，则CQ最大，然后根据菱形的性质可得AD∥BC，AC⊥BD，AB＝BC，OA＝2，OB＝23，从而在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，进而在Rt△ABH中，求出AH的长，最后利用平行线间的距离相等可得AH＝B′Q，从而求出CQ的最大值，即可解答．
答案详解：解：设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，
由折叠得：
BQ＝B′Q，
∴当B′Q⊥BC时，B′Q最小，即BQ最小，则CQ最大，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，AB＝BC，OA=12AC＝2，OB=12BD＝23，
∴AB=AO2+OB2=22+(23)2=4，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAH＝90°﹣∠ABH＝30°，
∴BH=12AB＝2，
AH=3BH＝23，
∵AD∥BC，AH⊥BC，B′Q⊥BC，
∴AH＝B′Q＝23，
∴CQ的最大值＝BC﹣BQ＝4﹣23，
所以答案是：4，4﹣23．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连接BD，点M，N分别是边BC，DC上的动点，连接MN，将△CMN沿MN折叠，使点C的对应点P始终落在BD上，当△PBM为直角三角形时，线段MC的长为 247或83 ．
试题分析：分两种情形：如图1中，当∠PMB＝90°时，四边形PMCN是正方形，设CM＝PM＝PN＝CN＝x．如图2中，当∠BPM＝90°时，点N与D重合，设MC＝MP＝y．分别求解即可．
答案详解：解：如图1中，当∠PMB＝90°时，四边形PMCN是正方形，设CM＝PM＝PN＝CN＝x．
∵PM∥CD，
∴PMCD=BMBC，
∴x8=6−x6，
∴x=247，
∴CM=247．
如图2中，当∠BPM＝90°时，点N与D重合，设MC＝MP＝y．
∵CD＝8，BC＝6，∠C＝90°，
∴BD=BC2+CD2=62+82=10，
∵PD＝CD＝8，
∴PB＝BD﹣PD＝10﹣8＝2，
∵BM2＝PB2+PM2，
∴（6﹣y）2＝22+y2，
∴y=83，
∴CM=83，
综上所述，CM的值为247或83．
所以答案是：247或83．
12．若x，y为实数，且x3y3＝﹣216，当x≤﹣2时，y的取值范围是 0＜y≤3 ．
试题分析：根据立方根的定义，由x3y3＝﹣216，得xy＝﹣6．再根据反比例函数图象的性质解决此题．
答案详解：解：∵x3y3＝﹣216，
∴（xy）3＝（﹣6）3．
∴xy＝﹣6．
∵x≤﹣2，
∴y＞0．
∴x=−6y≤−2．
∴0＜y≤3．
所以答案是：0＜y≤3．
13． 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y=−1x，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2022的值为 −13 ．
试题分析：根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2022除以3，根据商的情况确定出a2022即可．
答案详解：解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2=−1a1=−12，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2=−32，
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3=−1a2=23，
B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3=−13，
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4=−1a3=3，
B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2022÷3＝674，
∴a2022＝a3=−13，
所以答案是：−13．
14．正方形ABCD的边长为a，将正方形ABCD绕点A旋转得到正方形AB'C'D'，在旋转的过程中，当点C′落在直线BD上时，则线段BC′的长为 2+62a或6−22a ．（用含a的式子表示）
试题分析：根据题意，可以画出相应的图形，然后根据勾股定理可以求得OC′的长，再根据图形，即可得到线段BC′的长．
答案详解：解：连接AC、BD交于点O，如图所示，
∵正方形ABCD的长为a，
∴BD＝AC=2a，
∴AO＝CO＝BO＝DO=22a，
∵∠AOC′＝90°，AC′＝AC，
∴OC′=(2a)2−(22a)2=62a，
当点C′在C1′时，BC1′＝BO+OC1′=22a+62a=2+62a；
当点C′在C2′时，BC2′＝OC2′﹣OB=62a−22a=6−22a；
由上可得，线段BC′的长为2+62a或6−22a，
