2022-2023学年辽宁省葫芦岛市绥中县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省葫芦岛市绥中县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届第届冬奥会于年在北京和张家口举办下列四个图案分别是第届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列方程中，是分式方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若点与点关于轴对称，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知，，要使≌，则不符合条件的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于，交于，若，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用元购买甲种水杯的数量和用元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是(    )
平分；
；
点在的垂直平分线上；
．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  当 ______ 时，分式的值为零．

13.  型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病“”表示此类型的口罩能过滤空气中的粒径约为的非油性颗粒，其中，用科学记数法表示为______ ．

14.  化简：______．

15.  如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且已知弹簧在向上滑动的过程中，总有≌，其判定依据是______．

16.  如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，，则的度数是          ．

17.  如图，在中，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接、交于点，则的度数为______．

18.  如图，已知是边长为的等边三角形，点为的中点，动点、同时从、两点出发，分别沿、匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，一个点到达端点时，停止运动设运动时间为，当为______ 时，≌．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算与求值：
计算：；
先化简再求值：，其中．

20.  本小题分
解下列方程：
；
．

21.  本小题分
如图，在和中，点，，，在同一直线上，请你在下列个条件中选个条件作为条件作为题设，余下的个做为结论，写出一个真命题，并证明．
，，，．
题设：______；结论：______填序号

22.  本小题分
已知：如图，锐角的两条高、相交于点，且．
求证：是等腰三角形；
判断点是否在的角平分线上，并说明理由．

 

23.  本小题分
如图，在边长为单位的小正方形组成的网格中我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点，点和点分别在网格的格点上．
分解因式：；
利用已学知识，若，且点在第二象限，点在第四象限，请求出点和点的坐标，并在所给的网格中画出平面直角坐标系；
在的条件下，已知点是点关于直线的对称点，点在直线上，且的面积为，直接写出点的坐标．

24.  本小题分
某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：
信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用元，如果参加的人数能够增加到原来人数的倍，就可以享受优惠，此时只需交费用元；
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少元．
根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？

25.  本小题分
如图所示的正方形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到这个等式，请解答下列问题：

写出图中所表示的数学等式______ ；
根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
利用中得到的结论，解决下面的问题：
若，，则 ______ ；
小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ______ ．

26.  本小题分
如图，在中，，于，于，于．
在图中，是边上的中点，判断和的关系，并说明理由．
在图中，是线段上的任意一点，和的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
在图中，是线段延长线上的点，探究、与的关系．不要求证明，直接写出结果


 

27.  本小题分
如图，在等边三角形中是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形连接．
求证：≌；
试说明的理由；
如图，当图中动点运动到边的延长线上时，仍以为一边，向右作等边三角形，猜想是否仍有？若成立请证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A，，都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据轴对称图形的定义：能够沿一条直线折叠，使直线两旁的部分完全重合的图形叫做轴对称图形，据此判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

2.【答案】 

【解析】解：该方程是一元一次方程，不符合题意；
B.该方程是分式方程，符合题意；
C.该方程是一元一次方程，不符合题意；
D.该方程是二元一次方程，不符合题意；
故选：．
根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．
本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：．
利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项式的法则的掌握与运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
．
故选：．
根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出、的值代入即可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的外角和定理，属于基础题．
利用多边形的外角和是，正多边形的每个外角都是，即可求出答案．
【解答】
解：正多边形的外角和是，，
所以这个正多边形是正十边形．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
解得．
根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，进行计算．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，，即，又由，，根据可判定，故此选项不符合题意；
B、由，，，根据可判定，故此选项不符合题意；
C、由，，，这是两边及一边的对角，不能判定，故此选项符合题意；
D、由，，，根据可判定，故此选项不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定解决此题．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
的周长为：．
故选：．
根据角平分线的定义得到，，平行线的性质得到，，等量代换得到，，根据等腰三角形的判定定理得到，，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，证明，是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元，
依题意得：．
故选：．
设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买甲种水杯的数量和用元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作法得平分，所以正确；
，
，所以正确；
，
，
点在的垂直平分线上，所以正确；
如图，在直角中，，
，
，．
，
：：：，
：：即，故正确．
故选：．
先根据三角形内角和计算出，再利用基本作图对进行判断；利用得到，则可对进行判断；利用得到，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对进行判断．利用度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：


