宁夏回族自治区市金凤区第六中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．本题根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、不是整式方程，故错误．
C、方程二次项系数可能为，故错误；
D、方程含有两个未知数，故错误；
故选A
2. 下列说法正确是（ ）
A. 邻边相等的平行四边形是矩形
B. 一组邻边相等的矩形是正方形
C. 一组邻边互相垂直的四边形是菱形
D. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形和特殊的平行四边形的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴结论A不正确；
B、∵一组邻边相等的矩形是正方形，
∴结论B正确；
C、∵由一组邻边互相垂直，无法证出该四边形为菱形，
∴结论C不正确；
D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴结论D不正确．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及平行四边形的判定，牢记平行四边形、菱形、矩形及正方形的各判定定理是解题的关键．
3. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都不对
【答案】A
【解析】
【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14．
【详解】先移项得x2+6x=5，
方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9，
所以（x+3）2=14．
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4. 如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例，依次判断，即可求解，本题考查了平行投影特点，解题的关键是：明确平行投影的特点．
【详解】解：、影子的方向不相同，故本选项错误，不符合题意；
、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确，符合题意；
、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误，不符合题意；
、影子的方向不相同，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
5. 关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣1B. k＞﹣1且k≠0C. k≠0D. k≥﹣1
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根可得知b2﹣4ac＞0，结合二次项系数不为0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
由已知得：， 解得：k＞﹣1且k≠0．
考点：根的判别式．
6. 如图所示的是一个封闭的几何体，该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查组合体的三视图，根据简单组合体的三视图得出结论即可．
【详解】解：三视图中，被遮挡的部分要用虚线表示，
由题意知，该几何体的俯视图为
故选：D．
7. 一个不透明的袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是黄球的情况为4，
所以两次摸出的球都是黄球的概率为．
故选D.
【点睛】本题考查画树状图法求概率，当一次试验涉及三个或更多个因素时，我们可以先画出其树状图，再运用公式P(A)=计算概率.
8. 下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，本题可对选项一一进行分析，然后选出最适合用因式分解法来解的选项．
【详解】A、，整理得，移项以后可提取公因式，进行因式分解；
B、可化为：，不能进行因式分解，故错误；
C、，不能进行因式分解，故错误；
D、整理得，不能进行因式分解，故错误；
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确掌握因式分解法是解题的关键．
9. 菱形的周长为8，一个内角为，则较短的对角线长为（ ）
A. 4B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得，从而推出是等边三角形，得到，即可得解．
详解】解：如图，
，
四边形是菱形，且菱形的周长为8，
，
，
是等边三角形，
，
较短的对角线长为2，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
10. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）．
A. 168（1+x）2=128B. 168（1﹣x）2=128C. 168（1﹣2x）=128D. 168（1﹣x2）=128
【答案】B
【解析】
【分析】设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，解题的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
二、填空题
11. 将一元二次方程化为一般形式是_________，二次项系数是_________，常数项是_________．
【答案】 ①. x2-3x+2=0 ②. 1 ③. 2
【解析】
【分析】去括号，移项，合并同类项，然后得到方程一般形式即可作答．
【详解】解：（x-2）（2x+1）=x2-4，
去括号 得：2x2-4x+x-2=x2-4
移项 得：2x2-4x+x-2-x2+4=0
合并同类项 得：x2-3x+2=0，
所以一般形式为：x2-3x+2=0，
二次项系数为：1，
常数项是：2，
故答案是：x2-3x+2=0；1；2．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12. 已知菱形的周长是，一条对角线长为，则菱形的面积为______ ，
【答案】216
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：如图，四边形是菱形，，
，，，
菱形周长为，
，
在直角三角形中，，
，
，
菱形的面积，
故答案为：
13. 在实数范围内定义一种运算“”，其规则为根据这个规则，则方程的解为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：由题意可得，
即，
则，
解得：，，
故答案为：，
14. 某口袋里现有8个红球和若干个绿球（两种球除颜色外，其余完全相同）．某同学随机的从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验50次，其中有20次摸到红球，估计口袋里绿球个数为______ 个
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出球的总数．根据题意和题目中的数据，可以先计算出口袋内球的个数，然后即可计算出绿球的个数．
【详解】解：由题意可得，
口袋里的球共有：（个，
其中绿球的个数为：（个，
故答案为：12．
15. 如图，在中，，，，点为的中点，则的长为___．
【答案】####6.5
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理可证明△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵52+122＝132，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，直角三角形斜边上的中线，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
16. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为______ 人
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的人数为人，利用碰杯的总次数参加酒会的人数参加酒会的人数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设参加酒会的人数为人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
参加酒会的人数为人．
故答案为：
17. 如图所示，在矩形纸片中，，点在上，且若将纸片沿折叠，点恰好与上的点重合，则 ______ ．
【答案】10
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质，折叠的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．由矩形与折叠的性质，即可求得，又由，根据三线合一的性质，即可求得答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，
