北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题09平行线的判定与性质(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题09平行线的判定与性质(原卷版+解析)，共40页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13761" 【典型例题】 PAGEREF _Tc13761 \h 1
\l "_Tc10923" 【考点一 平行线的判定】 PAGEREF _Tc10923 \h 1
\l "_Tc5325" 【考点二 添加一条件使两条直线平行】 PAGEREF _Tc5325 \h 3
\l "_Tc16309" 【考点三 平行线的性质】 PAGEREF _Tc16309 \h 4
\l "_Tc30528" 【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc30528 \h 5
\l "_Tc2888" 【考点五 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc2888 \h 8
\l "_Tc13540" 【考点六 平行线的性质与判定综合应用】 PAGEREF _Tc13540 \h 10
\l "_Tc1510" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1510 \h 13
【典型例题】
【考点一 平行线的判定】
例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？
【变式训练】
1．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，试说明的理由．
2．（2022·山东·聊城市东昌府区博雅学校七年级阶段练习）如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD．
【考点二 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可）
【变式训练】
1．（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．
2．（2022·湖北湖北·七年级期中）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB//CD，那么可以添加的条件是________（写出一个即可）．
【考点三 平行线的性质】
例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
【变式训练】
1．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（ ）
A．160B．140C．50D．40
2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．
【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
【变式训练】
1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：
(1)
(2)的度数．
2．（2022·河南·虞城县第二初级中学七年级期中）如图，与有公共顶点A，且点C在边BE上，CD交AE于点F且平分．，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【考点五 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
2．（2022·云南昆明·七年级期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．
【考点六 平行线的性质与判定综合应用】
例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN的度数是 ；
(2)求∠CBD的度数；
(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
①若直线与没有交点，则；②平行于同一条直线的两条直线平行；③不相等的角一定不是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．①③④B．③⑤C．②③D．②④
3．（2021春·山东济南·七年级校考期中）如图，点在的平分线上，点在上，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCD
C．∠BAD＋∠ADC＝180°D．∠3＝∠4
5．（2023春·七年级单元测试）如图，AB∥CD，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确的有( )
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
二、填空题
6．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）如图，直线a，b被直线c所截，且，，则的度数为______．
7．（山东省青岛市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知直线经过点且，，则__________度．
8．（2023春·七年级单元测试）如图，若，则____根据是__；若，则____，根据是__；若，则____，根据是__．
9．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是______．
10．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
三、解答题
11．（2023春·七年级单元测试）如图，直线，，求的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵已知），
∴ ．
又∵（已知），
∴（等式的性质）．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴．
12．（2022春·江西九江·七年级统考期中）如图，于，于，
（1）求证：；
（2）若，平分，求证：平分．
13．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线，．
(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
14．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求直线与的距离．
15．（2022秋·安徽黄山·八年级校考阶段练习）已知：直线ABCD，直线AD与直线BC交于点E，∠AEC=110°．

(1)如图①，直接写出∠BAD+∠BCD的度数是 ；
(2)①如图①，BF平分∠ABE交AD于点F，DG平分∠CDE交BC于G，求∠AFB+∠CGD的度数；
②如图②，∠ABC=30°，在∠BAE的平分线上取一点P，连接PC，当∠PCD=∠PCB，请直接写出∠APC的度数．（不用写解答过程）
16．（2023春·七年级单元测试）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当时，求证：．
(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，
当则_______度，
当时，则_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
专题09 平行线的判定与性质
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13761" 【典型例题】 PAGEREF _Tc13761 \h 1
\l "_Tc10923" 【考点一 平行线的判定】 PAGEREF _Tc10923 \h 1
\l "_Tc5325" 【考点二 添加一条件使两条直线平行】 PAGEREF _Tc5325 \h 3
\l "_Tc16309" 【考点三 平行线的性质】 PAGEREF _Tc16309 \h 4
