2023-2024学年辽宁省葫芦岛市绥中县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年辽宁省葫芦岛市绥中县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是( )
A. 笛卡尔爱心曲线B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线D. 科赫曲线
2.下列运算正确的是( )
A. 2a2⋅3a=6a3B. (2a)3=2a3C. a6÷a2=a3D. 3a2+2a3=5a5
3.若一个三角形的两边长分别为3cm、5cm，则它的第三边的长可能是( )
A. 1cmB. 2cmC. 6cmD. 8cm
4.在代数式32a，a+b2，−x+14−x，12xy+x2y，4abπ，x2yx中，分式有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
5.如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，平面镜所在点的竖线为y轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部S的坐标是(−1.5,1)，则此时对应的虚像S′的坐标是( )
A. (1.5,−1)B. (1,1.5)C. (1,−1.5)D. (1.5,1)
6.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. a(a+b)=a2+abD. (a+b)(a−b)=a2−b2
7.如图，在△ABC中，∠C=70∘，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2的度数为( )
A. 140∘B. 180∘C. 250∘D. 360∘
8.如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是( )
A. BC=AD，∠ABC=∠BAD
B. BC=AD，AC=BD
C. AC=BO，∠CAB=∠DBA
D. BC=AD，∠CAB=∠DBA
9.已知关于x的方程a2a−x=13的解是x=1，则a的值为( )
A. 2B. 1C. −1D. −2
10.如图，C为线段AE上一动点(不与A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③CP=CQ；④OC平分∠AOE；⑤CO平分∠BCD，恒成立的结论有( )
A. ①②③B. ①②③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一个正多边形的外角与它相邻的内角的度数之比是1：5，则它是正______边形.
12.若分式xx−2有意义，则x的取值范围是______.
13.分解因式：−2a3+8a=______.
14.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25∘，则∠ACB的度数为______.
15.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60∘.BD平分∠ABC，∠BCD>∠CBD，BC=24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：[(x+2y)(x−2y)−(x+4y)2]÷4y；
(2)解方程：3xx−1−5=x2x−2.
17.(本小题9分)
先化简，再求值：(x2−2x+1x2−1−1x+1)÷2x−4x2+x，其中x=(12)−1−(π−2023)0+|−3|.
18.(本小题8分)
如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
19.(本小题8分)
如图，已知：AB=AC，AD=AE.
(1)求证：∠B=∠C
(2)若∠A=70∘，∠B=30∘，求∠BOC的度数.
20.(本小题8分)
随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效.某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：
根据该宣传，求每台新型机器人每天搬运的货物量.
21.(本小题8分)
探索发现：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14…根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)计算：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)；
(2)解方程：1x(x+1)+1(x+1)x+2)+⋯+1(x+2022)x+2023=1x+2023+…+1(x+2022)(x+2023)=1x+2023.
22.(本小题12分)
请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务：多种方法作角的平分线：数学兴趣课上，老师让同学们利用尺规作∠AOB的平分线，同学们以小组为单位展开了讨论.
(1)勤学小组展示了学习过的作法：如图1，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线OP，则OP即为∠AOB的平分线.
(2)善思小组展示了他们的方法：如图2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点E，F；在OA上取一点D，以点D为圆心，OE长为半径作弧，交DA于点G.再以点G为圆心，EF长为半径作弧，两弧交于点H，作射线DH；点D为圆心，DO长为半径作弧交DH于点P，作射线OP，则OP为∠AOB的平分线.
任务：(1)根据勤学小组的作图方法，证明：OP是∠AOB的平分线；
(2)根据善思小组的作图方法，证明：OP是∠AOB的平分线.
23.(本小题12分)
【问题初探】
(1)在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，∠AOB=∠DCE=90∘，OC平分∠AOB，求证：CD=CE.
①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N.以此来证明阴影部分的三角形全等得到CD=CE.
②如图3，小颖同学从平分90∘的条件出发给出另一种解题思路：过C作CF⊥OC，交OB于点F.以此来证明阴影部分的三角形全等得到CD=CE.
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.
【类比分析】
(2)张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答.如图4，∠AOB=2∠DCE=120∘，OC平分∠AOB，求证：CD=CE.