所以答案是：2+62a或6−22a．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝7，P、Q分别从C、A同时出发以相同的速度向点D运动，则AP+BQ的最小值为 17 ．
试题分析：如图，设CP＝AQ＝x，则有AP+BQ=72+(8−x)2+x2+82，欲求AP+BQ的最小值，相当于在x轴上寻找一点M（x，0），使得点M到J（0，8），K（8，7）的距离和最小，如图1中，作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′，利用勾股定理求出KJ′可得结论．
答案详解：解：如图，设CP＝AQ＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∵AD＝BC＝7，∠D＝∠BAQ＝90°，
∴AP+BQ=72+(8−x)2+x2+82，
欲求AP+BQ的最小值，相当于在x轴上寻找一点M（x，0），使得点M到J（0，8），K（8，7）的距离和最小，
如图1中，作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′
∵J′（0，﹣8），K（8，7），
∴KJ′=82+152=17，
∵MJ+MK＝MJ′+MK≥KJ′＝17，
∴MJ+MK的最小值为17，
∴AP+BQ的最小值为17．
所以答案是：17．
16．如图，矩形ABCD 中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，则AD的长度为 23 ，N为直线AD上一点，作OD关于直线ON对称的线段OM，若OM⊥AD，则线段DN的长度为 233或23 ．
试题分析：根据矩形的性质求解即可．
答案详解：解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠BAD＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴AD=3AB＝23．
如图：
∵OM⊥AD于E，
∴由矩形性质知∠AOE＝∠DOE＝60°，AE＝ED=3，
∴OE=12OA＝1
∵线段OD与OM关于ON对称，
∴OD＝OM＝AB＝2，∠EON＝∠NOD＝30°，
∴EN=OE3=33，
∴DN=3−33=233．
如图，当点N与A重合时，OM⊥AD，此时DN＝23．
综上所述，满足条件的DN的值为233或23．
所以答案是：23，233或23．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，E为AB边上一点，AB＝4BE，连接CE、DE，延长DE交CB延长线于F，若BF＝3，AB＝10，则CE＝ 972 ．
试题分析：取AB的中点G，连接DG，则AB＝2BG，可得BE＝EG，再利用三角形中位线定理得BC＝2DG，DG∥BF，利用ASA证明△GDE≌△BFE，得DG＝BF＝3，DE＝EF，从而解决问题．
答案详解：解：取AB的中点G，连接DG，则AB＝2BG，
∵AB＝4BE，
∴BE＝EG，
∵D为AC边上的中点，G为AB的中点，
∴DG为△ABC的中位线，
∴BC＝2DG，DG∥BF，
∴∠GDE＝∠F，
在△GDE和△BFE中，
∠GDE=∠F∠DEG=∠FEBGE=BE，
∴△GDE≌△BFE（AAS），
∴DG＝BF＝3，DE＝EF，
∴BC＝6，
∴CF＝9，
由勾股定理得，AC＝8，
∴CD＝4，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，DF=42+92=97，
∵∠ACB＝90°，EF＝DE，
∴CE=12DF=972，
所以答案是：972．
18．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且BE＝AF．则EF长度的最小值等于 23 ．
试题分析：连接AC，先证△BCE≌△ACF（SAS），得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，再证△CEF是等边三角形，得EF＝CE，当CE最小时，EF也最小，然后求出CE的最小值，即可解决问题．
答案详解：解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，AD∥BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠CAF＝∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠CAF，
在△BCE和△ACF中，
BE=AF∠B=∠CAFBC=AC，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∴当CE最小时，EF也最小，
当CE⊥AB时，CE最小，
此时∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BE=12BC＝2，
∴CE=BC2−BE2=42−22=23，
∴EF的最小值为23，
所以答案是：23．