\l "_Tc30528" 【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc30528 \h 5
\l "_Tc2888" 【考点五 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc2888 \h 8
\l "_Tc13540" 【考点六 平行线的性质与判定综合应用】 PAGEREF _Tc13540 \h 10
\l "_Tc1510" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1510 \h 13
【典型例题】
【考点一 平行线的判定】
例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？
【答案】BEDF，见解析
【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用，，得到∠1=∠4，即可得到结论BEDF．
【详解】解：BEDF，
∵，
∴∠ABC=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵，，
∴∠1=∠4，
∴BEDF．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，试说明的理由．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线定义求出∠1＝∠EAC，根据已知求出∠C＝∠EAC，推出∠C＝∠1，根据平行线的判定得出结论．
【详解】理由：∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠EAC，
∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠C＝∠1，
∴ADBC．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的判定，关键是根据定理和已知推出∠1＝∠C，题目比较典型，难度不大．
2．（2022·山东·聊城市东昌府区博雅学校七年级阶段练习）如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD．
【答案】见解析
【分析】先根据角平分线的定义和对顶角相等可得出∠ABC=∠2=70°，再由对顶角相等可得出∠1=∠BCE=110°，则∠ABC+∠BCE=180°，由此可得出结论．
【详解】证明：∵射线BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠2，
∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE，
∴∠ABC=70°，∠BCE=110°，
∴∠ABC+∠BCE=180°，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．
【考点二 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可）
【答案】∠1=∠2 等 （写出一种即可）
【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可．
【详解】解：∵当∠1 =∠2时，（内错角相等，两直线平行）；
∴若要使，则需添加条件∠1 =∠2；
故答案为：∠1=∠2．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．
【答案】(答案不唯一）
【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可．
【详解】解：当时：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可．
2．（2022·湖北湖北·七年级期中）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB//CD，那么可以添加的条件是________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可．
【详解】解：根据内错角相等，两直线平行，可添加或等条件，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．
【考点三 平行线的性质】
例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
【答案】A
【分析】根据平行线性质得出，根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．
【变式训练】
1．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（ ）
A．160B．140C．50D．40
【答案】B
【分析】利用平行线的性质先求解，再利用邻补角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．
【答案】##63度
【分析】根据，可得，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补正确找出是解答本题的关键．
【考点四 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据对顶角相等得到，再利用平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质求出即可．
（1）
解：∵，，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：
(1)
(2)的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)100°．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定方法即可得到结论；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．
（1）
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）
解：∵
∴．
∵，
∴
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键．
2．（2022·河南·虞城县第二初级中学七年级期中）如图，与有公共顶点A，且点C在边BE上，CD交AE于点F且平分．，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠D=∠DCE，根据角平分线的定义得出∠ACD=∠DCE，求出∠BAC=∠ACD，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠E=∠DAE，∠BAC= ∠ACD，根据角平分线的定义得出∠ACD=∠DCE，求出， 即可求出答案．
（1）
证明：∵，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= ∠DCE，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC =∠D，
∴∠BAC=∠ACD，
∴；
（2）
解：∵，
∴∠E=∠DAE，∠D =∠DCE，
∵∠DAE=∠D，
∴∠E= ∠DCE，
由（1）知，
∴∠DCE=∠B，
又∵，
∴∠E=∠B=．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
【考点五 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【答案】120
【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（2022·云南昆明·七年级期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．
【答案】140°或40°
【分析】当AB与在AC同侧时，CB′∥AB，同旁内角互补；当AB与CB"在AC异侧时，CB"∥AB，内错角相等．
【详解】解：如下图：
当AB与CB′在AC同侧时，
当CB′∥AB时，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
