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北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题15全等模型专题：全等三角形中的常见解题模型(原卷版+解析)(4大模型)
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这是一份北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题15全等模型专题：全等三角形中的常见解题模型(原卷版+解析)(4大模型)，共37页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5471" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5471 \h 1
\l "_Tc27187" 【模型一 四边形中构造全等三角形解题】 PAGEREF _Tc27187 \h 1
\l "_Tc27897" 【模型二 一线三等角模型】 PAGEREF _Tc27897 \h 5
\l "_Tc7444" 【模型三 三垂直模型】 PAGEREF _Tc7444 \h 12
\l "_Tc28398" 【模型四 倍长中线模型】 PAGEREF _Tc28398 \h 19
【典型例题】
【模型一 四边形中构造全等三角形解题】
例题：（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？
【模型二 一线三等角模型】
例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
2．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．
(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：
①如图1，若，，求证：；
②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．
3．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）问题背景：
(1)如图1，已知中，，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：．
拓展延伸：
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请写出、、三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：
(3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．
(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．
【模型三 三垂直模型】
例题：（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知．
(1)求证：；
(2)求的长．
【变式训练】
1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
2．（2023春·七年级单元测试）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）
【模型四 倍长中线模型】
例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1)求a，b的值；
(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
2．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
(1)如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
(2)如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
3．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)为什么？写出推理过程；
(2)求出的取值范围；
(3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．
4．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读理解
在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．
如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；
类比应用
如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新
如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．
专题15 全等模型专题：全等三角形中的常见解题模型
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5471" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5471 \h 1
\l "_Tc27187" 【模型一 四边形中构造全等三角形解题】 PAGEREF _Tc27187 \h 1
\l "_Tc27897" 【模型二 一线三等角模型】 PAGEREF _Tc27897 \h 5
\l "_Tc7444" 【模型三 三垂直模型】 PAGEREF _Tc7444 \h 12
\l "_Tc28398" 【模型四 倍长中线模型】 PAGEREF _Tc28398 \h 19
【典型例题】
【模型一 四边形中构造全等三角形解题】
例题：（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？
【答案】(1)见解析；
(2)CE+BG=EG，理由见解析；
(3)当∠EDG=90°-α时，（2）中结论仍然成立．
【解析】
【分析】
（1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．
（2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可．
（3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可．
(1)
证明：，，，
，
又，
，
在和中，
，
．
(2)
解：如图，连接，
猜想、、之间的数量关系为：．
证明：在和中，
，
，
，
又，
，，
由（1），可得，
，
，
即，
，
在和中，
，
，
又，，
；
(3)
解：要使仍然成立，
则，
即，
当时，仍然成立．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．
【模型二 一线三等角模型】
例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ．
【答案】探究：见解析；应用：6
【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；
应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．
【详解】探究
证明：∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴；
应用
解：∵，
∴，
∴，
∵，的面积为9，
∴，
∴与的面积之和为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
【答案】(1)见解析
(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
(1)
证明：在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE．
(2)
解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．
2．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．
(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：
①如图1，若，，求证：；
②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．
【答案】(1)①见解析；②，见解析
(2)不成立，，见解析
【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到，证明≌即可；②利用三等角模型及互补证明，得到≌即可；
（2）利用互补的性质得到，证明≌即可．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴；
②解：．
证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴；
（2）解：．
理由：∵，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．
3．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）问题背景：
(1)如图1，已知中，，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：．
拓展延伸：
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请写出、、三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：
(3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)数量关系DE=BD＋CE，理由见解析
(3)点B的坐标为
【分析】（1）根据等腰三角形性质可以得到，，再用角度等量代换，可以证得，从而证得≌，得到，，用等量代换证得结论．
（2）同问题1，也可以证明≌，得到，，用等量代换证得结论DE=BD＋CE；
（3）如图，作轴于E，轴于F，由（1）可知，≌，然后根据上述结论可以直接写出B点坐标为 ．
【详解】（1）证明：∵⊥直线m，直线m，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴，
即：．
（2）解：数量关系．
理由如下：
