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北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题10解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法(原卷版+解析)
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这是一份北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题10解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法(原卷版+解析)，共36页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7904" 【典型例题】 PAGEREF _Tc7904 \h 1
\l "_Tc32678" 【考点一 含一个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc32678 \h 1
\l "_Tc18963" 【考点二 含两个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc18963 \h 2
\l "_Tc21374" 【考点三 含多个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc21374 \h 4
\l "_Tc12374" 【考点四 含拐点的平行线在生活上的问题】 PAGEREF _Tc12374 \h 6
\l "_Tc21753" 【过关检测】 PAGEREF _Tc21753 \h 8
【典型例题】
【考点一 含一个拐点的平行线问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【变式训练】
1．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A．B．C．D．
【考点二 含两个拐点的平行线问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【考点三 含多个拐点的平行线问题】
例题：（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．
【变式训练】
1．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【考点四 含拐点的平行线在生活上的问题】
例题：（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线，一块含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，C岛在A岛的北偏东54°的方向上，C岛在B岛的北偏西 36°的方向上，则从C岛看A，B两岛的视角的度数是（ ）
A．72°B．82°C．90°D．100°
二、填空题
5．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
6．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）如图所示，ABCD，若，，则＝________．
7．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在直线、上，，，则与的数量关系________．
8．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
三、解答题
9．（2022春·河北廊坊·七年级统考期中）如图，已知，试判断，和之间的关系，并说明理由．
10．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠B的度数．
11．（2022秋·河南南阳·七年级南阳市第十三中学校校考期末）如图：
(1)若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；
(2)若，如图②，直接写出、与之间的数量关系： ．
(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则 ．
12．（2023秋·山西太原·八年级山西大附中校考期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（依据或数学式）：
解：过点P作，
∵（已知），
∴（______________________________），
∴，（______________________________），
∴______+______（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是______．
（2）应用：如图2，已知，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．
13．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）
(1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出）
14．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
15．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
16．（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
专题10 解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7904" 【典型例题】 PAGEREF _Tc7904 \h 1
\l "_Tc32678" 【考点一 含一个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc32678 \h 1
\l "_Tc18963" 【考点二 含两个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc18963 \h 2
\l "_Tc21374" 【考点三 含多个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc21374 \h 4
\l "_Tc12374" 【考点四 含拐点的平行线在生活上的问题】 PAGEREF _Tc12374 \h 6
\l "_Tc21753" 【过关检测】 PAGEREF _Tc21753 \h 8
【典型例题】
【考点一 含一个拐点的平行线问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【答案】##66度
【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【详解】过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，
（已知），
（平行于同一直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
【考点二 含两个拐点的平行线问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1l2，
∴ABCD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
【考点三 含多个拐点的平行线问题】
例题：（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．
【答案】360
【分析】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，根据平行线的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．
【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：
∵CD∥AB，
∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，
∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，
∴．
故答案为：360．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；
(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【分析】（1）过点E作EMAB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点F作NFAB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点G作GMAB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可．
（1）
解：如图①，过点E作EMAB，
∵ABCD，
∴ABCDEM，
∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，
∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，
即∠1＋∠3＝∠2；
（2）
如图②，过点F作NFAB，
∵ABCD，
∴ABCDFN，
∴∠4＝∠NFH，
由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，
∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，
即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
（3）
如图③，过点G作GMAB，
∵ABCD，
∴ABCDGM，
∴∠5＝∠MGN，
由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，
∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，
即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【考点四 含拐点的平行线在生活上的问题】
例题：（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先过点O作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：如图，过点O作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用与辅助线的作法．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作直线，根据平行线的判定和性质，以及平角的定义即可得解．
【详解】解：过点作直线，交于点F，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判断和性质是解题的关键．遇到拐点问题，通常过拐点作平行线来进行解题．
2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线，一块含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平行线的性质，已知，再根据角的和差，平行公理推论，平行线的性质解得∠2度数，进而得出答案．
【详解】过点B作,
∴，
∵,
∴,