【学以致用】
(3)如图5，在△ABC中，AB=AC，∠A=60∘，D是BC边的中点，∠EDF=120∘，DE与AB边相交于点E，DF与AC边相交于点F.请直接写出线段BE，CF和AB的数量关系.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】
解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C.
2.【答案】A
【解析】解：A、2a2⋅3a=6a3，故A符合题意；
B、(2a)3=8a3，故B不符合题意；
C、a6÷a2=a4，故C不符合题意；
D、3a2与2a3不能合并，故D不符合题意；
故选：A.
根据单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：设第三边的长为x cm，
由三角形的三边关系可得5−3所以它的第三边的长可能是6cm.
故选：C.
根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边．
4.【答案】B
【解析】解：在32a，a+b2，−x+14−x，12xy+x2y，4abπ，x2yx中，分式有32a，−x+14−x，x2yx这3个，
故选：B.
根据分式的定义：形如AB(A、B是整式，B中含有字母)的式子叫做分式，求解可得．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：某时刻火焰顶部S的坐标是(−1.5,1)，则此时对应的虚像S′的坐标是(1.5,1).
故选：D.
利用关于y轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了镜面对称，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：大正方形的面积-小正方形的面积=a2−b2，
矩形的面积=(a+b)(a−b)，
故(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：D.
由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和定理以及邻补角知识点，解答本题的关键是掌握三角形内角和是180∘，本题也可用外角的性质求解．
根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，继而根据邻补角可求出∠1+∠2的值．
【解答】
解：
作∠3、∠4如上图，
∵∠C=70∘，
∴∠3+∠4=180∘−70∘=110∘，
∴∠1+∠2=(180∘−∠3)+(180∘−∠4)=360∘−(∠3+∠4)=250∘.
故选：C.
8.【答案】D
【解析】解：根据图形可得公共边：AB=AB，
A、BC=AD，∠ABC=∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
B、BC=AD，AC=BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
C、AC=BD，∠CAB=∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
D、BC=AD，∠CAB=∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；
故选：D.
根据图形可得公共边AB=AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9.【答案】C
【解析】解：∵关于x的方程a2a−x=13的解是x=1，
∴a2a−1=13，
解得a=−1，
经检验a=−1是方程的解．
故选：C.
将x=1代入方程，即可求a的值．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠BCA=∠DCE=60∘，
∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE.
在△DCA和△ECB中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△DCA≌△ECB(SAS)，
∴AD=BE，
故①正确，符合题意；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60∘，
∴∠BCD=60∘，
∴∠ACB=∠BCQ=60∘，
在△ACP与△BCQ中，
∠CAP=∠CBQAC=BC∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴CP=CQ，
故③正确，符合题意；
∵CP=CQ，∠PCQ=60∘，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60∘，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ//AE，
故②正确，符合题意；
过点C作CH⊥EQ于H，CG⊥DP于G，
∵△DCA≌△ECB，
∴S△DCA=S△ECB，AD=BE，
∴12AD⋅CG=12BE⋅CH，
∴CH=CG，
∴OC平分∠AOE，
故④正确，符合题意；
∵PC=QC，∠AOC=∠EOC，OC=OC，
∴不能说明△POC与△QOC全等，
∴∠BCO≠∠DCO，
故⑤错误，不符合题意；
综上所述，正确的结论有①②③④，
故选：B.
由等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，从而可根据SAS得到△ACD≌△BCE，结合全等三角形的性质可判断①的正误；
由△ACD≌△BCE可得∠CBE=∠DAC，结合∠ACB=∠DCE=60∘、AC=BC可得到△ACP≌△BCQ，结合全等三角形的性质可判断③的正误；
由全等三角形的性质可得到PC=QC，结合∠PCQ=60∘可知△PCQ为等边三角形，因此∠CPQ=60∘，结合平行线的判定可判断②的正误；
根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出CH=CG，根据角平分线的判定定理可判断④其正误；
根据题意无法证明△POC与△QOC全等，据此可判断⑤的正误．
此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
11.【答案】十二
【解析】解：由于这个正多边形的外角与它相邻的内角互补，而这个正多边形的外角与它相邻的内角的度数之比是1：5，
所以这个正多边形的外角的度数为180∘×11+5=30∘，
所以这个正多边形的边数为360∘÷30∘=12，
即这个正多边形为正十二边形．
故答案为：十二．
根据这个正多边形的外角与它相邻的内角互补，求出这个正多边形的外角的度数，再根据外角和是360∘求出边数即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360∘是正确解答的关键．
12.【答案】x≠2
【解析】解：∵分式xx−2有意义，
∴x−2≠0，
解得，x≠2，
故答案为：x≠2.