在中，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴；
（3）如图，作轴于E，轴于F，由（1）可知，≌，
，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为．
【点睛】本题考查了三角形全等的运用，利用三角形的全等来解决几何问题，找到对应边，合理利用等量代换是解题的关键．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．
(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE
(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析
(3)△FBD与△ACE的面积之和为4
【解析】
【分析】
（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．
(1)
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
(2)
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
(3)
解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴S△ABD＝S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h，
∵BC＝3BF，
∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，
∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
【模型三 三垂直模型】
例题：（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）根据垂直及各角之间的等量代换得出，再由全等三角形的判定即可证明；
（2）由题意得：，再由全等三角形的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得：，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
在和中
，
∴；
（2）解：由题意得：，
由（1）得，
∴．
∴，
答：的长为．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE．
(1)
∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
(2)
证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
(3)
∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
2．（2023春·七年级单元测试）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）①由垂直关系可得，则由即可证明；②由的性质及线段和的关系即可证得结论；
（2）由垂直可得，则由可证明，由全等三角形的性质及线段差的关系即可证得结论；
（3）由垂直可得，则由可证得，由全等三角形的性质及线段的和差关系即可得到三线段间的关系．
【详解】（1）如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，互余的性质等知识，证明两个三角形全等是问题的关键．
3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）
【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．
【解析】
【分析】
（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；
（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．
【详解】
（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
②EF＝AE+BF；
证明：在△EAC和△FCB中，
，
∴△EAC≌△FCB（AAS），
∴CE＝BF，AE＝CF，
∴EF＝CE+CF＝AE+BF，
即EF＝AE+BF；
（2）①当AD＞BD时，如图①，
∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，
同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），
又∵AC＝BC，BF⊥l直线
即∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，CE＝BF，
∵CF＝CE+EF＝BF+EF，
∴AE＝BF+EF；
②当AD＜BD时，如图②，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，
同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），
又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∵CE＝CF+EF＝AE+EF，
∴BF＝AE+EF．
【点睛】
本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．
【模型四 倍长中线模型】
例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围．
【答案】
【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
∵为中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1)求a，b的值；
(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
【答案】(1)，
(2)2【解析】
【分析】
（1）把展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；
（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．
(1)
解：∵
，
根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
∴，解得：；
(2)
解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，
∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，
在△CDB和△HDA中，
∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，
∴△CDB≌△HDA（SAS），
∴BC=AH=a=6，
在△ACH中，AC-AH∴10-6<2CD<10+6，
∴2【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．
2．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
(1)如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
(2)如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD＝BC，理由见解析
【分析】（1）运用“”即可证明△ACD≌△EBD；
（2）根据（1）方式作出辅助线，根据全等三角形的性质证明ACBE，然后再证明△BAC≌△ABE即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）AD与BC的数量关系为：AD＝BC，理由如下：
延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图2所示：
同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，
∴ACBE，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ABE＝90°，
在△BAC和△ABE中，
，
∴△BAC≌△ABE（SAS），
∴BC＝AE，
∵AD＝DE＝AE，
∴AD＝BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂题意，掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解本题的关键．
3．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)为什么？写出推理过程；
(2)求出的取值范围；
(3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得．
【详解】（1）解：∵是中线，
∴，
延长到，使，且，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
在中，，，
∴，即，
∴．
（3）证明：如图，延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
4．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读理解
在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．
如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；
类比应用
如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新
如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．
【答案】阅读理解：
类比应用：
拓展创新：
【分析】阅读理解：由全等的性质推出，再根据，可得结论．
类比应用：延长，交于点F，先证得，再由是的平分线知，从而得，据此知，结合可得答案．
拓展创新：延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．
【详解】阅读理解：由题可知，，
∴．
∵，．
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
类比应用：．理由如下：
如图1，延长，交于点．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
