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    中考数学复习指导:利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题

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    中考数学复习指导:利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题

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    这是一份中考数学复习指导:利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题,共3页。试卷主要包含了计算距离,找等腰三角形顶点,利用对称性,求平行四边形的顶点,借助平移,分析图形特征求顶点等内容,欢迎下载使用。


    一、计算距离,找等腰三角形顶点
    例1 如图1,抛物线y=-x2+2x+m与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),顶点为D,抛物线对称轴交x轴于点E.问:直线DE右侧的抛物线上是否存在点P,使△PCD为等腰三角形?
    分析 易求得抛物线的解析式为
    y=-x2+2x+3.
    由配方,得抛物线顶点为D(1,4).
    当点P在直线DE右侧的抛物线上时,PC≠CD.
    若PD=CD.
    则点P与点C关于直线DE对称,点P1坐标为(2,3);
    若PC=PD,设点P为(x,-x2+2x+3).
    由PC2=PD2,得x2+3x+1=0.

    代入抛物线解析式求得点P2坐标为(,).
    二、逆用勾股定理,找直角三角形的顶点
    例2 如图2,直角坐标系中,已知点A(-1,0),P(1,4),如果点Q为x轴上一点,△APQ是直角三角形,求点Q的坐标.
    分析 ∠PAQ≠90°,而∠APQ、∠AQP都可能是直角.
    若∠APQ1=90°,则PQ12+AP2=AQ12.
    设点Q2为(x,0),则AQ1=.
    PQ12=(x-1)2+16.
    又∴AP2=22+42=20,
    ∴(x-1)2+16+20=(x+1)2.
    ∴x=9,则点Q1坐标为(9,0);
    若∠AQ2P=90°,则点Q2坐标为(1,0).
    三、利用对称性,求平行四边形的顶点
    例3 如图3,在直角坐标系中,以原点O为圆心,2为半径画圆,点P在⊙O上,且在第一象限内,过点P作⊙O的切线,与x,y轴分别交于点A,B,P为AB中点.问:在⊙O上是否存在点Q,使得以Q,O,A,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,试求出点Q的坐标.
    分析 作PC⊥OA,垂足为C,连结OP.
    则OP=AP=BP=2.
    且∠AOP=∠OAP=45°.
    ∴OC=PC=,点P坐标为(,).
    如果OP是对角线,则作OQ1∥AP,交⊙O于点Q1,连结PQ1(图3(1)).
    由OQ1=2,可知OQ1 AP.
    ∴四边形Q1OAP是平行四边形.
    这时PQ1⊥OB,则点Q1与点P关于y轴对称,坐标为Q1(-,);
    如果OA是对角线,则作OQ2 PA,交⊙O于点Q2,连结AQ2(图3(2)).
    由OQ2=2,可知OQ2 PA.
    ∴四边OQ2AP是平行四边形.
    这时∠AOP=∠OAP=∠AOQ2,因此点Q2与点P关于x轴对称,坐标为
    Q2(,-).
    四、借助平移,分析图形特征求顶点
    例4 如图4,直角坐标系中,已知矩形OABC的顶点A(4,0)、C(0,-2),直线y=-x交边BC于点D.
    (1)二次函数图象经过点A,D,O,求它的解析式;
    (2)在这个二次函数图象上是否存在点M,使以O,D,A,M为顶点的四边形为梯形?
    分析 (1)点D坐标为(3,-2).
    所求的二次函数为;
    (2)如果DO为底边,则平移直线DO,使其经过点A,得直线
    AM1的解析式为:y=
    代入二次函数,解出x1=4(舍去),x2=-1.
    ∴点M1坐标为(-1,).
    这时,AD与M1O不平行,四边形ODAM1为梯形;
    如果AO为底边,则平移直线AO,使其经过点D,得直线DM2为:y=-2(即直线BC).
    同理求出点M2坐标为(1,-2);
    如果AD为底边,则平移直线AD,使其经过点O,得直线OM3为y=2x.
    同理求出点M3坐标为(7,14).
    (图略.)

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