19．如图（1），在等腰直角三角形纸片ABC中，∠B＝90°，AB＝4，点D，E分别为AB，BC上的动点．将纸片沿DE翻折，点B的对应点B′恰好落在边AC上，如图（2），再将纸片沿B′E翻折，点C的对应点为C′，如图（3），当△DB′E，△B′C′E的重合部分为直角三角形时，CE的长为 2或8﹣42 ．
试题分析：根据题意可得要使△DB'E，△B'C'E的重合部分为直角三角形，则分两种情况画图：①当DE⊥B′C′时，②当∠EB′C′＝90°，根据翻折的性质和勾股定理即可解决问题．
答案详解：解：由翻折可知：要使△DB'E，△B'C'E的重合部分为直角三角形，则分两种情况画图：
①当DE⊥B′C′时，
由翻折可知：∠EB′D＝∠DBE＝90°，∠B′ED＝∠BED，∠CB′E＝∠C′B′E，
∵∠BEB′＝∠CB′E+∠C，
∴2∠DEB′＝∠CB′E+45°，
∵∠DEB′＝90°﹣∠EB′C′，
∴2（90°﹣∠EB′C′）＝∠CB′E+45°，
∵∠CB′E＝∠C′B′E，
∴∠CB′E＝∠C′B′E＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠CEB′＝90°，
∴B′E⊥BC，
由翻折可知：CB′＝C′B′，
∴CE=12BC=12AB=12×4＝2；
②当∠EB′C′＝90°，
由翻折可知：B′E＝BE，∠EB′A＝∠B＝90°，
∴点E在∠BAC的平分线上，
设B′E＝BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝4﹣x，
在Rt△B′EC中，∠C＝∠B′EC＝45°，
∴B′E＝B′C＝x，
∴CE=2B′E，
∴4﹣x=2x，
解得x＝42−4，
CE=2B′E=2x=2（42−4）＝8﹣42，
综上所述：CE的长为2或8﹣42．
所以答案是：2或8﹣42．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是 22 ．
试题分析：取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，可证四边形DEBH是平行四边形，可得BH∥DE，由三角形中位线定理可得PH∥ED，可得点P在BH上，当CP⊥BH时，PC有最小值，即可求解．
答案详解：解：如图，取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，∠BAH＝∠CDH＝90°，
∵点E是BC中点，点H是AD中点，
∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB＝CD＝2，
∴四边形BEDH是平行四边形，∠AHB=∠ABH=12×90°=45°，∠DHC=∠DCH=12×90°=45°，
∴BH∥DE，
∵点P是AF的中点，点H是AD的中点，
∴PH∥ED，
∴点P在BH上，
∵∠AHB＝∠DHC＝45°，
∴∠BHC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴BH⊥CH，
∵点P在BH上，
∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，
在Rt△CDH中，CH=CD2+DH2=22
∴PC的最小值为22，
所以答案是：22．
21． 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是 10 ．
试题分析：根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，根据三角形的面积公式得出△ABC的面积．
答案详解：解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，
∴AB＝5，BC＝4，
∴△ABC的面积是：12×4×5＝10．
所以答案是：10．
22．如图，正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，连接DF，分别交CE，AC于点G，H，点P是线段GC上的动点，PQ⊥AC于点Q，连接PH，则DE＝ 22−2 ；PH+PQ的最小值是 2 ．
试题分析：先证明△CDE≌△DAF（SAS），再证明△AHF、△CDH是等腰三角形，可求DE的长；过点D作DQ⊥AC交于Q，交CE于P，当DQ⊥AC时，HP+PQ的值最小，求出DQ的长即为所求最小距离．
答案详解：解：∵AF＝DE，∠CDE＝∠DAF，CD＝AB，
∴△CDE≌△DAF（SAS），
∴∠CED＝∠DFA，
∵CE平分∠DCA，
∴∠DCE＝22.5°，
∴∠DEC＝67.5°，
∴∠DFA＝67.5°，
在△AHF中，∠HAF＝45°，
∴∠AHF＝67.5°，
∴AH＝AF，
∵AB＝2，
∴AC＝22，
∵∠DHC＝∠CDH＝67.5°，
∴CD＝CH，
∴AH＝22−2，
∴DE＝22−2；
过点D作DQ⊥AC交于Q，交CE于P，
∵∠EDG+∠EDG＝∠DCE+∠DEG＝90°，
∴DH⊥CE，
∵△CDH为等腰三角形，
∴D点与H点关于CE对称，
∴DP＝PH，
∴PH+PQ＝HP+PQ≥DQ，
当DQ⊥AC时，HP+PQ的值最小，