当AB与CB"在AC异侧时，
当CB"∥AB时，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解．
【考点六 平行线的性质与判定综合应用】
例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【答案】(1)①∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF，理由见解析；②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
(2)30°，30°或70°和110°
【分析】（1）①根据平行线的性质，即可求解；②根据①写出结论，即可求解；
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）的结论可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，即可求解．
（1）
解：①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）
解：设两个角分别为x和2x﹣30°，
由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN的度数是 ；
(2)求∠CBD的度数；
(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．
【答案】(1)116°
(2)58°
(3)不变，∠APB＝2∠ADB，理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补即可求解；
（2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解；
（3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．
（1）
解：∵AMBN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
故答案为116°；
（2）
∵AMBN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（3）
不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下：
∵AMBN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB＝2∠ADB．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对顶角相等得到，再由平行线的性质得到．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵两条平行线a，b被第三条直线c所截，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2022秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
①若直线与没有交点，则；②平行于同一条直线的两条直线平行；③不相等的角一定不是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．①③④B．③⑤C．②③D．②④
【答案】C
【分析】根据平行的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念判断即可．
【详解】同一平面内，若直线与没有交点，则，故①说法错误；由平行公理的推论知：平行于同一条直线的两条直线平行，故②说法正确；由对顶角的性质知：对顶角相等，则不相等的角一定不是对顶角，故③说法正确；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④说法错误；过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离，故⑤说法错误；所以正确的说法有②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念，牢固掌握相关概念及性质是关键．
3．（2021春·山东济南·七年级校考期中）如图，点在的平分线上，点在上，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义以及，得出，进而根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCD
C．∠BAD＋∠ADC＝180°D．∠3＝∠4
【答案】C
【分析】利用平行线的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：A．由∠1＝∠2可判断AD∥BC，不符合题意；
B．∠BAD＝∠BCD不能判定图中直线平行，不符合题意；
C．由∠BAD＋∠ADC＝180°可判定AB∥DC，符合题意；
D．由∠3＝∠4可判定AD∥BC，不符合题意；
故选择：C．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
5．（2023春·七年级单元测试）如图，AB∥CD，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确的有( )
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质、垂直的定义，判断各个小题中的结论是否成立，从而解答本题．
【详解】解：，，
，
平分，，
，故①正确；
，，平分，
，，，，
，，故③正确；
平分，故②正确；
，
，
，
而题目中不能得到，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、垂直、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
6．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）如图，直线a，b被直线c所截，且，，则的度数为______．
【答案】##110度
【分析】根据平行线的性质可得到，再根据，即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵ ，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的性质等知识点，掌握“两直线平行、同位角相等”是解题的关键．
7．（山东省青岛市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知直线经过点且，，则__________度．
【答案】60
【分析】由，根据内错角相等，两直线平行，得，再根据两直线平行，同位角相等，得，从而可得到答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定定理及性质定理是解题的关键．
8．（2023春·七年级单元测试）如图，若，则____根据是__；若，则____，根据是__；若，则____，根据是__．
【答案】 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行
【分析】直接利用平行线的判定方法分别得出答案．
【详解】若，则根据是同位角相等，两直线平行；
若，则，根据是内错角相等，两直线平行；
若，则，根据是同旁内角互补，两直线平行．
故答案为：，，同位角相等，两直线平行；，，内错角相等，两直线平行；，，同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
9．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是______．
【答案】99°或45°
【分析】根据，，可知，此时需要进行分情况讨论，为锐角时，；为钝角时，，由此即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴（两直线平行，内错角相等），
如图1所示，，
如图2所示，，
∴的度数为45°或99°．
故答案为：45°或99°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，分情况讨论是解题的关键．