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差，对顶角的性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点过一点作已知直线的平行线辅助线．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点B作长方形边的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出，再解答即可．
【详解】解：过点B作，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴的度数为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，此题的关键是加辅助线，然后利用平行线的性质求解即可．
4．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，C岛在A岛的北偏东54°的方向上，C岛在B岛的北偏西 36°的方向上，则从C岛看A，B两岛的视角的度数是（ ）
A．72°B．82°C．90°D．100°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质结合方位角的表示可得答案．
【详解】解：如图：由题意得，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角和平行线的性质，解题的关键是利用数形结合的思想来解答．
二、填空题
5．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
【答案】
【分析】根据可得，，又因为，所以可得．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．
6．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）如图所示，ABCD，若，，则＝________．
【答案】100度##100°
【分析】过点E作EFAB，可得∠BEF+∠ABE=180°，从而得到∠BEF=60°，再由ABCD，可得∠FEC=∠DCE，从而得到∠FEC=40°，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EFAB，
∵EFAB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EFAB，ABCD，
∴EFCD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=40°，
∴∠FEC=40°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+40°=100°．
故答案为：100°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在直线、上，，，则与的数量关系________．
【答案】
【分析】过点作，根据平行线的性质与已知条件得出，，根据，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点作，则，
，，
，
,
即
∴；即；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
三、解答题
9．（2022春·河北廊坊·七年级统考期中）如图，已知，试判断，和之间的关系，并说明理由．
【答案】=+
【分析】先做辅助线，再根据“两直线平行，内错角相等”证出=，=，从而求出=+．
【详解】解：过点E作，
∵，
∴．
∴=，=．
∵=+，
∴=+．
故=+．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是通过“两直线平行，内错角相等”求出角的关系．
10．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠B的度数．
【答案】103°
【分析】过B作BDAE，由AECF可知BDCF，再根据平行线的性质可求出∠ABD和∠CBD，进而求出∠ABC．
【详解】解：如图，过B作BDAE，
∵AECF，
∴BDCF，
∴∠A＝∠ABD＝76°，∠DBC＋∠C＝180°，
∵∠C＝153°，
∴∠DBC＝27°，
则∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝76°+27°＝103°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和角的计算．
11．（2022秋·河南南阳·七年级南阳市第十三中学校校考期末）如图：
(1)若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；
(2)若，如图②，直接写出、与之间的数量关系： ．
(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则 ．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点作；通过平行线的性质倒角即可；
（2）过点作；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；
（3）由（2）中的结论计算即可；
【详解】（1）解：；理由如下：
如图，过点作；
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）解：；理由如下：
如图，过点作；
∵
∴
∴，
∴
（3）解：由（2）可知：
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质以及传递性；熟练运用平行线的性质转化角是解题的关键．
12．（2023秋·山西太原·八年级山西大附中校考期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（依据或数学式）：
解：过点P作，
∵（已知），
∴（______________________________），
∴，（______________________________），
∴______+______（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是______．
（2）应用：如图2，已知，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点P作，由平行线的传递性得，然后根据两直线平行内错角相等即可解答；
（2）过点P作，由平行线的传递性得，然后根据两直线平行同位角相等即可解答；．
【详解】解：（1）过点P作，
∵（已知），
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴，（两直线平行，内错角相等），
∴（等式的性质）．
即，∠A，∠C之间的数量关系是：．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；，； ；
（2）过点E作，如图，
∵（已知），
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
13．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）
(1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出）
【答案】(1)65°
(2)见解析
(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4
【分析】（l）过P作PE∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；
（2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；
（3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
（1）
解：过P作PE∥l1
∵l1∥l2
∴PE∥l2∥l1
∴∠A=∠1，∠B=∠2
∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°
即∠A+∠B=65°；
（2）
证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4
∵l1∥l2
∴l1∥l2∥l3∥l4
∵l1∥l3（已知）
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∵l3∥l4（已知）
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
∵l2∥l4（已知）
∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°
又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q
∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．
（3）
解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，
∵，
∴
∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，
∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，
∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．
【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
14．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；
（2）过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出的度数；
（3）过点E作AB的平行线，过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n个折点的结论；
【详解】解：（1）如图1：，
如图2：，
如图3：，
如图1说明理由如下：
∵，
∴，
∴，
即；
（2）如下图：
过F作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（3）如下图：，
过E作，过F作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
即；
综上所述：
由当平行线AB与CD间没有点的时候，，
当A、C之间加一个折点F时，；
当A、C之间加二个折点E、F时，则；
以此类推，如图5，，
当、之间加三个折点时，
则；
…
当、之间加n个折点时，
则，
即的度数是．
【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．
15．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）与、之间的数量关系为：或
【分析】（1）过点P作PE与AB平行，继而根据的性质进行推导即可得；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形分两种情况点在的延长线上，点在的延长线上，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，
如图所示：
，
，平行于同一条直线的两条直线平行
，，两直线平行同旁内角互补
，，
，，
．
（2），理由如下：
如图所示，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示：
