中考数学复习指导：例谈“SAS”全等思想在解题中的应用

这是一份中考数学复习指导：例谈“SAS”全等思想在解题中的应用，共6页。试卷主要包含了两个等腰三角形组合型，两正方形组合型，等腰三角形与正方形组合型，等边三角形与菱形组合型等内容，欢迎下载使用。

利用两个特殊多边形的对应边及其夹角相等得到两个三角形全等，这也就是SAS全等思想的应用．运用其模型分析时，一要抓住两对相等的对应边，二要找准等对应边的夹角．下面以近年来的中考试题加以说明．
一、两个等腰三角形组合型
例1 已知：如图1(1)，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°<α<180°)，得到△AB'C'，如图1(2)．
(1)探究DB'与EC'的数量关系，并给予证明；
(2)当DB'∥AE时，试求旋转角α的度数．
评析 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质．题中的两个等腰三角形中隐含着两对对应边相等，易想到利用“SAS”全等模型分析，从而使问题迅速得解，问题(2)也可证∠AEC'＝90°，在Rt△AEC'中，根据csα＝，求得旋转角α＝60°．
二、两正方形组合型
例2如图2，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
(1)求证：EB＝GD；
(2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
(3)若AB＝2，AG＝，求EB的长．
解析 (1)由正方形ABCD和正方形AEFG知：
AG＝AE，AB＝AD．
又∠GAD＝90°＋∠EAD，
评析 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断与性质以及勾股定理，题中的两个正方形中隐含着我们需要的两对相等的对应边，利用“SAS”全等模型分析，易判断出夹角相等，从而完成(1)问，根据(1)的解答才能顺利完成(2)、(3)问．
三、等腰三角形与正方形组合型
例3 如图3(1)，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D，F分别在AB，AC边上，此时BD＝CF，BD上CF成立．
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ角（0°<θ< 90°）时，如图3(2)，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3(2)，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长．
解析 (1)由等腰直角AABC和正方形ADEF知：AB＝AC，AD＝AF；由旋转性质得∠BAD＝∠CAF＝θ．根据“SAS”全等模型可得
评析 此题利用图形的旋转，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识，综合性很强．问题(1)利用“SAS”全等模型易得解，根据(1)中的全等条件，利用其对应角相等并结合条件中的两角和为90°，可证(2)问中的①；第②问利用①中的结论垂直，并结合三角形函数，求得CC的长，最后利用勾股定理得解．
四、等边三角形与菱形组合型
例4已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重台），以AD为边作菱形ADEF(按逆时针排列)，使∠DAF＝60°，连结CF．
(1)如图4(1)，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CF，②AC＝CF＋CD；
(2)如图4(2)，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF＋CD是
否成立？若不成立，请写出AC，CF，CD之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)如图4(3)，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC，CF，CD之间存在的数量关系．
解析 (1)由△ABC是等边三角形，可得
评析 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形性质的应用，题中的三个小问都是利用“SAS”全等模型来解答，可见，利用模型思想给我们解题带来的简便．