山东省威海市乳山市（五四制）2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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你好！答题前，请仔细阅读以下说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟．
2．不允许使用计算器．
3．本次考试另设10分卷面分．
希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从上面看，一个正方形里面有一个圆且是实线．
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2. 在中，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由tanA==2，设BC=2x，可得AC=x，Rt△ABC中利用勾股定理算出AB=，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA的值．
【详解】解：由tanA==2，设BC=2x，则AC=x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，得AB=，
因此，sinA=，
故选：C．
【点睛】本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．
3. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，得到，
再向上平移个单位，得到的抛物线是，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．
4. 如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，如图所示：
的直径为，
，
由题意得：，，
，
，
积水的深度，
故选：A．
5. 若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y1＞y2＞y3B. y3＞y2＞y1C. y2＞y1＞y3D. y1＞y3＞y2
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论.
【详解】∵点A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数的图象上，
∴，，，
又∵﹣＜＜，
∴y3＜y1＜y2，
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.
6. 从1，2，3，4四个数中任取一个数作为十位上数字，再从2，3，4三个数中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的两位数是3的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，组成的两位数是3的倍数的有4种情况，
∴组成的两位数是3的倍数的概率是：．
故选：B
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据圆内接正六边形的性质求出中心角，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后利用弧长公式即可得．
【详解】图，连接OB、OC，
由题意得：，
正六边形是的内接正六边形，
中心角，
又，
是等边三角形，
，
则的长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握圆内接正六边形的性质是解题关键．
8. 如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是能得出，由题意得，从而得出，设则，由勾股定理得出，求得，即可得出答案．
【详解】如图，
由题意得：，
，
设则，
，
在中，，
，
故选：A．
9. 如图，是的直径，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①的值为定值；②的度数为定值；③的度数始终等于度数的2倍；④若，则．正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，熟记圆中有关观念时解本题的关键．根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．
【详解】解：①由题可得：当点P从点A运动到的中点时，的值在增大，当点P从的中点运动到点B时，的值在减小，
故①错误；
②时直径，
，
的度数为定值，
②正确；
③，
，
，
的度数始终等于度数的2倍，
③正确；
④如图，取的中点，连接，，，则，
，
，
，
，
，
④错误；
正确的结论个数是2个，
故选：C
10. 对于二次函数，y与x的部分对应值如下表：
对于结论：①该抛物线的对称轴是直线；②该抛物线与y轴的交点坐标为；③；④若点在该抛物线上，则．正确的序号是（ ）
A ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象以及性质，需要灵活应用二次函数的性质解决问题，读懂信息是解题的关键，属于中考常考题型．根据表格提供的信息以及二次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：①因为或时，的值都是12，所以对称轴是直线．故①正确；
②因为对称轴是直线，所以点的对称点为，所以该抛物线与轴的交点坐标为．故②正确；
③由表格数据可知，抛物线与轴有交点，所以．故③错误；
④由表格数据可知，抛物线开口向上，对称轴是直线，因为，由表格可知当时，，
所以若点是该抛物线上一点，则．故④正确．
故选：D
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
11. 已知的直径垂直于弦，，则的长是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．利用垂径定理得到，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
【详解】解：如图，
，
，
在中，
，
，
．
故答案为：2
12. 若抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程间的关系“二次函数图象与轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解”，结合列出关于的不等式是解题的关键．结合二次函数与轴的交点横坐标与一元二次方程的联系，用根的判别式列不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：抛物线与轴有两个不同的交点，
关于的方程有两个不同的实数根，
，
，
故答案为：
13. 林业部门要分析一种树苗移植的成活率，对该树苗移植后的成活情况进行了记录，并统计了如下表格：
根据表格信息，可以估计该树苗移植成活的概率是_______．（精确到0.001）
【答案】0.911
【解析】
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.911左右，
故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.911．
故答案为：0.911
14. 如图，菱形中，，交于点，，，则菱形的边长是_________．
【答案】5
【解析】
【分析】通过菱形对角线的性质得出OD的长度，再通过∠DAC的正弦值得出菱形边长．
【详解】∵四边形ABCD菱形，AC与BD交于点O，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴BO=OD=2，
∵sin∠DAC=，
∴=，
∴OD=5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了菱形对角线的性质和锐角三角函数的知识，了解菱形对角线互相垂直平分是解题的关键．
15. 如图，点A，C的坐标分别是，矩形的对角线交于点D，，若反比例函数的图象经过点E，则k的值为______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度．连接，交于，先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，证出四边形是菱形，由菱形的性质得出与互相垂直平分，求出、，得出点的坐标；把点坐标代入求出的值即可．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是矩形，