根据分母不等于零分式有意义，可得答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
13.【答案】−2a(a+2)(a−2)
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=−2a(a2−4)=−2a(a+2)(a−2)，
故答案为−2a(a+2)(a−2).
14.【答案】105∘
【解析】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵∠B=25∘，
∴∠DCB=∠B=25∘，
∴∠ADC=50∘，
∵CD=AC，
∴∠A=∠ADC=50∘，
∴∠ACD=80∘，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80∘+25∘=105∘，
故答案为：105∘.
首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．
本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的做法．
15.【答案】12
【解析】解：在射线BA上截取BE=BC，连接CE，PE，QE，作EF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴BD垂直平分CE，
∴点E与点C关于直线BD对称，
∴CP=EP，
∴CP+PQ=EP+PQ，
∵EP+PQ≥EQ，
∴当EP+PQ=EQ，且EQ的值最小时，EP+PQ的值最小，此时CP+PQ的值最小，
∴当EQ与EF重合，且E、P、Q三点在同一直线上时，CP+PQ的值最小，
∴当CP+PQ取得最小值时，BQ=BF，
∵BE=BC=24，∠ABC=60∘，
∴△EBC是等边三角形，
∴BQ=BF=12BC=12×24=12，
故答案为：12.
在射线BA上截取BE=BC，连接CE，PE，QE，作EF⊥BC于点F，由BD平分∠ABC，得BD垂直平分CE，所以CP=EP，则CP+PQ=EP+PQ，因为EP+PQ≥EQ，所以当EP+PQ=EQ，且EQ的值最小时，此时CP+PQ的值最小，则当EQ与EF重合，且E、P、Q三点在同一直线上时，CP+PQ的值最小，可证明△EBC是等边三角形，则BQ=BF=12BC=12，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)[(x+2y)(x−2y)−(x+4y)2]÷4y
=[x2−4y2−(x2+8xy+16y2)]÷4y
=(x2−4y2−x2−8xy−16y2)÷4y
=(−20y2−8xy)÷4y
=−5y−2x；
(2)3xx−1−5=x2x−2，
3xx−1−5=x2(x−1)，
方程两边同乘2(x−1)，得6x−10(x−1)=x，
6x−10x+10=x，
6x−10x−x=−10，
−5x=−10，
x=2，
检验：当x=2时，2(x−1)≠0
所以分式方程的解是x=2.
【解析】(1)先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后根据多项式除以单项式法则进行计算即可；
(2)方程两边同乘2(x−1)得出6x−10(x−1)=x，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
17.【答案】解：原式=[(x−1)2(x+1)(x−1)−1x+1]⋅x2+x2x−4
=(x−1x+1−1x+1)⋅x2+x2x−4
=x−2x+1⋅x(x+1)2(x−2)
=x2，
当x=(12)−1−(π−2023)0+|−3|=2−1+3=4时，原式=42=2.
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值把x化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、零指数幂和负整数指数幂、绝对值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示：△A′B′C′，即为所求；
(2)如图所示：点P即为所求．
【解析】(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用轴对称求最短路线求法得出P点位置．
此题主要考查了轴对称变换以及最短路径求法，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】(1)证明：在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠A=∠AAE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠B=∠C；
(2)解：∠A=70∘，∠B=30∘，
∴∠BEC=∠A+∠B=100∘，
由(1)得∠C=∠B=30∘，
∴∠BOC=∠BEC+∠C=130∘.
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
(1)由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得结论；
(2)由外角的性质可求解．
20.【答案】解：设每台旧型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台新型机器人每天搬运的货物量为(x+20)吨，
由题意得：960x+20=720x，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴x+20=60+20=80，
答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．
【解析】设每台旧型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台新型机器人每天搬运的货物量为(x+20)吨，根据每台新型机器人搬运960吨货物的时间和每台旧型机器人搬运720吨货物的时间相同，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)
=12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1；
(2)1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+2022)(x+2023)=1x+2023，
1x−1x+1+1x+1−1x+2+...+1x+2022−12023=1x+2023，
1x−1x+2023=1x+2023，
x+2023−x=x，
x=2023，
检验：当x=2023时，x(x+2023)≠0，
所以分式方程的解是x=2023.