拓展创新：如图2，延长，交于点．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，三角形三边关系等知识点，综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5471" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5471 \h 1
\l "_Tc27187" 【模型一 四边形中构造全等三角形解题】 PAGEREF _Tc27187 \h 1
\l "_Tc27897" 【模型二 一线三等角模型】 PAGEREF _Tc27897 \h 5
\l "_Tc7444" 【模型三 三垂直模型】 PAGEREF _Tc7444 \h 12
\l "_Tc28398" 【模型四 倍长中线模型】 PAGEREF _Tc28398 \h 19
【典型例题】
【模型一 四边形中构造全等三角形解题】
例题：（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？
【模型二 一线三等角模型】
例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
2．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．
(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：
①如图1，若，，求证：；
②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．
3．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）问题背景：
(1)如图1，已知中，，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：．
拓展延伸：
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请写出、、三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：
(3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．
(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．
【模型三 三垂直模型】
例题：（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知．
(1)求证：；
(2)求的长．
【变式训练】
1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
2．（2023春·七年级单元测试）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）
【模型四 倍长中线模型】
例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1)求a，b的值；
(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
2．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
(1)如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
(2)如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
3．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)为什么？写出推理过程；
(2)求出的取值范围；
(3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．
4．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读理解
在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．
如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；
类比应用
如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新
如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．
专题15 全等模型专题：全等三角形中的常见解题模型
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5471" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5471 \h 1
\l "_Tc27187" 【模型一 四边形中构造全等三角形解题】 PAGEREF _Tc27187 \h 1
\l "_Tc27897" 【模型二 一线三等角模型】 PAGEREF _Tc27897 \h 5
\l "_Tc7444" 【模型三 三垂直模型】 PAGEREF _Tc7444 \h 12
\l "_Tc28398" 【模型四 倍长中线模型】 PAGEREF _Tc28398 \h 19
【典型例题】
【模型一 四边形中构造全等三角形解题】
例题：（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？
【答案】(1)见解析；
(2)CE+BG=EG，理由见解析；
(3)当∠EDG=90°-α时，（2）中结论仍然成立．
【解析】
【分析】
（1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．
（2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可．
（3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可．
(1)
证明：，，，
，
又，
，
在和中，
，
．
(2)
解：如图，连接，
猜想、、之间的数量关系为：．
证明：在和中，
，
，
，
又，
，，
由（1），可得，
，
，
即，
，
在和中，
，
，
又，，
；
(3)
解：要使仍然成立，
则，
即，
当时，仍然成立．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．
【模型二 一线三等角模型】
例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ．
【答案】探究：见解析；应用：6
【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；
应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．
【详解】探究
证明：∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴；
应用
解：∵，
∴，
∴，
∵，的面积为9，
∴，
∴与的面积之和为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
【答案】(1)见解析
(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
(1)
证明：在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE．
(2)
解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．
2．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．
(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：
①如图1，若，，求证：；
②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．
【答案】(1)①见解析；②，见解析
(2)不成立，，见解析
【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到，证明≌即可；②利用三等角模型及互补证明，得到≌即可；
（2）利用互补的性质得到，证明≌即可．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴；
②解：．
证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴；
（2）解：．
理由：∵，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．
3．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）问题背景：
(1)如图1，已知中，，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：．
拓展延伸：
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请写出、、三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：
(3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)数量关系DE=BD＋CE，理由见解析
(3)点B的坐标为
【分析】（1）根据等腰三角形性质可以得到，，再用角度等量代换，可以证得，从而证得≌，得到，，用等量代换证得结论．
（2）同问题1，也可以证明≌，得到，，用等量代换证得结论DE=BD＋CE；
（3）如图，作轴于E，轴于F，由（1）可知，≌，然后根据上述结论可以直接写出B点坐标为 ．
【详解】（1）证明：∵⊥直线m，直线m，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴，
即：．
（2）解：数量关系．
理由如下：
在中，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴；
（3）如图，作轴于E，轴于F，由（1）可知，≌，
，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为．
【点睛】本题考查了三角形全等的运用，利用三角形的全等来解决几何问题，找到对应边，合理利用等量代换是解题的关键．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．