在Rt△CDQ中，∠DCQ＝45°，CD＝2，
∴DQ=2，
∴HP+PQ的最小值为2，
所以答案是：22−2，2．
23．一次函数y＝x+b（b为常数）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=4x的图象交于点C、D，点C在第一象限，点D在第三象限，若AC+BD=22，则b＝ ﹣3 ．
试题分析：过C点作CM⊥x轴于M，由一次函数的解析式可知∠CAM＝45°，根据题意AC=2，即可求得C的纵坐标，进而得出C（4，1），代入y＝x+b，即可求得b＝﹣3．
答案详解：解：过C点作CM⊥x轴于M，
∵一次函出y＝x+b（b为常数）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴∠CAM＝45°，
∵AC+BD=22，
∴AC=2，
∴CM＝1，
∴C点的纵坐标为1，
∵反比例函y=4x的图象过点C、D，
∴C（4，1），
代入y＝x+b得，1＝4+b，解得b＝﹣3，
所以答案是：﹣3．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上一点，点B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作平行四边形ABCO，若点C和BC的中点D都在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，则k的值是 ﹣8 ．
试题分析：设C（a，4a），B（0，m），点D的坐标为（12a，12m+2a），根据四边形ABCO为平行四边形，可得出点A的坐标为（﹣a，m−4a），将点D的坐标代入y=4x（x＞0），求得ma＝12，将点A的坐标代入y=kx，即可得出k的值．
答案详解：解：设C（a，4a），B（0，m），点D的坐标为（12a，12m+2a），
以OA，AB为邻边作▱ABCO，
∴OB的中点与AC的中点重合，
根据中点坐标公式，可得点A的坐标为（﹣a，m−4a），
∴点C和BC的中点D都在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，
∴12a（12m+2a）＝4，
∴am＝12，
∵点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上一点，
∴k＝﹣a（m−4a）＝﹣am+4＝﹣8，
所以答案是：﹣8．
25．已知点A（1，0），C（7，0），E是y轴正半轴上一动点，将点A绕点E逆时针旋转90°得到点B，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD，则BD的最小值为 52 ．
试题分析：由“AAS”可证△EBF≌△AEO，可得BF＝OE＝m，AO＝EF＝1，可得点B（m，m+1），即点B在直线y＝x+1上移动，由垂线段最短可得B'H⊥直线y＝x+1时，B'H有最小值，即可求解．
答案详解：解：如图，过点B作BF⊥y轴于F，设BD与AC的交点为H，
设点E（0，m），
∴EO＝m，
∵将点A绕点E逆时针旋转90°得到点B，
∴AE＝BE，∠AEB＝90°，
∴∠AEO+∠BEF＝90°＝∠AEO+∠EAO，
∴∠EAO＝∠BEF，
在△EBF和△AEO中，
∠BFE=∠AOE=90°∠BEF=∠OAEBE=AE，
∴△EBF≌△AEO（AAS），
∴BF＝OE＝m，AO＝EF＝1，
∴点B（m，m+1），
∴点B在直线y＝x+1上移动，
∴直线y＝x+1与x轴所成锐角为45°，
∴设直线y＝x+1与x轴的交点为G，
∴点G（﹣1，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BH＝HD=12BD，AH＝HC，
∴点H的坐标为（4，0），BH有最小值时，BD有最小值，
由垂线段最短可得：B'H⊥直线y＝x+1时，B'H有最小值，
∴∠B'GH＝∠B'HG＝45°，
∴B'G＝B'H，
∴GH=2B'H＝4﹣（﹣1）＝5，
∴B'H=522，
∴BD的最小值为52，
所以答案是：52．
26．如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上一点，B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作▱ABCO．若点C及BC中点D都在反比例函数y=−4x（x＜0）图象上，则k的值为 8 ．
试题分析：设点C坐标为（a，−4a），点A（x，y），由中点坐标公式可求点D，点B坐标，由平行四边形的性质可得AC与BO互相平分，由中点坐标公式可求点A坐标，即可求解．
答案详解：解：设点C坐标为（a，−4a），点A（x，y），
∵点D是BC的中点，
∴点D的横坐标为a2，
∴点D坐标为（a2，−8a），
∴点B的坐标为（0，−12a），
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AC与BO互相平分，
∴a+x2=0，−4a+y2=−6a
∴x＝﹣a，y=−8a，
∴点A（﹣a，−8a），
∴k＝（﹣a）×（−8a）＝8，
所以答案是：8．