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北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题14解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路(原卷版+解析)(3大思路)
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这是一份北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题14解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路(原卷版+解析)(3大思路)，共27页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1272" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1272 \h 1
\l "_Tc5321" 【类型一 已知两边对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc5321 \h 1
\l "_Tc13670" 【类型二 已知两角对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc13670 \h 3
\l "_Tc3669" 【类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc3669 \h 6
\l "_Tc4710" 【过关检测】 PAGEREF _Tc4710 \h 9
【典型例题】
【类型一 已知两边对应相等基本解题思路】
已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；
②找第三边对应相等（SSS）.
例题：（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，点，分别在边，上，已知，．求证：．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．
2．（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【类型二 已知两角对应相等基本解题思路】
已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；
②找非夹边的边对应相等（AAS）.
例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．
【变式训练】
1．（2023·福建·福建省福州第十九中学校考一模）如图，点、、，在一条直线上，，，．求证：，
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，，，．求证．
3．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求BC的长．
【类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路】
（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).
（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);
②找另一角对应相等(AAS或ASA).
例题：（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，和中，，，求证：．
【变式训练】
1．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，和中，，，且点C在上，与交于点P．
(1)求证：；
(2)若平分，求证：．
2．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，已知，，点B， E， C， F在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【过关检测】
1．（2023秋·广东肇庆·八年级统考期末）如图，点C是的中点，，，求证：．
2．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，点E，F在上，．求证：．
3．（2023秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，与交于点，连接、、，已知，．
求证：．
4．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．
5．（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
6．（2023春·江苏泰州·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，点A、C、D在同一条直线上，，垂足为C，，点E在上，，连接，．
(1)求证；
(2)写出与的位置关系，并说明理由．
7．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
8．（2022秋·青海西宁·八年级校考期中）如图，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
9．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，点在线段上，，，，延长分别交、于点、．
(1)求证：
(2)若，求的度数．
10．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图1，在中，，点D是线段上一点，过B作交于F，连接，过点C作交于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，若平分，求证：；
(3)如图3，若为的中线，且，求的长．
专题14 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1272" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1272 \h 1
\l "_Tc5321" 【类型一 已知两边对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc5321 \h 1
\l "_Tc13670" 【类型二 已知两角对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc13670 \h 3
\l "_Tc3669" 【类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc3669 \h 6
\l "_Tc4710" 【过关检测】 PAGEREF _Tc4710 \h 9
【典型例题】
【类型一 已知两边对应相等基本解题思路】
已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；
②找第三边对应相等（SSS）.
例题：（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，点，分别在边，上，已知，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，，可得，然后根据，证明，即可．
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据得到，然后证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
2．（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，再由平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
【类型二 已知两角对应相等基本解题思路】
已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；
②找非夹边的边对应相等（AAS）.
例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．
【详解】
证明：在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
∴BC=BD．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·福建·福建省福州第十九中学校考一模）如图，点、、，在一条直线上，，，．求证：，
【答案】见解析．
【分析】由“两直线平行，内错角相等”得，易证，根据全等三角形对应边相等即可得到结论．
【详解】证明：
在与中
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是证明三角形全等．
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，，，．求证．
【答案】见解析
【分析】由可得，由补角的性质可得，然后即可根据证明，再根据全等三角形的性质即可证得结论．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等角的补角相等）．
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
3．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据AAS证明即可；
（2）先根据线段和差可得，从而可得，再根据即可得．
【详解】（1）证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，线段和差，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
【类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路】
（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).
（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);
②找另一角对应相等(AAS或ASA).
