山东省威海市乳山市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

山东省威海市乳山市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．二次函数的最小值是（    ）

A．1 B． C．2 D．

2．在中，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，该几何体的主视图是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知反比例函数的图象经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D．下列结论中错误的是（　　）

A．PA＝PB B．AD＝BD C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB

6．不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（   ）

A． B． C． D．

7．如图，A，B，C为⊙O上三点，若∠ABC＝44°，则∠OAC的度数为（   ）

A．46° B．44° C．40° D．50°

8．二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：

下列说法正确的是（   ）A．抛物线G的开口向下

B．抛物线G的对称轴是直线

C．抛物线G与y轴的交点坐标为(0，4)

D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大

9．我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（　　）（参考数据：，）

A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米

10．已知抛物线经过点，，若，是该抛物线上的两点，且，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．或

二、填空题

11．如图，河坝迎水坡的坡比为，坝高为，则_____ ．

12．如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,则∠BEC=_______°.

13．我市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下移植的成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，成活情况数据统计如下：

估计树苗移植成活的概率是（精确到0.01）_______．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数上的图像上，则k的值为________；

15．如图是某几何体的三视图，主视图和左视图都是等边三角形，依据图中信息，可求得该几何体的表面积是________．

16．如图，矩形ABCD的边DC在x轴上，点B在反比例函数y＝的图象上，点E是AD边上靠近点A的三等分点，连接CE交y轴于点F，则△CDF的面积为_____．

17．计算：=_________．

三、解答题

18．如图是博物馆展出的古代车轮实物．是该车轮的一段圆弧，已知，点C是的中点，，求圆弧（即车轮）的半径．

19．20届年级组董老师为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．

（1）若小蕊同学转动一次A盘，求出她转出红色的概率；

（2）若小津同学同时转动A盘和B盘，请通过列表或者树状图的方式，求出她赢得游戏的概率．

20．济南市响应“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟修建一矩形绿地，绿地一边靠墙，可利用的墙长不超过18米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边AB＝x米，面积为y平方米(如图)．

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)求矩形绿地ABCD的最大面积．

21．在数学活动课上，老师带领学生测量校园旗杆的高度．如图，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为，在C，B之间取点D（C，D，B三点在同一直线上），测得旗杆顶端A的仰角为，已知C，D间距离为，求旗杆的高度（结果保留根号）．

22．如图，是⊙的半径，点是直径上一点，点在的延长线上，连接，使得．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）连接，若，，，求的长．

23．如图，直线，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点A（4，m）．

(1)求该反比例函数的表达式；

(2)将直线沿y轴向上平移n个单位后与反比例函数在第一象队内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若，求n的值．

24．如图，直线与x轴，y轴分别交于点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

(1)求该抛物线的解析式及点P的坐标；

(2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标；

(3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案：

1．D

【分析】根据二次函数的性质直接求取即可得到答案；

【详解】解：∵，

∴当时，二次函数有最小值，

最小值为：，

故选D．

【点睛】本题考查二次函数的性质：当时开口向上有最小值，在对称轴处取得最小，当时开口向下，有最大值，在对称轴处取得最大．

2．A

【分析】利用勾股定理计算出AC长，再利用余弦定义可得答案．

【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，

∴AC＝＝3，

∴cosA＝＝，

故选：A．

【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦定义：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．

3．B

【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置几何体判断出主视图图形即可．

【详解】从正面看所得到的图形为

故选

【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．

4．D

【分析】将（2，3）代入解析式中即可.

【详解】解：将点（2，3）代入解析式得，

，k＝6．

故选:D

【点睛】此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解决此题的关键.

