宁夏回族自治区石嘴山市大武口区第九中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市大武口区第九中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根
3．二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（2，2）C．（1，2）D．（1，3）
4．用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2=﹣4B．（x﹣3）2=4C．（x+3）2=5D．（x+3）2=±
5．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
6．为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2．若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
A．9％B．10％C．11％D．12.1 ％
7．如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．若点关于坐标原点的对称点是，则点的坐标为 ．
10．若是二次函数，则 ．
11．将二次函数化成顶点式为 ．
12．抛物线与轴有两个交点，则的取值范围为 ．
13．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则方程为 （不解方程）
14．若点在二次函数的图像上，则 ．
15．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则，两点间的距离为 ．

16．二次函数的图像如图所示，①②③④⑤当时，．⑥当时，随的增大而减小，其中正确的是 （填序号）．
三、解答题
17．解方程
(1)
(2)
18．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为
(1)画出关于原点成中心对称的；
(2)画出绕原点逆时针旋转得到的
19．如图，已知二次函数的图像与轴分别交于点和点，与轴交于点
(1)求点点点的坐标；
(2)若是抛物线对称轴上一点，且的面积为6，求点的坐标；
20．现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，求出剪去的小正方形的边长？
21．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有144人被传染患上流感，按这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？
22．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；
(2)当水面上涨1米时，求水面的宽度是多少米？
23．在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在边的延长线上．
(1)求证：；
(2)连接，判断四边形的形状，并说明理由．
24．如图，在中，，点是边上的一个动点，点分别在边上，四边形是矩形．
(1)若设，矩形的面积为，试确定与之间的函数关系式．
(2)当为何值时，有最大值，最大值为多少？
25．某商店经营儿童益智玩具，已知购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨2元，月销售量就减少20件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
26．如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意；
故选：．
2．B
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断根的情况：当时，方程有两个相等实数根；当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程无实数根；该一元二次方程，即有两个不相等实数根，可得答案B．
【详解】解： 一元二次方程 ，
∴判别式 ，
方程有两个不相等的实数根．
故选B
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判断方法是解题的关键．
3．A
【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．
【详解】解：的顶点横坐标是，纵坐标是，
的顶点坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是
4．C
【详解】x2+6x+4=0，
移项，得x2+6x=-4，
配方，得x2+6x+32=－4+32，
即（x+3）2=5．
故选C．
5．B
【详解】解：将的图象向左平移2个单位后得函数的函数图象，
将的图象向下平移3个单位得到的函数图象，
∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
6．B
【分析】设每年的增长率为，则可以根据“住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2”作为相等关系得到方程，解方程即可求解．
【详解】试题解析：设每年的增长率为，根据题意得，
解得或（舍去）
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键．
7．C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵在平面内绕点A旋转到，
∴，
∴，
∴，
∴旋转角的度数为．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，求得的度数是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
B、一次函数中，，二次函数中，，故选项符合题意；
C、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
D、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
故选：B．
9．
【分析】本题考查了在平面直角坐标系中，点关于原点对称时横纵坐标的符号，关于原点对称时，横纵坐标都为相反数，即可解答本题．
【详解】解：∵点关于坐标原点的对称，
∴点的坐标为，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴且，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，利用完全平方公式进行配方即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12．a＞-1且a≠0
【分析】根据抛物线与轴有两个交点，得判别式的值大于零，进而即可得到答案．
【详解】∵抛物线与轴有两个交点，
∴∆=，解得：a＞-1，
又∵a≠0，
∴a＞-1且a≠0．
故答案是：a＞-1且a≠0．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与x轴的交点情况与判别式的值之间的关系，掌握抛物线与轴有两个交点，则判别式的值大于零，是解题的关键．
13．x（x﹣1）=182
【分析】设全组共有x名学生，每一个人赠送x-1件，全组共互赠了x（x-1）件，共互赠了182件，可得到方程．
【详解】设全组共有x名学生，由题意得
x(x−1)=182，
故答案x(x−1)=182.
【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，正确列出方程是解题的关键.