，，，，
，
四边形是菱形；
连接，交于，如图所示：
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，，
，，
点坐标为：．
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：36
16. 如图，抛物线与交于点A，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则线段BC的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键．设抛物线的对称轴与线段交于点，抛物线的对称轴与线段交于点，由抛物线的对称性结合，即可求出结论．
【详解】解：设抛物线的对称轴为直线与线段交于点，抛物线的对称轴为直线与线段交于点，如图所示．
由抛物线的对称性，可知：，，
．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：原式=

18. 如图，一个圆形钢环靠在台阶直角处，已知台阶高，钢环所在的与地面相切于点A，，求钢环的半径．
【答案】钢环的半径为．
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质、勾股定理，正确计算是解题的关键．连接，作，设钢环的半径为r，根据勾股定理得进而即可求解．
【详解】解：连接，作．
由题意可得，是的切线，
，
为矩形．
设钢环的半径为r，则．
在中，得．
解得．
所以钢环的半径为
19. 某种品牌的护眼罩分为三种型号，分别用A，B，C表示，假设它们被购买者选中的可能性均相同．小明和小强分别购买了一种型号的护眼罩，用列表法或画树状图法，求出小明和小强选择同一种型号护眼罩的概率．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
共有9种等可能结果，小明和小强选择同一种型号护眼罩有3种结果．
所以，P（同一种型号）=
所以，小明和小强选择同一种型号护眼罩的概率是．
20. 水果店销售一种水果，该水果的进价为每千克6元，在试销售的过程中发现，每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）存在如下一次函数关系：
销售单价定为多少元时，水果店每天能获得最大利润？
【答案】当销售单价为15.5元时，水果店每天能获得最大利润．
【解析】
【分析】本题考查二次函数、一次函数的性质，解题的关键是搞清楚利润、销售量、进价、销售价之间的关系，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
根据表中数据用待定系数法求函数解析式即，再根据利润=每件的利润×销售量列出函数解析式，由函数的性质求解即可．
【详解】解：设每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数解析式为，
根据题意得：，
解得：
，
设每天的利润为w元，由题意得

．
，
当时，y有最大值，
所以，当销售单价为15.5元时，水果店每天能获得最大利润
21. 如图，在居民楼前方有一斜坡，斜坡长为，斜坡的倾斜角为，，在C，D处测得楼顶端A的仰角分别为和，求居民楼的高度．
【答案】居民楼的高度为．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．过点作，交的延长线于点，过点作于，过点作于，在中，可得，再利用勾股定理可求出，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，
在中，，，
．
．
由题意可得，，
设，
在中，，
解得，
在中，，
，
，
解得，
经检验，是原方程解且符合题意，
．
答：居民楼的高度为．
22. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的直线PC垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，弦CE平分∠ACB，交AB于点F．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）当∠P＝30°，AB＝10时，求PF的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠ACO，推出AD∥OC，求得OC⊥CD，于是得到直线PC是⊙O的切线；
（2）连接AE，BE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACE＝∠BCE＝45°，求得∠POC＝60°，推出∠CAB＝∠ACO＝30°，证得PC＝PF，得到△OBC是等边三角形，求得PB＝OB＝5，根据相似三角形性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴直线PC是⊙O的切线；
（2）连接AE，BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∵∠P＝30°，∠PCO＝90°，
∴∠POC＝60°，
∴∠CAB＝∠ACO＝30°，
∴∠OCF＝15°，
∴∠PCF＝∠PFC＝75°，
∴PC＝PF，
∵∠BOC＝60°，OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝OP，
∴PB＝OB＝5，
∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAC，
∴△PCB∽△PAC，
∴，
∴PC＝＝5，
∴PF＝5．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23. 如图，点A，B在x轴上，正方形的顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点F在边上，将沿折叠得到，若点G落在y轴上，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，（1）求得的坐标，（2）求得和的长是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得出，进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据勾股定理求得，即可求得，通过证得，求得，从而求得的坐标．
【小问1详解】
设与轴的交于点，
，
，，
四边形正方形，
，
点是的中点，
，
，
，
，
反比例函数为；
小问2详解】
如图，过点作轴于点，
由折叠可知，，，
在中，，
．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
24. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接．
（1）点P在下方的抛物线上，连接，若，求点P的坐标；
（2）点N在线段上，若存在最小值n，求点N的坐标及n的值．
【答案】（1）或；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质、三角形的面积、垂线段最短等知识，综合性很强，难度适宜．
（1）可分别得到点和点的坐标，再代入抛物线解析式，求解得函数关系式，过点作轴的平行线，交于点，设点P的坐标为，则点D的坐标为，再求解即可；
（3）作，垂足为点E，先证得为等腰直角三角形． 可得．． 当点A，N，E共线时，有最小值．最小值n为线段的长． 再求解邓可．
【小问1详解】
将坐标代入抛物线解析式得，，
解得，
抛物线的解析式为：，
令,得，
则,
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
如图，过点P作轴，交于点D．
设点P的坐标为，则点D的坐标为．
∴．
由，得．
解得，．
∴点P的坐标为或；
【小问2详解】
如图，作，垂足为点E．
，
，
，
为等腰直角三角形．
∴．
∴．
当点A，N，E共线时，有最小值．
最小值n为线段的长．
为等腰直角三角形．
，
，
为等腰直角三角形．
，
△为等腰直角三角形．
∴，即点N 的坐标为．
∴．
∴n的值是．
2
12
5
12
树苗数
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
成活树苗数
1862
3487
5343
7234
9108
10931
12752
成活频率
0.931
0.8718
0.8905
0.9043
0.9108
0.9109
0.9109
A
B
C
A
B
C
单价x（元/千克）
10
15
销量y（千克）
30
20