10．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】2或3或5
【分析】分三种情况：①当AB时，②当AC时，③当AB时，分别根据平行线的性质求出∠的度数，进而解答即可．
【详解】解：分三种情况：
①当AB时，如图：
∴∠＝∠BAC＝45°，
∴15t＝45，
∴t＝3；
②当AC时，如图，
∴∠＝∠＝30°，
∴15t＝30，
∴t＝2；
③当AB时，如图，过点C作CEAB，则CEAB，
∴∠ACE＝∠A，∠＝∠，
∴∠＝∠ACE＋∠＝∠A＋∠＝75°，
∴15t＝75，
∴t＝5．
综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
故答案为：2或3或5．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·七年级单元测试）如图，直线，，求的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵已知），
∴ ．
又∵（已知），
∴（等式的性质）．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴．
【答案】，（等量代换），，，
【分析】根据平行线的性质得出，求出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
【详解】解：∵（已知），
∴．
又∵（已知），
∴（等式的性质）．
∴（等量代换），
∴，
∴，
∴，
故答案为：，（等量代换），，，．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能正确掌握平行线的判定定理是解此题的关键．
12．（2022春·江西九江·七年级统考期中）如图，于，于，
（1）求证：；
（2）若，平分，求证：平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）依据CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，可得∠BDC=∠EFB=90°，进而得到EF∥CD；
（2）依据EF平分∠AED，可得∠AEF=∠DEF，再根据平行线的性质，即可得到∠AEF=∠ACD，∠DEF=∠CDE=∠BCD，即可得出∠ACD=∠BCD，可得CD平分∠ACB．
【详解】解：（1）证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
（2）证明：∵平分
∴
∵（由（1）可知）
∴，
∵
∴
则
∴平分
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解决问题的关键是运用等量代换进行推导．
13．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线，．
(1)求证：；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明，又根据得到，即可证明；
（2）根据求出，根据邻补角的定义即可求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，邻补角的定义的应用，熟知相关定理，证明DE∥BC是解此题的关键．
14．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求直线与的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果；
（2）过作于，根据，即可求解．
【详解】（1）
∵
∴
又∵
∴
（2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离
∵，，
是直角三角形
∵
∴
∴直线与的距离
【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
15．（2022秋·安徽黄山·八年级校考阶段练习）已知：直线ABCD，直线AD与直线BC交于点E，∠AEC=110°．

(1)如图①，直接写出∠BAD+∠BCD的度数是 ；
(2)①如图①，BF平分∠ABE交AD于点F，DG平分∠CDE交BC于G，求∠AFB+∠CGD的度数；
②如图②，∠ABC=30°，在∠BAE的平分线上取一点P，连接PC，当∠PCD=∠PCB，请直接写出∠APC的度数．（不用写解答过程）
【答案】(1)110°；
(2)①195°；②50°或10°．
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可进行解答；
（2）①过点E作MNAB．利用平行线的判定和性质并结合角平分线的概念分析求解；②分P点在BC的左侧、P在BC的右侧且在CD上方、P在BC的右侧且在CD下方三种情况讨论，结合角度的倍数关系和平行线的性质分析求解．
【详解】（1）解：∵ABCD，
∴∠BAD=∠ADC，
∴，
故答案为：110°；
（2）①过点E作MNAB，
∵ABCD，MNAB，
∴ABMNCD，
∴∠BAE=∠AEM，∠DCE=∠CEM，∠ABE=∠BEN，∠NED=∠EDC，
∵∠AEC=110°，
∴∠BED=110°，
∴∠BAE+∠DCE=∠AEM+∠CEM=∠AEC=110°，
∠ABE+∠CDE=∠BEN+∠NED=∠BED=110°，
∵BF平分∠ABE交AD于F，DG平分∠CDE交BC于G，
∴∠ABF=∠ABE，∠CDG=∠CDE，
∴∠AFB+∠CGD=180°（∠BAE+∠ABF）+180°（∠DCE+∠CDG）
=180°∠BAE-∠ABE+180°∠DCE-∠CDE
=360°（∠BAE+∠DCE）（∠ABE+∠CDE）
=360°110°×110°
=195°，
即∠AFB+∠CGD的度数为195°；
②当点P位于BC左侧时，
此时∠PCD=∠PCB不可能成立，故此情况不存在；
当点P位于BC右侧且位于CD上方时，过点P作PMAB，
∵∠AEC=110°，∠ABC=30°，
∴∠BAE=110°30°=80°，
∵ABCD，MPAB，
∴ABMPCD，
∴∠APM=∠BAP=∠BAE=40°，
∠ABC=∠BCD=30°，
又∵∠PCD=∠PCB，
∴∠PCD=∠BCD=10°，
∴∠MPC=∠PCD=10°，
∴∠APC=∠MPC+∠APM=50°，
当点P位于BC右侧且位于CD下方时，过点P作PMAB，
∵∠AEC=110°，∠ABC=30°，
∴∠BAE=110°30°=80°，
∵ABCD，MPAB，
∴ABMPCD，
∴∠APM=∠BAP=∠BAE=40°，
∠ABC=∠BCD=30°，
又∵∠PCD=∠PCB，
∴∠PCD=∠BCD=30°，
∴∠MPC=∠PCD=30°，
∴∠APC=∠APM∠MPC=10°，
综上，∠APC的度数为50°或10°
【点睛】本题考查平行线的判定和性质、三角形的外角性质、角平分线的定义、对顶角相等等知识，属于中考常考题型，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．
16．（2023春·七年级单元测试）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当时，求证：．
(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，
当则_______度，
当时，则_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质可求得，再根据角平分线的定义求得即可证得结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义推出，进而求解即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，，，进而解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴．
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
当时，则，
当时，则；
故答案为：，；
（3）解：.理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，能借助图形进行角度运算是解答的关键．