5．D

【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．

【详解】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD．

因此A．B．C都正确．

无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的．

综上可知：只有D是错误的．

故选：D．

【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．

6．B

【分析】利用树状图列举出所有等可能的情况，确定两次记录的数字之和为4的次数，根据概率公式计算得出答案．

【详解】列树状图如下：

共有9种等可能的情况，其中两次记录的数字之和为4的有3种，

∴P（两次记录的数字之和为4）=，

故选：B．

【点睛】此题考查树状图法求事件的概率，概率的计算公式，根据题意正确列举出事件发生的所有可能的情况是解题的关键．

7．A

【分析】先利用圆周角定理求出的度数，然后再利用等腰三角形的性质求出即可．

【详解】解：所对的圆周角是，所对的圆心角是，

，

，

，

故选：A．

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．

8．C

【分析】由表格信息，及二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴，及与x、y轴的交点，继而判断抛物线的开口方向及增减性．

【详解】由表中数据可得，抛物线与y轴交点为：，故C正确；

x轴的交点坐标为：，因此可得抛物线的对称轴为，故B错误；

由上可知，抛物线开口向上，故A错误；

当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故D错误，

故选：C．

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

9．D

【分析】由含30°角的直角三角形的性质得AD=5（千米），再由锐角三角函数定义求出PD、BD的长，即可得出答案．

【详解】解：在Rt△APD中，∠DPA=30°，AP=10千米，∠ADP=90°，cos∠DPA=cos30°=，

∴AD=AP=×10=5（千米），PD=AP•cos30°=10×=5（千米），

在Rt△BPD中，tan∠DPB=tan45°=，

∴BD=PD•tan45°=5×1=5（千米），

∴AB=BD-AD=5-5≈8.5-5=3.5（千米），

故选：D．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．

10．B

【分析】根据抛物线经过点，求出对称轴，根据抛物线性质即可得到答案；

【详解】解：∵抛物线经过点，，

∴，

∵，

∴当时，y随x增大而减小，当，y随x增大而增大，

∵，是该抛物线上的两点，且，

根据对称性可得P点对称点为，

∴，

故选B．

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据与x轴的交点求出对称轴结合抛物线增减性求解．

11．

【分析】根据坡比的定义可知，由此可解．

【详解】解：河坝迎水坡的坡比为，，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握坡比的定义．坡比，即坡面的垂直高度和水平宽度的比，即坡角的正切值．

12．45

【详解】连接OB、OC，

∵O是正方形外接圆的圆心，

∴∠BOC=90°，

∴∠BEC=∠BOC=45°．

13．0.90

【分析】观察表格数据，利用频率估计概率即可．

【详解】解：∵ 大量实验时成活的频率稳定在0.90左右，

∴估计树苗移植成活的概率是0.90．

故答案为：0.90．

【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，掌握在大量重复试验中可以用频率估计概率．

14．-4

【分析】连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，S△OCD=S菱形ABCO=2，再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．

【详解】解：连接AC交OB于D，如图，

∵四边形ABCO为菱形，

∴AC⊥OB，S△OCD=S菱形ABCO=×8=2，

∵CD⊥y轴，

∴S△OCD=|k|，

即|k|=2，

而k＜0，

∴k=-4．

故答案为：-4．

【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了菱形的性质．

15．3π

【分析】先判定该几何体为圆锥，再利用扇形面积公式求出圆锥侧面积，圆的面积公式求出底面面积，相加即可．

【详解】解：由三视图可知该几何体是底面直径为2，高为的圆锥，

∴底面半径为1，

∴底面圆周长为，面积为，

∵高为，

∴圆锥母线长为，

∴圆锥侧面积为，

∴圆锥表面积为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了由常见几何体的三视图判定几何体，根据三视图中数据确定几何体的长宽高等数据，其中会求圆锥的表面积是解题的关键．

