2023-2024学年湖北省武汉市硚口区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市硚口区九年级上学期数学期中试题及答案，共29页。

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. 、B. 、C. 、D. 、
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将所有的项都移到方程的左边，方程的右边为0，再得出二次项系数，一次项系数．
【详解】解：，
∴
二次项系数为，一次项系数为．
故选：A．
3. 把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A. 30°B. 90°C. 120°D. 180°
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【详解】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴是
C. 有最小值D. 顶点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：∵，，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线，故选项B不符合题意；
当时取得最大值，故选项C不符合题意；
顶点坐标为，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5. 某一个人患了流感，经过两轮传染后共有64个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则正确的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键．
【详解】根据题意可知：第一轮传染后的感染人数为：，
第二轮传染后的感染人数为：，
故可列方程为：，
故选：C．
6. 将抛物线平移后得到抛物线，正确的平移方式是（ ）
A. 向右移动1个单位长度，向上移动3个单位长度
B. 向左移动1个单位长度，向上移动3个单位长度
C. 向右移动 1个单位长度，向下移动3个单位长度
D. 向左移动 1个单位长度，向下移动3个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．熟练掌握向左移动个单位，向下移动个单位，得这个知识点是解题的关键．
【详解】解：A、将抛物线向右移动1个单位长度，向上移动3个单位长度，得，不符合题意，该选项是错误的；
B、将抛物线向左移动1个单位长度，向上移动3个单位长度，得，不符合题意，该选项是错误的；
C、将抛物线向右移动1个单位长度，向下移动3个单位长度，得，不符合题意，该选项是错误的；
D、将抛物线向左移动1个单位长度，向下移动3个单位长度，得，符合题意，该选项是正确的；
故选：D
7. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，边在y轴正半轴上，点A在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后，点A所对应的点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象可得，点A旋转8次为一个循环，从而可得点与点的坐标相同，即可求解．
【详解】解：如图，点A旋转8次为一个循环，
∵，
∴点与点的坐标相同，
∴点的坐标为，
故选：C．

8. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径是（ ）

A. 24厘米B. 26厘米C. 28厘米D. 30厘米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，令圆的半径为，则，根据勾股定理求出，进而求出半径．
详解】解：如图，由题意，得垂直平分，
厘米，
令圆的半径为，则，
在中，，
，
解得．
故选：B．

9. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式得到，根据根与系数关系得到，利用一元二次方程根的定义得到，代入得到，利用不等式的性质进一步即可求出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，
∴，，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
则的最大值是，
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程根定义、根与系数关系、根的判别式、不等式的性质等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题关键．
10. 一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行．已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图2，当倾斜角时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（ ）
A. 7cmB. 12cmC. 8cmD. 14cm
【答案】D
【解析】
【分析】以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出和杯子中间点的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，求出与轴的交点坐标，把点代入求出直线的解析式，再将二次函数和一次函数联立求解，求出点坐标，用两点间的距离公式求出点到点的距离．
【详解】解：设与的中点分别为O、F，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
∵在图3中，，
∴．
过点C作，交y轴于点G，则即为图3中倾倒后的．
∵点O是的中点，
∴．
∴，
同理可知：图1液面的右端点是
根据对称性可知：左右轮廓线，所在的抛物线的对称轴为y轴，
设这个抛物线的解析式为：，
则由图1可知，抛物线经过点和点，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式是：．
令，
解得
∴，，
又∵，
∴，
∴在中，，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式是：，
∵直线经过点，，
∴
解得：，
∴直线的解析式是：，
将抛物线与直线的解析式联立得：
，
解得：或，
∴，
又∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解题过程，请将结果直接填写在答题卡指定位置．
11. 已知点与点关于原点对称，则x的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了关于原点对称的点坐标特点：横纵坐标都互为相反数，熟记特点是解题的关键．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
故答案为：．
12. 参加某商品交易会的每两家公司之间都签订两份合同，所有公司共签订了20份合同，则共有_________家公司参加了该商品交易会．
【答案】
【解析】
【分析】考查了一元二次方程的应用，甲乙之间都签订两份合同，算两份，本题属于重复记数问题．解答中注意舍去不符合题意的解．
【详解】解：设共有x家公司参加了该商品交易会，
则列方程得
解得：，（舍去），
故答案为：．
13. 如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为x米，则所列方程是____________________________________．