例题：（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，和中，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】只需要利用证明即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．
【变式训练】
1．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，和中，，，且点C在上，与交于点P．
(1)求证：；
(2)若平分，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）由，可得，再利用“”即可证明；
（2）在（1）中已有，有，，根据平分，可得，即可证明，问题得证．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵在（1）中已有，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用“”、“”证明三角形全等，是解答本题的关键．
2．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，已知，，点B， E， C， F在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据平行线的性质得出，结合题意，利用证明；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键．
【过关检测】
1．（2023秋·广东肇庆·八年级统考期末）如图，点C是的中点，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定方法，即可证明，根据全等三角形的性质：得出结论．
【详解】解：证明：∵点C是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：，，，，直角三角形还有．
2．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，点E，F在上，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据已知条件可证明，根据全等三角形的性质可得，再由，即可得．
【详解】解：在和中
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
3．（2023秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，与交于点，连接、、，已知，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】根据对顶角相等得到，再证明，所以，根据等边对等角证明，最后根据等式性质即可解答．
【详解】解：在与中，
，
，，
，
，
即．
【点睛】本题主要考查对顶角相等，全等三角形的判定和性质，解题关键是对相应的知识的掌握与应用．
4．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．
【答案】6
【分析】先根据角的加减求出，再根据证明，再求出的值即可．
【详解】∵
∴，
∴
在与中
∴
∴，
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了角的加减和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，由可得，然后即可根据证明，再根据全等三角形的性质即得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．
6．（2023春·江苏泰州·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，点A、C、D在同一条直线上，，垂足为C，，点E在上，，连接，．
(1)求证；
(2)写出与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用直接证明即可；
（2）延长交与点F，利用，可得，由，可得，问题得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2），理由如下．
延长交与点F，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
7．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）先证明，再利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质证明，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，又， ，
∴．
（2），理由如下：
由（1）知，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练的利用证明三角形全等是解本题的关键．
8．（2022秋·青海西宁·八年级校考期中）如图，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据即可判定；
（2）由全等的性质得到对应角相等，然后通过外角的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，，
在和中，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，点在线段上，，，，延长分别交、于点、．
(1)求证：
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明与全等，即可得出结论；
（2）先由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，然后由三角形的外角性质即可得答案．
【详解】（1）解：证明：，
，
在与中，
，
，
；
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
10．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图1，在中，，点D是线段上一点，过B作交于F，连接，过点C作交于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，若平分，求证：；
(3)如图3，若为的中线，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）分别证明，，再结合证明即可；
（2）证明得，再由可得结论；
（3）证明得，从而进一步可得结论．
【详解】（1）如图1中
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）如图2中，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
那么，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3中，作于H．
由（2）可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1272" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1272 \h 1
\l "_Tc5321" 【类型一 已知两边对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc5321 \h 1
\l "_Tc13670" 【类型二 已知两角对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc13670 \h 3
\l "_Tc3669" 【类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc3669 \h 6
\l "_Tc4710" 【过关检测】 PAGEREF _Tc4710 \h 9
【典型例题】
【类型一 已知两边对应相等基本解题思路】
已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；
②找第三边对应相等（SSS）.
例题：（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，点，分别在边，上，已知，．求证：．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．
2．（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【类型二 已知两角对应相等基本解题思路】
已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；
②找非夹边的边对应相等（AAS）.
例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．
【变式训练】
1．（2023·福建·福建省福州第十九中学校考一模）如图，点、、，在一条直线上，，，．求证：，
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，，，．求证．
3．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求BC的长．
【类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路】
（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).
（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);
②找另一角对应相等(AAS或ASA).
例题：（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，和中，，，求证：．
【变式训练】
1．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，和中，，，且点C在上，与交于点P．
(1)求证：；
(2)若平分，求证：．
2．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，已知，，点B， E， C， F在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【过关检测】
1．（2023秋·广东肇庆·八年级统考期末）如图，点C是的中点，，，求证：．
2．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，点E，F在上，．求证：．
3．（2023秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，与交于点，连接、、，已知，．
求证：．
4．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．
5．（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
6．（2023春·江苏泰州·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，点A、C、D在同一条直线上，，垂足为C，，点E在上，，连接，．
(1)求证；
(2)写出与的位置关系，并说明理由．
7．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
8．（2022秋·青海西宁·八年级校考期中）如图，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
9．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，点在线段上，，，，延长分别交、于点、．
(1)求证：
(2)若，求的度数．
10．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图1，在中，，点D是线段上一点，过B作交于F，连接，过点C作交于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，若平分，求证：；
(3)如图3，若为的中线，且，求的长．
专题14 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1272" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1272 \h 1
\l "_Tc5321" 【类型一 已知两边对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc5321 \h 1
\l "_Tc13670" 【类型二 已知两角对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc13670 \h 3
\l "_Tc3669" 【类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路】 PAGEREF _Tc3669 \h 6
\l "_Tc4710" 【过关检测】 PAGEREF _Tc4710 \h 9
【典型例题】
【类型一 已知两边对应相等基本解题思路】
已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；
②找第三边对应相等（SSS）.