过作交于，
同（2）可知：，，
；
当在延长线时，如图所示：
同（2）可知：，，
．
综上所述，与、之间的数量关系为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
16．（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7904" 【典型例题】 PAGEREF _Tc7904 \h 1
\l "_Tc32678" 【考点一 含一个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc32678 \h 1
\l "_Tc18963" 【考点二 含两个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc18963 \h 2
\l "_Tc21374" 【考点三 含多个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc21374 \h 4
\l "_Tc12374" 【考点四 含拐点的平行线在生活上的问题】 PAGEREF _Tc12374 \h 6
\l "_Tc21753" 【过关检测】 PAGEREF _Tc21753 \h 8
【典型例题】
【考点一 含一个拐点的平行线问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【变式训练】
1．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A．B．C．D．
【考点二 含两个拐点的平行线问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【考点三 含多个拐点的平行线问题】
例题：（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．
【变式训练】
1．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【考点四 含拐点的平行线在生活上的问题】
例题：（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线，一块含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，C岛在A岛的北偏东54°的方向上，C岛在B岛的北偏西 36°的方向上，则从C岛看A，B两岛的视角的度数是（ ）
A．72°B．82°C．90°D．100°
二、填空题
5．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
6．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）如图所示，ABCD，若，，则＝________．
7．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在直线、上，，，则与的数量关系________．
8．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
三、解答题
9．（2022春·河北廊坊·七年级统考期中）如图，已知，试判断，和之间的关系，并说明理由．
10．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠B的度数．
11．（2022秋·河南南阳·七年级南阳市第十三中学校校考期末）如图：
(1)若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；
(2)若，如图②，直接写出、与之间的数量关系： ．
(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则 ．
12．（2023秋·山西太原·八年级山西大附中校考期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（依据或数学式）：
解：过点P作，
∵（已知），
∴（______________________________），
∴，（______________________________），
∴______+______（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是______．
（2）应用：如图2，已知，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．
13．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）
(1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出）
14．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
15．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
16．（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
专题10 解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7904" 【典型例题】 PAGEREF _Tc7904 \h 1
\l "_Tc32678" 【考点一 含一个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc32678 \h 1
\l "_Tc18963" 【考点二 含两个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc18963 \h 2
\l "_Tc21374" 【考点三 含多个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc21374 \h 4
\l "_Tc12374" 【考点四 含拐点的平行线在生活上的问题】 PAGEREF _Tc12374 \h 6
\l "_Tc21753" 【过关检测】 PAGEREF _Tc21753 \h 8
【典型例题】
【考点一 含一个拐点的平行线问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【答案】##66度
【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【详解】过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，
（已知），
（平行于同一直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
【考点二 含两个拐点的平行线问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1l2，
∴ABCD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
【考点三 含多个拐点的平行线问题】
例题：（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．
【答案】360
【分析】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，根据平行线的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．
【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：
∵CD∥AB，
∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，
∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，
∴．
故答案为：360．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；
(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【分析】（1）过点E作EMAB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点F作NFAB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点G作GMAB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可．
（1）
解：如图①，过点E作EMAB，
∵ABCD，
∴ABCDEM，
∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，
∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，
即∠1＋∠3＝∠2；
（2）
如图②，过点F作NFAB，
∵ABCD，
∴ABCDFN，
∴∠4＝∠NFH，
由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，
∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，
即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
（3）
如图③，过点G作GMAB，
∵ABCD，
∴ABCDGM，
∴∠5＝∠MGN，
由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，
∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，
即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【考点四 含拐点的平行线在生活上的问题】
例题：（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先过点O作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：如图，过点O作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用与辅助线的作法．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作直线，根据平行线的判定和性质，以及平角的定义即可得解．
【详解】解：过点作直线，交于点F，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判断和性质是解题的关键．遇到拐点问题，通常过拐点作平行线来进行解题．
2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线，一块含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平行线的性质，已知，再根据角的和差，平行公理推论，平行线的性质解得∠2度数，进而得出答案．
【详解】过点B作,
∴，
∵,
∴,
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差，对顶角的性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点过一点作已知直线的平行线辅助线．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点B作长方形边的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出，再解答即可．