(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE
(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析
(3)△FBD与△ACE的面积之和为4
【解析】
【分析】
（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．
(1)
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
(2)
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
(3)
解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴S△ABD＝S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h，
∵BC＝3BF，
∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，
∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
【模型三 三垂直模型】
例题：（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）根据垂直及各角之间的等量代换得出，再由全等三角形的判定即可证明；
（2）由题意得：，再由全等三角形的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得：，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
在和中
，
∴；
（2）解：由题意得：，
由（1）得，
∴．
∴，
答：的长为．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE．
(1)
∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
(2)
证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
(3)
∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
2．（2023春·七年级单元测试）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）①由垂直关系可得，则由即可证明；②由的性质及线段和的关系即可证得结论；
（2）由垂直可得，则由可证明，由全等三角形的性质及线段差的关系即可证得结论；
（3）由垂直可得，则由可证得，由全等三角形的性质及线段的和差关系即可得到三线段间的关系．
【详解】（1）如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，互余的性质等知识，证明两个三角形全等是问题的关键．
3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）
【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．
【解析】
【分析】
（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；
（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．
【详解】
（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
②EF＝AE+BF；
证明：在△EAC和△FCB中，
，
∴△EAC≌△FCB（AAS），
∴CE＝BF，AE＝CF，
∴EF＝CE+CF＝AE+BF，
即EF＝AE+BF；
（2）①当AD＞BD时，如图①，
∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，
同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），
又∵AC＝BC，BF⊥l直线
即∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，CE＝BF，
∵CF＝CE+EF＝BF+EF，
∴AE＝BF+EF；
②当AD＜BD时，如图②，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，
同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），
又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∵CE＝CF+EF＝AE+EF，
∴BF＝AE+EF．
【点睛】
本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．
【模型四 倍长中线模型】
例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围．
【答案】
【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
∵为中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1)求a，b的值；
(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】
（1）把展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；
（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．
(1)
解：∵
，
根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
∴，解得：；
(2)
解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，
∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，
在△CDB和△HDA中，
∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，
∴△CDB≌△HDA（SAS），
∴BC=AH=a=6，
在△ACH中，AC-AH
∴2
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．
2．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
(1)如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
(2)如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD＝BC，理由见解析
【分析】（1）运用“”即可证明△ACD≌△EBD；
（2）根据（1）方式作出辅助线，根据全等三角形的性质证明ACBE，然后再证明△BAC≌△ABE即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）AD与BC的数量关系为：AD＝BC，理由如下：
延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图2所示：
同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，
∴ACBE，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ABE＝90°，
在△BAC和△ABE中，
，
∴△BAC≌△ABE（SAS），
∴BC＝AE，
∵AD＝DE＝AE，
∴AD＝BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂题意，掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解本题的关键．
3．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)为什么？写出推理过程；
(2)求出的取值范围；
(3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得．
【详解】（1）解：∵是中线，
∴，
延长到，使，且，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
在中，，，
∴，即，
∴．
（3）证明：如图，延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
4．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读理解
在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．
如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；
类比应用
如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新
如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．
【答案】阅读理解：
类比应用：
拓展创新：
【分析】阅读理解：由全等的性质推出，再根据，可得结论．
类比应用：延长，交于点F，先证得，再由是的平分线知，从而得，据此知，结合可得答案．
拓展创新：延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．
【详解】阅读理解：由题可知，，
∴．
∵，．
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
类比应用：．理由如下：
如图1，延长，交于点．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
拓展创新：如图2，延长，交于点．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，三角形三边关系等知识点，综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
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