故答案是：．
首先提公因式，然后利用平方差公式即可分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意，得，
解得：，
故答案为：．
根据分式值为零的条件：分子等于零，分母不等于零求解即可．
本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件：分子等于零，分母不等于零是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，点，分别是，的中点，
，
在和中，
．
≌，
故答案为：．
根据全等三角形判定的“”定理即可证得≌．
此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
根据正五边形和等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正多边形内角和，正五边形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，与交于点．

，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
，
．
故答案为
先证明≌，再利用“字型”证明即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“字型”证明角相等，属于中考常考题型．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意得：秒时，，，
在等边中，，
点为的中点，
，
≌，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据题意可得，，再由等边三角形的性质可得，进而得到，再由全等三角形的性质可得，即可求解．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：




；




，
其中，，
原式． 

【解析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子即可；
先算括号内的式子，然后根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后将化简，把的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：
方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解为．

方程两边乘，
得．
解得．
检验：当时，．
原分式方程的解为． 

【解析】方程的两边都乘以，得出，求出这个整式方程的解，再代入进行检验即可；
方程的两边都乘以，得出，求出这个整式方程的解，再代入进行检验即可．
本题考查了分式方程的解法．掌握把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：如图，在和中，点、、、在同一条直线上，
如果 ，，那么．
证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
故答案是：；．
如果联合，利用易证≌，从而可得．
考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握判定两三角形全等的方法：，，，，是直角三角形的还有．
 

22.【答案】证明：，
，
锐角的两条高、相交于点，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；

解：点在的角平分线上．
理由：连接并延长交于，

在和中，

≌．
，
点在的角平分线上． 

【解析】由，即可求得，又由，锐角的两条高、相交于点，根据三角形的内角和等于，即可证得是等腰三角形；
首先连接并延长交于，通过证≌，得到，即点在的角平分线上．
此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及角平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．
 

23.【答案】解：；
，
，
点在第二象限，点在第四象限，
，
解得：，
，
，，
画平面坐标系如下：


解：由知：．
，
，，
直线是线段的垂直平分线，
，
点在直线上，设，
则，
即，
．
或．
或．
或． 

【解析】利用平方差公式因式分解即可；
判断出，的坐标，画出图形即可；
构建方程求解即可．
本题考查因式分解和坐标与图形，根据多项式特征选择正确的分解方法，结合象限求出值是求解本题的关键．
 

24.【答案】解：设原来报名参加的学生有人，
依题意，得，
 解这个方程，得．
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：现在报名参加的学生有人． 

【解析】设原来报名参加的学生有人，根据原来每位同学平均分摊的费用参加活动后的每位同学平均分摊的费用元，列出方程，再进行求解即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键；注意分式方程要检验．
 

25.【答案】     

【解析】解：；
证明：


；
，，




；
故答案为：；
由题可知，所拼图形的面积为：，

，，
，
故答案为：．
根据大正方形的面积等于个正方形和个长方形的面积即可求解；
根据题意，利用整式的乘法进行计算即可求解；
依据，进行计算即可；由题可知，所拼图形的面积为：，利用整式的乘法计算，即可求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式与图形的面积，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
 

26.【答案】解：结论：．
理由：连结则的面积的面积的面积，
即，
，
，

证明：如图，连结．
则的面积的面积的面积，
即，
，
；

，
证明：如图，的面积的面积的面积，
即，
，
．
 

【解析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
连结，根据的面积的面积的面积，从而可得解．
连结，根据的面积的面积的面积，即可得到答案．
根据的面积的面积的面积，从而得解．
 

27.【答案】证明：，，
，，
，
在和中，
，
≌，
证明：≌，
，
又，
，
；
解：结论：，理由：
、为等边三角形，
，，，即，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
． 

【解析】已知的条件有，，我们发现和都是减去一个，因此两三角形全等的条件就都凑齐了；
要证，关键是证，由于，那么关键是证，根据的全等三角形，我们不难得出这两个角相等，也就得出了证平行的条件．
同的思路完全相同，也是通过先证明三角形和全等，得出，又由，得出这两条线段之间的内错角相等，从而得出平行的结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；本题中问实际是告诉解题的步骤，通过全等三角形来得出角相等是解题的关键．