16．1

【分析】设矩形的边长，从而可得，，再根据三等分点的定义可得，然后通过证得，利用相似三角形的性质可得，最后根据三角形的面积公式即可得．

【详解】解：设矩形的边长，

∵点在反比例函数的图象上，

∴，

∴，

∵点是边上靠近点的三等分点，

∴，

∵轴，

∴，

∴，即，

解得，

∴，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．

17．1

【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的乘除法与加法法则即可得．

【详解】解：原式

故答案为：1．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．

18．圆弧的半径为75cm．

【分析】根据垂径定理求出，再根据勾股定理得到，代入数值计算即可求出半径．

【详解】解：取所在圆的半径O，连接．

∵C是的中点，，，

∴，

在中，可得．

即．

解得．

所以圆弧的半径为75cm．

【点睛】此题考查了垂径定理及勾股定理，在圆中，通常同时利用垂径定理与勾股定理求半径，弦长及弦心距的长度．

19．（1）；（2）．

【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；

（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果，由表格求得她赢的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】解：（1）∵A盘被分成面积相等的3个扇形，分别是红、黄、蓝，

∴小蕊转出红色的概率是；

（2）∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆角是120°，

∴蓝色区域占整体的，

∴红色区域占整体的，

根据题意列表如下：

由表可知，共有9种等可能结果，其中她赢得游戏的有3种等可能结果，

则她赢得游戏的概率是．

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

20．(1)y=-2x2+36x(9≤x＜18)；

(2)矩形ABCD空地的面积最大为162m2

【分析】(1)根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由0＜36-2x≤18求出自变量x的取值范围即可；

(2)把(1)中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．

【详解】（1）解：由题意可知：BC=36-AB-CD=36-2x，

∴矩形ABCD的面积为：y=x(36-2x)=-2x2+36x，

∵可利用的墙长不超过18米

∴0＜36-2x≤18，

解出：9≤x＜18．

∴y与x之间的函数关系式为y=-2x2+36x(9≤x＜18)；

（2）解：由(1)可知：y=-2x2+36x=-2(x-9)2+162，

∵-2＜0，

∴二次函数的开口向下，

∴当x=9时，y有最大值162，

∴矩形ABCD空地的面积最大为162m2．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

21．旗杆的高度是米．

【分析】作，垂足为E，根据特殊角三角函数即可求出结果．

【详解】解：作，垂足为点E．

在中，，，

∴，．

在中，，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴

答：旗杆的高度是米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．

22．（1）证明见解析；（2）1．

【分析】（1）根据圆周角定理可知．再根据题意可证明，由于是⊙直径，所以．再利用余角的性质，可知，即可证明是⊙的切线．

（2）在中，利用正切可求出．在中，同理可求出．最后利用勾股定理即可求出CF长．

【详解】（1）如图，连接．

，

．

，

．

是⊙直径，

．

．

．

是⊙的切线．

 （2）在中，，，，

，

在中，．

在中，，，，

．

如图，连接BF，

在中，，，，

．

【点睛】

本题考查圆周角定理、切线的判定以及解直角三角形等综合知识．熟练运用圆周角定理证明是解答本题的关键．

23．(1)

(2)2

【分析】（1）先确定出点A坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式；

（2）作BE⊥y轴于E，AF⊥y轴于F，利用三角形相似求出点B坐标，即可根据带等系数法求得平移后的解析式，从而得出结论；

【详解】（1）∵点A（4，m）在上，

∴

∴点

∵点在反比例函数图象上

∴

∴

（2）作BE⊥y轴于E，AF⊥y轴于F

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

代入得

∴

【点睛】此题主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质，解（1）的关键是求出点A的坐标，解（2）的关键是求出点B的坐标，

24．(1)，点P的坐标为；

(2)点E的坐标为；

(3)存在，点N的坐标为，或

【分析】（1）将点，代入，求出b，c，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点；

（2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案；

（3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类边对应成比例列式解方程即可得到答案；

【详解】（1）解：将点，代入得，

，解得：，

∴，

∴，

∴顶点P的坐标为：；

（2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，

设点，则点，

∴，

∴

，

∴当时，的面积有最大值，

此时，点E的坐标为；

（3）解：存在理由如下，

连接，设，

当时，，

解得，，

∴，

∵，，，

∴，

①当时，，

∴，

解得，所以点N的坐标为，

②当时，，

∴，

解得，所以点N的坐标为，

综上所述，点N的坐标为，或．

【点睛】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程．