中考数学复习指导：例说信息型一次函数应用题

这是一份中考数学复习指导：例说信息型一次函数应用题，共4页。试卷主要包含了5x－2．等内容，欢迎下载使用。

1 文字信息型
所谓文字信息型问题就是实际问题中的数量关系，是以文字描述的一类问题．解答这类问题的关键是要读懂文字，对文字所提供信息进行分析，去掉干扰信息，合理利用有效信息．
例1 某电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按实际上网时间计费；方式B除收月租费20元外再以每分钟0. 05元的价格按实际上网时间计费．如何选择收费方式能使上网者更合算？
分析从题中所给的文字信息可以看出，两种方式的计费都与上网时间有关，因此确定其上网时间x为自变量，其收费方式的数学模型即是一次函数，分别计算出这两种收费方式的函数关系式，再进行比较即可．
解 设上网时间为x min，若按方式A收费，则费用y1＝0.1x（元）；若按方式B收费，则费用y2＝0.05x＋20（元）．
在同一平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象（如图1）．
根据题意，得
解得
所以，两图象交点为(400，40)．
由图象易知：当0 当x＝400时．有y1＝y2；
当x>400时，有y1>y2．
因此，当一个月内上网时间少于400 min时，选择方式A省钱；当上网时间等于400 min时，选择方式A.方式B没有区别；当上网时间多于400 min时，选择方式B省钱．
说明 本题还可以考虑直接设两种计费的差额为y，写出y随上网时间x变化的函数关系式来解决．
2 表格信息型
所谓表格信息问题，就是实际问题中数量关系是以表格形式描述的问题，要求同学们依据这些信息通过数据整理与分析来解决，解答这类问题的关键是要对表中所给数据所反映出来的信息进行合理地猜测和验证．
例2 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：
(1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的关系式；
(2)如果该出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？
分析表中给出了y与x的一些对应数据，并且已经给出信息“发现这种读物的投入y（元）是印数x（册）的一次函数”，因此，只需选择其中任意两组（如前两组）对应量代入所设的关系式中，就可求出一次函数关系式．
解(1)设一次函数的关系式为y＝kx＋b．根据题意，得
解得
所以所求函数的关系式为y＝x＋16000．
(2)因为48 000＝x＋16000，所以x＝12800．
答：能印该读物12 800册．
说明本题看似给出了四组对应量，其实只需要两组就够了，从计算的角度看，选取中间两组参与计算，稍微简便一些．
3 图形（图象）信息型
所谓图象信息型问题，就是实际问题中数量关系是以图象形式来描述的问题，要求同学们依据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题．解决这类问题的关键是识别图象，善于从图象中捕捉有效信息．
例3 如图2，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，
请根据所给的数据信息，回答下列问题：
(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y (cm)与饭碗数x（个）
之间的一次函数关系式；
(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
分析将图中信息数学化，即是：当饭碗数x＝4时，高度y＝10.5 cm；当饭碗数x＝7时，高度y＝15 cm．
解请同学们自行完成．
说明诸如这类“求高度与个数之间的函数关系”问题，其关键是对所给的图形信息进行数学化，从中捕捉“两组对应量”的信息．
例4某加油站五月份的一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图3中所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
(1)销售量为多少时，销售利润为4万元？
(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大（直接写出答案）?
分析将图象所呈现的信息与所给出的“五月份销售记录”结合起来可得到如下信息：图象中点0、点A.点B.点C的横坐标与纵坐标所表示的实际意义，分别表示1日、13日、15日、31日总的销售量与总的销售利润，另外，点A,B分别给出了13日、15日的总的销售利润，点C给出了31日的总的销售量，OA,AB,BC三段均为线段，说明在各段中“销量利润与销售量之间是一次函数关系”，为此，需要求出点A,B所对应的总的销售量以及点C所对应的销售利润，利用“五月份的销售记录”不难得出．
解 (1)由题意知，当销售利润为4万元，销售量为4÷(5－4) ＝4（万升）．
当销售量x为4万升时，销售利润为4万元．
(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5－4＝1.5，所以销售量为1.5÷(5.5－4)＝1（万升），所以点B的坐标为(5，5.5)．
设线段AB所对应的函数关系式为y＝kx＋b，则，解得．所以线段AB所对应的函数关系式为y＝1.5x－2(4≤x≤5)．
从15日到31日共销售5万升，利润为1×1.5＋4×1＝5.5（万元）．
所以本月销售该油品的利润为5.5＋5.5＝11（万元），则点C的坐标为(10，11)．
设线段BC所对应的函数关系式为y＝mx＋n，则，解得．所以线段BC所对应的函数关系式为y＝1.1x(5≤x≤10)．
(3)线段AB．
说明本题也可以直接利用题中所给出的公式“销售利润＝（售价－成本价）×销售量”来解决．对于OA段来说，其售价为5元／L，成本价为4元／L，则该段的销售利润与销售量之间的函数关系式为y＝(5－4)x，即y＝x；对于AB段来说，其销售价变为了5.5元／L，而其成本价没变，而其销售利润的起点为4万元，销售量的起点为4万升，因此该段的销售利润与销售量之间的函数关系式y＝4＋(5.5－4)×（x－4），即y＝1.5x－2．这与出租车的计费有点类似；对于BC段来说，其销售价为5.5元／升没有改变，但其成本价变为（库存的1万升与15日所进的4万升）＝4.4元，其销售利润的起点为5.5万元，销售量的起点为5万升．因此，该段的销售利润与销售量之间的函数关系为y＝(1.5×5－2)＋(5.5－4.4)（x－5）＝1.1x．另外，仔细分析，不难看出，每段的销售利润率就是其函数关系式中的系数“k”．
由于本题所包含的知识点较多，综合性较强，要求同学们具备阅读、识图、识表能力以及逻辑推理能力和综合分析能力，解决本题的关键就是能准确阅读分析图象以及销售记录表所蕴涵的信息．