根据题意得：，，
，
，
，
．
故答案：10
18. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】2021
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后根据根与系数的关系得到，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：a是方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
故答案为：2021．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
19. 如图，正方形中，是边上一点，是延长线上一点，且，若四边形的面积是，则长是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的面积公式、勾股定理等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，则，即可证明，则，所以，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形的面积是，
，
，
，
故答案为：．
20. 如图，是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是______ ．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．利用面积公式求出点P到对角线的距离之和是解题的关键．
连接，由矩形的两条边、的长分别为和，可求得，的面积，然后由求得答案．
【详解】解：连接，过作于，于，
矩形的两条边、的长分别为和，
，，，，
，
，
，
，
解得：．
即点到矩形的两条对角线和的距离之和是．
故答案为：．
三、解答题
21. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
（1）整理成一般式，再利用公式法求解即可；
（2）整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
【小问1详解】
，
，
，，，
则，
，即，；
【小问2详解】
整理成一般式，的：，
，
则或，
解得，．
22. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．
【答案】，
【解析】
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：
解得：，
故原方程为：
即：
∴
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数以及求解一元二次方程．熟记相关结论即可．
23. 用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：
（1）__________，__________，__________；
（2）这个几何体最少由___________个小立方块搭成，最多由__________个小立方块搭成；
（3）当，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图．
【答案】（1）3；1；1
（2）9；11 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）由从正面看到的图形可知，第二列小立方体的个数均为1，第三列的小立方体个数为3，即可求解；
（2）根据第一列小立方体的个数最多为2＋2＋2，最少为2＋1＋1，那么加上其他两列小立方体的个数即可；
（3）根据从左面看到的图形有三列，每列小小正方形数目分别为3，1，2，即可求解．
【小问1详解】
解：由从正面看到的图形可知，3，1，1；
【小问2详解】
解：这个几何体最少由4＋2＋3＝9个小立方块搭成，最多由6＋2＋3＝11个小立方块搭成；
【小问3详解】
解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了从不同方向看几何体的知识，解题关键是掌握从不同方向看到的图形所含的组成的几何体的层数和列数的信息．
24. 每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
治理杨絮--您选哪一项？____（单选）
A.减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量
B.调整树种结构，逐渐更换现有杨树
C.选育无絮杨品种，并推广种植
D.对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
E.其他
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有______ 人；
（2）扇形统计图中，扇形的圆心角度数是______ ；
（3）请补全条形统计图；
（4）上述调查问卷中，若要同时选择两项，利用树状图或表格求选项A和选项C同时被选上的概率．
【答案】（1）2000
（2）28.8度 （3）见解析
（4）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图法、条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
（1）将选项人数除以总人数即可得；
（2）用乘以选项人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得；
（4）画出树状图，共有20个等可能的结果，选项和选项同时被选上的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
本次接受调查的市民人数为（人，
故答案为：2000；
【小问2详解】
扇形统计图中，扇形的圆心角度数是；
故答案为：；
【小问3详解】
选项的人数为：（人，
补全条形图如下：
【小问4详解】
画树状图如下：
共有20个等可能的结果，选项和选项同时被选上的结果有2个，
选项和选项同时被选上的概率为．
25. 如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ADCF是矩形，证明见解析.
【解析】
【详解】【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；
（2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案．
【详解】（1）∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）连接DF，

∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
26. 某商场将原来每件进价元的某种商品按每件元出售，一天可出售件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获得利润元，则每件商品应售价多少元？
【答案】（1）2000元
（2）102或108元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用商场经营该商品原来一天可获的利润售价进价日销售量，即可求出结论；
（2）设每件商品的售价应为元，则每件商品的销售利润为元，每天可售出件，利用商场经营该商品一天可获得的利润每件商品的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
根据题意得：

元．
答：商场经营该商品原来一天可获利元；
【小问2详解】
设每件商品的售价应为元，则每件商品的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每件商品的售价应为或元．
27. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是过点作于点，连接，

（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）当或时，为直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由题意得，，，再由含角的直角三角形的性质得， 即可得到；
（2）由，得四边形为菱形，得，进而求得的值；
（3）分、两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
【小问1详解】
证明：由题意可知，，
，，
，
．
， ，
．
【小问2详解】
解：，，
．
，，
四边形为平行四边形，
要使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
当时，四边形为菱形，
【小问3详解】
当时，如图①，

，，
，
四边形为矩形．

，即，
解得，，
当时，如图②，

，
，
∴．
，即，
解得，，
综上所述，当或时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．