【解析】(1)先根据已知算式得出的规律展开，再算加减即可；
(2)先根据已知算式得出的规律展开，再算加减，再求出方程的解，最后进行检验即可．
本题考查了分式的加减，数字的变化类，解分式方程等知识点，能根据已知算式得出的规律展开是解此题的关键．
22.【答案】证明：(1)由作图可知OM=ON，MP=NP，
又∵OP=OP，
∴△MOP≌△NOP(SSS)，
∴∠MOP=∠NOP，
即OP是∠AOB的平分线；
(2)连接EF，GH，
由作图可知DG=OE，DH=OF，GH=EF，
∴△DGH△△OEF(SSS)，
∴∠GDH=∠EOF，
∴DP//OB，
∴∠OPD=∠POB，
又由作图可知DP=DO
∴∠OPD=∠POD，
∴∠POB=∠POD，
即OP是∠AOB的平分线．
【解析】(1)根据SSS证明三角形全等，可得结论；
(2)根据角平分线的定义证明即可．
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】(1)解：①选择小强同学的解题思路，
证明：过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，
∴∠CMD=∠CNE=90∘，
又∵OC平分∠AOB，
∴CM=CN，
在四边形CDOE中，∠DOE=∠DCE=90∘，
∴∠ODC+∠OEC=180∘，
又∠ODC+∠MDC=180∘，
∴∠MDC=∠OEC，
∴△CMD≌△CNE(AAS)，
∴CD=CE，
②选择小颖同学的解题思路，
证明：过点C作CF⊥OC，交OB于点F，
∴∠FCE+∠OCE=90∘，
∵∠DCE=90∘，
∴∠OCD+∠OCE=90∘，
∴∠OCD=∠FCE，
又∵OC平分∠AOB，∠AOB=90∘，∠DOC=∠BOC=12∠AOB=45∘，
∴∠EFC=90∘−∠COE=45∘，
∴∠DOC=∠EFC，∠BOC=∠EFC，
∴CO=CF，
∴△DOC≌△EFC(ASA)，
∴CD=CE；
(2)证明：如图1，
过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，
∴∠CMD=∠CNE=90∘，
又∵OC平分∠AOB，
∴CM=CN，
在四边形CDOE中，
∠AOB=2∠DCE=120∘，∠DCE=60∘，
∴∠CDO+∠CEO=360∘−∠AOB−∠DCE=180∘，
又∵∠CDO+∠CDM=180∘，
∴∠CDM=∠CEO，
∴△CMD≌△CNE(AAS)，
∴CD=CE；
(3)解：如图2，
BE+CF=12AB，理由如下：
取AC的中点G，连接DG，
∴CG=12AC，
∵AB=AC，∠A=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=∠C=60∘，
∵D是BC的中点，
∴CD=12BC，
∴CG=CD，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠DGC=60∘，DG=CD=BD，
∴∠DGC=∠B，
∵∠A+∠EDF=60∘+120∘=180∘，
∴∠AED+∠AFD=180∘，
∵∠BED+∠AED=180∘，
∴∠BED=∠AFD，
∴△BED≌△GFD(AAS)，
∴FG=BE，
∴FG+CF=BE+CF=CG=12AC=12AB.
【解析】(1)①过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，可推出∠CMD=∠CNE=90∘，CM=CN，∠MDC=∠OEC，从而△CMD≌△CNE，从而CD=CE；
②过点C作CF⊥OC，交OB于点F，可证得△DOC≌△EFC，从而CD=CE；
(2)过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，同理①可证得△CMD≌△CNE，从而得出CD=CE；
(3)取AC的中点G，连接DG，可推出△ABC是等边三角形，从而AC=BC，∠B=∠C=60∘，进而证得△CDG是等边三角形，从而∠DGC=60∘，DG=CD=BD，从而∠DGC=∠B，可证得∠AED+∠AFD=180∘，进而得出∠BED=∠AFD，从而△BED≌△GFD，进一步得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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