【详解】解：过点B作，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴的度数为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，此题的关键是加辅助线，然后利用平行线的性质求解即可．
4．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，C岛在A岛的北偏东54°的方向上，C岛在B岛的北偏西 36°的方向上，则从C岛看A，B两岛的视角的度数是（ ）
A．72°B．82°C．90°D．100°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质结合方位角的表示可得答案．
【详解】解：如图：由题意得，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角和平行线的性质，解题的关键是利用数形结合的思想来解答．
二、填空题
5．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
【答案】
【分析】根据可得，，又因为，所以可得．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．
6．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）如图所示，ABCD，若，，则＝________．
【答案】100度##100°
【分析】过点E作EFAB，可得∠BEF+∠ABE=180°，从而得到∠BEF=60°，再由ABCD，可得∠FEC=∠DCE，从而得到∠FEC=40°，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EFAB，
∵EFAB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EFAB，ABCD，
∴EFCD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=40°，
∴∠FEC=40°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+40°=100°．
故答案为：100°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在直线、上，，，则与的数量关系________．
【答案】
【分析】过点作，根据平行线的性质与已知条件得出，，根据，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点作，则，
，，
，
,
即
∴；即；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
三、解答题
9．（2022春·河北廊坊·七年级统考期中）如图，已知，试判断，和之间的关系，并说明理由．
【答案】=+
【分析】先做辅助线，再根据“两直线平行，内错角相等”证出=，=，从而求出=+．
【详解】解：过点E作，
∵，
∴．
∴=，=．
∵=+，
∴=+．
故=+．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是通过“两直线平行，内错角相等”求出角的关系．
10．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠B的度数．
【答案】103°
【分析】过B作BDAE，由AECF可知BDCF，再根据平行线的性质可求出∠ABD和∠CBD，进而求出∠ABC．
【详解】解：如图，过B作BDAE，
∵AECF，
∴BDCF，
∴∠A＝∠ABD＝76°，∠DBC＋∠C＝180°，
∵∠C＝153°，
∴∠DBC＝27°，
则∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝76°+27°＝103°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和角的计算．
11．（2022秋·河南南阳·七年级南阳市第十三中学校校考期末）如图：
(1)若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；
(2)若，如图②，直接写出、与之间的数量关系： ．
(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则 ．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点作；通过平行线的性质倒角即可；
（2）过点作；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；
（3）由（2）中的结论计算即可；
【详解】（1）解：；理由如下：
如图，过点作；
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）解：；理由如下：
如图，过点作；
∵
∴
∴，
∴
（3）解：由（2）可知：
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质以及传递性；熟练运用平行线的性质转化角是解题的关键．
12．（2023秋·山西太原·八年级山西大附中校考期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（依据或数学式）：
解：过点P作，
∵（已知），
∴（______________________________），
∴，（______________________________），
∴______+______（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是______．
（2）应用：如图2，已知，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点P作，由平行线的传递性得，然后根据两直线平行内错角相等即可解答；
（2）过点P作，由平行线的传递性得，然后根据两直线平行同位角相等即可解答；．
【详解】解：（1）过点P作，
∵（已知），
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴，（两直线平行，内错角相等），
∴（等式的性质）．
即，∠A，∠C之间的数量关系是：．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；，； ；
（2）过点E作，如图，
∵（已知），
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
13．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）
(1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出）
【答案】(1)65°
(2)见解析
(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4
【分析】（l）过P作PE∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；
（2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；
（3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
（1）
解：过P作PE∥l1
∵l1∥l2
∴PE∥l2∥l1
∴∠A=∠1，∠B=∠2
∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°
即∠A+∠B=65°；
（2）
证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4
∵l1∥l2
∴l1∥l2∥l3∥l4
∵l1∥l3（已知）
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∵l3∥l4（已知）
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
∵l2∥l4（已知）
∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°
又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q
∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．
（3）
解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，
∵，
∴
∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，
∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，
∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．
【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
14．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；
（2）过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出的度数；
（3）过点E作AB的平行线，过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n个折点的结论；
【详解】解：（1）如图1：，
如图2：，
如图3：，
如图1说明理由如下：
∵，
∴，
∴，
即；
（2）如下图：
过F作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（3）如下图：，
过E作，过F作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
即；
综上所述：
由当平行线AB与CD间没有点的时候，，
当A、C之间加一个折点F时，；
当A、C之间加二个折点E、F时，则；
以此类推，如图5，，
当、之间加三个折点时，
则；
…
当、之间加n个折点时，
则，
即的度数是．
【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．
15．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）与、之间的数量关系为：或
【分析】（1）过点P作PE与AB平行，继而根据的性质进行推导即可得；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形分两种情况点在的延长线上，点在的延长线上，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，
如图所示：
，
，平行于同一条直线的两条直线平行
，，两直线平行同旁内角互补
，，
，，
．
（2），理由如下：
如图所示，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示：
过作交于，
同（2）可知：，，
；
当在延长线时，如图所示：
同（2）可知：，，
．
综上所述，与、之间的数量关系为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
16．（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．
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