14．
【分析】本题主要考查比较函数值的大小，由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较即可解答，知道当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴函数图开口向下，对称轴为，且在函数图像上距离对称轴越远的点函数值越小，
∵由，离对称轴分别为：2、3，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】通过勾股定理计算出长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出，两点间的距离．
【详解】解：连接．
∵在中，，，，
∴，
将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，
∴，，，
∴，
，
在中，，
∴，两点间的距离为．
故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理和旋转的基本性质，解题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．
16．①③⑤
【分析】本题主要考查二次函数的图像与系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由图可知，开口向上，图像与轴负半轴相交，故，
对称轴，，
，
，则①正确；
图像与轴有两个交点，
，则②错误；
对称轴为，
，则③正确；
由图可知，当时，将带入，
得，则④错误；
由图可知，当时，，则⑤正确；
当时，随的增大，先减小再增大，则⑥错误；
故答案为：①③⑤．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
移项得：，
方程两边同时除以2得：
配方得：
，
两边同时开方得：
解得：
（2）解：
，
或
解得：
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称和旋转，正确根据变换方式找到对应点的位置是解题的关键．
（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转方式找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
19．(1)，，；
(2)．
【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，抛物线与轴，轴的交点，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）分别令，，利用抛物线的解析式解答即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论分别求出线段的长度，设点，利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
令，则，
解得：或，
∴、．
（2）解：二次函数，
∴对称轴是，
∵，，
∴，
设点，则，
解得，
∴点的坐标为．
20．3cm．
【详解】试题分析：设剪去的小正方形的边长为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
试题解析:设剪去的小正方形的边长为xcm，
根据题意得：（20-2x）（10-2x）=56，
整理得：（x-3）（x-12）=0，
解得：x=3或x=12，
经检验x=12不合题意，舍去，
∴x=3，
则剪去小正方形的边长为3cm．
考点: 一元二次方程的应用．
21．若3人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有人
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这种流感的传播速度是一人可传播给x人，则一轮传染以后有人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有人，一个人传染x个人，则第二轮又有人患病，则两轮后有人患病，据此即可通过列方程求出流感的传播速度，然后计算3人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有的人数就可以了．
【详解】解：设这种流感的传播速度是一人可传播给x人，
由题意得： ，解得：，
若3人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有人；
22．(1)；
(2)．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，是现实中的二次函数问题，得出二次函数顶点坐标是解题关键.
（1）由题意可知抛物线的顶点坐标， 设函数关系式为 将已知坐标代入关系式求出的值.
（2）令时求出值即可求出水面的宽度.
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
∴设此桥洞所对应的二次函数关系式为
由图象知该函数过原点，将代入上式, 得:
解得
∴该二次函数解析式为．
（2）解：当 时，，
∴，，
∴水面的宽度米．
23．(1)见解析；
(2)四边形是平行四边形，理由见解析．
【分析】此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的判定和性质．
(1)由于和 都是等腰三角形，易求得，
由旋转的性质即可证得所求的两条线段所在直线的内错角相等，由此得证；
(2)由旋转的性质易知：，且已证得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可判定四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：由旋转性质得
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2） 四边形是平行四边形，
理由如下：
由旋转性质得，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
24．(1)；
(2)，．
【分析】此题主要考查了矩形的面积公式以及锐角三角函数关系，得出矩形面积与的函数关系是解题关键．
（1）利用锐角三角函数关系表示出，的长，进而利用矩形面积求法即可求解；
（2）对二次函数进行配方得，用二次函数最值求法得出即可．
【详解】（1）解：设，
，，
∵四边形是矩形，
∴四边形的面积为： ，
即．
（2）解：∵，
∴当时，矩形的面积最大，最大值为．
25．(1)，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数
(2)每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元
(3)每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元
【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为元，月销售量为件，然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把时代入中，求出x的值即可．
（3）把化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
【详解】（1）依题意得
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数
（2）当时，得，
解得（不合题意，舍去）．
当x=2时，30+x=32．
∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元
（3）
∵a=-10＜0
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5．
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36，y=2720，
当x=7时，30+x=37，y=2720．
∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元
【点睛】本题考查的是一元二次函数在利润型问题中的实际应用，能够依据题意列出函数关系式，并熟练解二次方程及求二次函数最值是解题关键．
26．(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)点的坐标为或，点的坐标为或；
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据条件求出三点坐标，根据即可求解；
（3）根据题意可知时，以为顶点的三角形与全等，设点，分两种情况：当点P在抛物线对称轴右侧时；当点P在抛物线对称轴左侧时分别求解．
【详解】（1）解：把和代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴对称轴，把代入得：，
∴，
令，解得：，∴，
令，则，解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，
设直线与对称轴相交于点M，如图，
把代入直线的解析式为得：，
∴，
∴；
（3）解：
由（2）得：，，，对称轴，
∴，
由题意得：，
则当时，以为顶点的三角形与全等，
设点，
当点P在抛物线对称轴右侧时，，解得，
∴，
∴点，
∴点或；
当点P在抛物线对称轴左侧时，由抛物线对称性可得，，
此时点或；
综上：点的坐标为或，点的坐标为或；