例题：（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，点，分别在边，上，已知，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，，可得，然后根据，证明，即可．
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据得到，然后证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
2．（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，再由平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
【类型二 已知两角对应相等基本解题思路】
已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；
②找非夹边的边对应相等（AAS）.
例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．
【详解】
证明：在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
∴BC=BD．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·福建·福建省福州第十九中学校考一模）如图，点、、，在一条直线上，，，．求证：，
【答案】见解析．
【分析】由“两直线平行，内错角相等”得，易证，根据全等三角形对应边相等即可得到结论．
【详解】证明：
在与中
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是证明三角形全等．
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，，，．求证．
【答案】见解析
【分析】由可得，由补角的性质可得，然后即可根据证明，再根据全等三角形的性质即可证得结论．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等角的补角相等）．
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
3．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据AAS证明即可；
（2）先根据线段和差可得，从而可得，再根据即可得．
【详解】（1）证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，线段和差，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
【类型三 已知一边一角对应相等基本解题思路】
（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).
（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);
②找另一角对应相等(AAS或ASA).
例题：（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，和中，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】只需要利用证明即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．
【变式训练】
1．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，和中，，，且点C在上，与交于点P．
(1)求证：；
(2)若平分，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）由，可得，再利用“”即可证明；
（2）在（1）中已有，有，，根据平分，可得，即可证明，问题得证．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵在（1）中已有，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用“”、“”证明三角形全等，是解答本题的关键．
2．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，已知，，点B， E， C， F在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据平行线的性质得出，结合题意，利用证明；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键．
【过关检测】
1．（2023秋·广东肇庆·八年级统考期末）如图，点C是的中点，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定方法，即可证明，根据全等三角形的性质：得出结论．
【详解】解：证明：∵点C是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：，，，，直角三角形还有．
2．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，点E，F在上，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据已知条件可证明，根据全等三角形的性质可得，再由，即可得．
【详解】解：在和中
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
3．（2023秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，与交于点，连接、、，已知，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】根据对顶角相等得到，再证明，所以，根据等边对等角证明，最后根据等式性质即可解答．
【详解】解：在与中，
，
，，
，
，
即．
【点睛】本题主要考查对顶角相等，全等三角形的判定和性质，解题关键是对相应的知识的掌握与应用．
4．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．
【答案】6
【分析】先根据角的加减求出，再根据证明，再求出的值即可．
【详解】∵
∴，
∴
在与中
∴
∴，
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了角的加减和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，由可得，然后即可根据证明，再根据全等三角形的性质即得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．
6．（2023春·江苏泰州·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，点A、C、D在同一条直线上，，垂足为C，，点E在上，，连接，．
(1)求证；
(2)写出与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用直接证明即可；
（2）延长交与点F，利用，可得，由，可得，问题得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2），理由如下．
延长交与点F，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
7．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）先证明，再利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质证明，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，又， ，
∴．
（2），理由如下：
由（1）知，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练的利用证明三角形全等是解本题的关键．
8．（2022秋·青海西宁·八年级校考期中）如图，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据即可判定；
（2）由全等的性质得到对应角相等，然后通过外角的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，，
在和中，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，点在线段上，，，，延长分别交、于点、．
(1)求证：
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明与全等，即可得出结论；
（2）先由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，然后由三角形的外角性质即可得答案．
【详解】（1）解：证明：，
，
在与中，
，
，
；
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
10．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图1，在中，，点D是线段上一点，过B作交于F，连接，过点C作交于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，若平分，求证：；
(3)如图3，若为的中线，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）分别证明，，再结合证明即可；
（2）证明得，再由可得结论；
（3）证明得，从而进一步可得结论．
【详解】（1）如图1中
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）如图2中，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
那么，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3中，作于H．
由（2）可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
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