【答案】
【解析】
【分析】设人行通道的宽度为x米，利用“平移法”将两块矩形绿地合在一起，则长为，宽为，即可列出方程．审清题意，根据面积正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：若设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为，宽为，由已知得：．
故答案：
14. 关于x的一元二次方程判断它的根的情况是__________________．
【答案】方程有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，先把方程化为一般形式，再利用根的判别式计算得出，从而可判断方程根的情况．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根；
故答案为：方程有两个不相等的实数根．
15. 抛物线（，是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则④若，是方程的两个根，其中，则．其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①：根据函数图象经过点的意义，只要得到即可；
②：由①得，结合判断出的正负即可；
③：特值法，取时也符合题意，从而可得到结论；
④：将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断．
【详解】解： 抛物线经过点，
，
，
当时，，
，
该抛物线一定经过，故此项正确．
②由①得：，
，
，
，
，
，
．故此项正确．
③抛物线的对称轴为直线，
当时，，，
，
，
也符合题意与矛盾，故此项错误．
④，是方程两个根，
，是抛物线与直线交点的横坐标，
，
如图：
由图得：．故此项正确．
故答案：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，E在边上，H在边上，是 矩 形 的 外 角的平分线，，连接，，则的长是_________，的长是_________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，在上截取，连接，推出，进而得到，利用四点共圆得到，由此得到的长，求出，再根据勾股定理求出的长，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
【详解】解：在上截取，连接，
∵四边形是矩形，
∴
∵平分，
∴，
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴，
∵
∴
∴点E，C，G，H四点共圆，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴
∴，
故答案为：3，．
【点睛】,
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 若关于x的一元二次方程有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根．
【答案】b的值为3，方程另一根为x=2．
【解析】
【分析】将x=1代入方程x2﹣bx+2=0得到b的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+2=0有一个根是x=1，
∴1﹣b+2=0，
解得：b=3，
把b=3代入方程得：x2﹣3x+2=0，
设另一根为m，可得1+m=3，
解得：m=2，
则b的值为3，方程另一根为x=2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，记牢公式并灵活运用是解题关键．
18. 如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦， ，，垂足分别为D，E．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定，勾股定理，以及垂径定理：
（1）根据三个直角可得四边形是矩形，因为，故四边形是正方形；运用垂径定理得到是解题关键；
（2）连接，根据勾股定理可得半径．
【小问1详解】
证明：证明：∵，，
∴，
∵，为互相垂直且相等的两条弦，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
∵，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：连接，如图所示
∵
∴
由（1）知四边形是正方形；
则
在中，
所以的半径是．
19. 如图，在等边中，D在边上，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，直接写出的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）11.5
【解析】
【分析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，1.旋转图形的对应边相等，对应角相等；2.有一角为60度的等腰三角形是等边三角形；3.两边及夹角对应相等的两个三角形全等．
（1）先由是等边三角形得出，，根据图形旋转的性质得出，，进而得出，然后根据证明即可证明；
（2）由，故可得出，由，即可判断出是等边三角形，故，由此即可得到的周长．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵是等边三角形，
∴，
∵，
，
，，
是等边三角形，
，
的周长．
20. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？
【答案】当定价为元时，利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】设定价为元，利润为元，根据题意求出与的函数解析式，即可求解．
【详解】解：设定价元，利润为元，由题意可得：
∵，开口向下
∴当元时，最大，即利润最大为元，
答：当定价为元时，利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系，列出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，为线段 上的点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

（1）在图1中，先将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再连接，画，使与成中心对称；
（2）在图2中，先在上画点，连接 ，使；再在上画点，连接，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质画出，连接，找到的中点，过点与的中点作直线，交于点，则即为所求；
（2）根据网格的特点作等腰直角三角形，斜边与交于点，则；连接与交于一点，连接并延长交于点，连接交于点，则即为所求；
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；

