中考数学复习指导：探寻解不等式（组）的数学思想试题

这是一份中考数学复习指导：探寻解不等式（组）的数学思想试题，共4页。试卷主要包含了数形结合思想，转化化归思想，整体思想，分类思想，逆向思维思想，建模思想等内容，欢迎下载使用。

解一元一次不等式组，实际就是求出各个不等式所得解集的公共部分．同学们对于求解相等关系的问题积累了很多经验，但缺乏解决不等关系问题的经验，因此有不少同学对此问题觉得比较棘手，本文列举几道利用不同数学思想方法求解的典型问题进行分析，希望能对同学们的学习有所帮助．
一、数形结合思想
例1 不等式组有5个整数解，则a的取值范围是_______．
解析 由2x＋1<3得x<1，而与x>a有5个整数解，说明在数轴上有公共部分，且公共部分包含的整数点有5个（如图1），即0，－1，－2，－3，－4．
当a＝－4时，－4 当a＝－5时，－5 这里要强调的是x>a作为界点a＝－5仍然成立．
所以，a的取值范围是：
－5≤a<－4．
注 本例涉及到由已知不等式组的解集反求参数a，应注意，在讨论有解无解时应考虑是否包含界点．在讨论解的个数时，往往直观的借助数轴“以形助数”更容易理解．
二、转化化归思想
例2 如果不等式组的解集是0≤x<1，那么a＋b的值是_______．
解析 不等式组的解集是0≤x<1，
原不等式组变形为
由此转化成4－2a≤x<，
与它的解集对比，建立方程
4－2a＝0，＝1，
解得a＝2，b＝－1，
∴a＋b＝1．
注 这种求特定解的情况，一般先求得不等式组的解集，最后转化为相等的关系确定特定解．
三、整体思想
①
②
例3 已知 ，且－1(A)－1(B)０(C)0(D) 解析 本题常规思路是解出x，y（用含k的代数式表示），进而得到x－y关于含k的一个代数式；再代入－1 但仔细观察发现另一种解法．
由②－①得，x－y =1－2k，
∴－1<1－2k<0．
解这个一元一次不等式组，得
故选D．
注 采用整体操作，可以节约时间，减少计算量，因此，我们在学习过程中要注意体会这种思想的运用．
四、分类思想
例4 如果不等式组的解集是x>－1，那么m的值是( )
(A)3 (B)1 (C)－1 (D)－3
解析 由于m的值不确定，2m＋1与m＋2的大小无法比较，因此需要进行分类讨论：
①若2m＋1＝－1，解得m＝－1，那么m＋2＝1，不等式的解集就是x>1，这与已知条件x>－1不相符合，故m≠－1；
②若m＋2＝－1，解得m＝－3，代入2m＋1＝－5，这时不等式组的解集是x>－1，与已知条件相符合．
故选D．
注 分类讨论可以避免漏解情况发生，将各种情况都考虑周到，让思维更加细致严密．
五、逆向思维思想
例5 若不等式组无解，则m的取值范围是_________．
解析 该不等式组无解，说明x2m－1的解集没有公共部分，可以借助数轴，从同学们熟悉的反面入手．
如果此不等式组有解，则有m＋1点在2m－1点的右边，可以得到不等式
m＋1>2m－1，解得m<2，
故得到m的取值范围是m≥2．
注 当问题从正面思考难以入手时，可以考虑从反面思考，常常会找到解决问题的方法．
六、建模思想
例6 解不等式组的解集是_______．
解析 由－x＋4<2解得x>2；
由3x－4≤8解得x≤4．
按照解不等式组的公共解集模型：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（空集）．
所以有：2 注 无论是解二元一次方程组，还是一元一次不等式组，都包含了程序化的操作，有固定模式进行，作为基础知识必须牢固掌握．
例7 若干名学生住宿，若每间住4人，则还有19人无房住；若每间住6人，则还有一间房不空也不满．试求学生人数和宿舍间数．
解析 设有x间宿舍，则有学生(4x＋19)人．
由
解得9.5 由于人数x为整数，故x对应有10，11，12，那么由4x＋19得59，63，67．
注 本例让学生经历了利用不等式组解决实际问题的建模过程，体会到建模思想在解决实际问题中的作用．对同学们以后的学习很有帮助．
在不等式这一章的学习中，还有很多的思想方法需要同学们自己归纳总结，学会用数学的角度去观察、分析、思考现实世界，从而不断提高分析问题，解决问题的能力，培养创新应用意识．