根据等腰三角形的性质以及作图可得垂直平分，
∴
又
∴
∴
∵，
∴
∴
又∵是等腰直角三角形，
∴
∴，即
【点睛】本题考查了无刻度作图，平移的性质，中心对称的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，平行线的性质与判定，熟练掌握网格的特点并运用以上知识是解题的关键．
22. 如图，小明训练推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．

（1）第一次推铅球时，铅球运行到水平距离为时，铅球行进的最大高度为 ，求铅球推出的水平距离；
（2）第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出铅球行进的最大高度；
（3）小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足10米，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）8m （2）m
（3）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式，然后令，求出铅球推出的水平距离即可；
（2）运用待定系数法求出函数解析式，配方为顶点式写出最大值即可；
（3）把代入（2）中的解析式，求出b值，结合题意写出取值范围即可．
【小问1详解】
解：设，
即，
∵，
∴，
∴，
令，则，
解得：，（舍去），
∴铅球推出的水平距离米；
【小问2详解】
解：设抛物线的解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴，
∴推出铅球行进的最大高度为米；
【小问3详解】
解：抛物线的解析式为，
当过时，，
解得：，
∵推出的水平距离超过第一次，但不足10米，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际问题，运用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
23. 在中，，，，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段．

（1）如图1，当时，过点D作于E，求证：；
（2）如图2，当时，连接．
①求证：；
②如图3，F是的中点，连接，直接写出的长（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）见详解 （2）①见详解②
【解析】
【分析】（1）因为，，得，结合将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，得，即可证明，即可作答；
（2）将绕点A旋转，与重合，点的对应点是点，过点A作，所以，，得，则，那么，因为，得，根据勾股定理即可证明①；连接，因为F是的中点，且是的中点，故是的中位线，即，则，因为，所以，根据，得三点、、共线，则，即可作答②．
【小问1详解】
证明：因为，，
所以，
因为将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
所以，
故，
所以，
则
【小问2详解】
解：因为绕点A旋转，与重合，点的对应点是点，过点A作，

所以，，
因为
所以，是的中点，
则，
那么，
因为，
得，
在中，，
故可证明①；
连接，如图

因为F是的中点，且是的中点，
所以是的中位线，即，
则，
因为，
所以，
因为，
所以三点、、共线，
则，
故②中的的长为．
【点睛】本题考查了旋转性质，三角函数，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，全等三角形的性质与判定，以及中位线等知识内容，难度较大，综合性较强，正确作出辅助线是解题的关键．
24. 如图1，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出 A，B两点坐标和直线的解析式；
（2）D是直线上的点，过点D作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（点M在点N的左侧），若，求点D的横坐标；
（3）如图2，E在第四象限的抛物线上运动，点F与点E关于y轴对称，直线分别交直线，，x轴于P，Q，G 三点，求的值．
【答案】（1），，
（2）1或
（3）6
【解析】
【分析】（1）把代入，即可得，，设直线的解析式，运用待定系数法即可作答；
（2）设，因为把代入得，得，，再分类讨论，当点D在线段上或当点D在射段上，结合二次函数的图象性质，即可作答；
（3）依题意，设，，再运用待定系数法求出直线的解析式为和直线的解析式为，根据，化简即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，
把代入，
则
解得，
即可得，，
因为
当时，，此时
设直线的解析式为，
把和代入
得
解得
所以直线的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）知，
则设，
那么把代入得
所以
解得，
所以，
当点D在线段上，如图：
则，
因为
所以
化简得
解得，（点M与点N重合，不符合题意，舍去）
则，
此时点D的横坐标为；
当点D在射段上，如图：
因为
所以，
因为点M和点N关于对称轴对称，
所以，
故
即
整理得
解得，（此时点D在第四象限，故舍去）
那么
此时点D的横坐标为；
综上：点D的横坐标为或；
【小问3详解】
解：依题意，如图：
设，
所以设直线的解析式为，
把，代入
得
解得
所以直线的解析式为
设直线的解析式为
把，代入
得
解得
所以直线的解析式为
因为直线分别交直线，，x轴于P，Q，G 三点，
所以点，点
故
【点睛】本题考查了二次函数图象性质与一次函数的综合内容，待定系数法求解一次函数的解析式以及轴对称的性质内容，熟练运用分类讨论是解决（2）的关键，本题综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．