2023-2024学年湖北省武汉市武昌区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市武昌区九年级上学期数学期中试题及答案，共31页。试卷主要包含了 如图，中，，，那么的度数是．等内容，欢迎下载使用。

1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 4，6，1B. 4，6，－1C. 4，－6，1D. 4，－6，－1
【答案】C
【解析】
【分析】找出所求的系数及常数项即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是4，-6，1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：a+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中a叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2. 下列几何图形中，不是中心对称图形是（ ）．
A. 线段B. 等边三角形C. 平行四边形D. 圆
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，
【详解】解：A．线段是中心对称图形，故不符合题意；
B．等边三角形不是中心对称图形，故符合题意；
C．平行四边形线段是中心对称图形，故不符合题意；
D．圆线段是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把7移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4. 如图，中，，，那么的度数是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由中，，利用垂径定理，即可证得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角的度数．
【详解】解：中，，
，
，
，
．
故选：B．
5. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】结合一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系，一元二次方程有两个实数根，，则，，掌握以上公式是解题关键．
6. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价．某种药品原价为元，在连续进行两次降价后价格调整为元．设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率为，则第一降价售价为，根据关键语句“连续两次降价后为元”可得方程．
【详解】设平均每次降价的百分率为，根据题意得：
，
故选：．
【点睛】此题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题的关键是正确理解求平均变化率的方法：设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点绕点逆时针旋转后得到的点，绕点逆时针旋转后得到的点，依此类推，坐标是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，找出规律是解题的关键．根据旋转的性质得到每旋转4次与点A重合，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：将点绕点O逆时针旋转得到点，
∴点，
依此类推，可得，，与A重合是，
∴旋转4次与点A重合，
∵，
∴第2024次旋转结束时，点的坐标为．
故选：A．
8. 已知二次函数自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表：
下列说法中正确的是（ ）
A. 函数图像开口向下B. 函数图像与x轴的交点坐标是
C. 当时，y随x的增大而增大D. 顶点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：把，代入得
，
解得，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴函数图像开口向上，故选项错误；
令，解得，，
∴函数图像与x轴的交点坐标是，，故选项错误；
∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标是，故选项正确；
∴当时，随的增大而增大，故选项错误.
故选：.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
B、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项符合题意；
D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
10. 对某条路线的长度进行次测量，得到，，，，…这个数据（如下表）：
设，若当时，有最小值，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式及二次函数，对进行化简，得到与之间的二次函数，根据二次函数最值即可解答，利用完全平方公式进行化简是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
当时，有最小值，
即 ，
故选：．
二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分）
11. 点关于原点对称的点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．
12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，求解即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
13. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了____人．
【答案】10
【解析】
【分析】如果设每轮传染中平均每人传染了x人，那么第一轮传染中有x人被传染，第二轮则有x（x+1）人被传染，已知“共有121人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可．
【详解】设每轮传染中平均每人传染了x人，
则第一轮传染中有x人被传染，
第二轮则有x(x+1)人被传染，
又知：共有121人患了流感，
∴可列方程：1+x+x(x+1)=121，
解得，（不符合题意，舍去）
∴每轮传染中平均一个人传染了10个人.
故答案为10.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是找准等量关系.
14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，于D．若米，米，则的半径长为________米．

【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度即可．
【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心，
，
，，
，
.
，，
.
设，则，
在中，，
，
即的半径长为．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度．
15. 已知抛物线（，为常数）与轴相交于点，，顶点为．下列四个结论：
①该抛物线的对称轴为；
②；
③若为等腰直角三角形，则；
④若时，图象任意两点之间的线段均不与轴平行，则的范围是或；
其中正确的结论有______．（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，等腰三角形的性质，抛物线与坐标轴的交点问题，首先将二次函数化为顶点式，可求出对称轴，对①进行判断；求出交点坐标对②进行判断；由等腰直角三角形性质求出点C坐标，即可求出的值；根据题意或，即可判断④．
【详解】解：，
由可知：抛物线的对称轴为，故①正确；
当时，，即，
或，
抛物线与轴相交于点，的坐标为，，
，故②正确；
当时，，
顶点的坐标为，
，
，
若为等腰直角三角形，则，
，
，故③不正确；
若时，图象任意两点之间的线段均不与轴平行，则的取值范围不能包含对称轴，
或，
则或，故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
16. 如图，点，，，分别在菱形的四条边上，，且，连接，，，得到四边形．四边形的面积为，当时，的取值范围是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质结合等边三角形的性质与判定得出是等边三角形，进而证得四边形是矩形，设，则，利用解直角三角形表示出的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作于点N，

四边形是菱形，
，，，
，
，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，，
，，
，
四边形是矩形，
设，
，
，
，
，
，
故的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、矩形的判定以及解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
三．解答题（共8题，共72分）
17. 已知关于的方程．有一个实数根是，求此方程的另一个根以及的值．
【答案】；．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入可求出的值，再利用两根之和等于，即可求出方程的另一个根，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
【详解】解：当时，原方程为，
解得：，
设方程的另一个实数根为，
∵，
∴，
∴方程另一个根为，的值为．
18. 如图是等边三角形，将绕A点逆时针旋转得到，，相交于点．
（1）求证：是等边三角形；
（2）直接写出的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明、及是解题的关键．
（1）由旋转得，，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形；
（2）由是等边三角形，得，而，可推导出，则．
【小问1详解】
证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
【小问2详解】
，
理由：是等边三角形，
，
，
，
．
19. 已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）方程的解为______；
（3）当时，请观察函数图象，直接写出的取值范围______．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数解析式，解一元二次方程，二次函数的图象与性质．
（1）已知顶点坐标，将抛物线的解析式设为顶点式的形式，然后利用待定系数法求出的值即可得出答案，根据顶点坐标确定，的值，并掌握待定系数法是解题关键；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可，掌握解一元二次方程的方法如配方法、公式法、因式分解法等是解题关键；
（3）根据抛物线开口方向，对称轴及抛物线与轴的交点，即可得到时，的取值范围，掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
【小问1详解】
解：设抛物线解析式为，
∵顶点为，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴即．
【小问2详解】
解：，
因式分解，得，
．
【小问3详解】
解：由题意得，抛物线的开口向下，对称轴为，
由（2）得抛物线与轴的交点分别为，，
由图象得，当时，．
20. 如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作关于点（格点）成中心对称的；
（2）在图2中，将绕点顺时针旋转的度数，作出；
（3）在图3中，点在上且不在网格线上，作弦弦．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）分别确定A，B，C关于格点M的对称点，，，再连接即可；
（2）如图，取格点，且，取格点，由全等三角形的性质可得，取格点，连接交于，由全等三角形的性质可得，由的对应点为，可得符合题意；
（3）如图，由圆周角定理可得为直径，取格点，，连接，交圆于，连接，交于，由全等三角形的性质可得，连接并延长交圆于，连接，，则．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
如图，弦即为所求；
【点睛】本题考查的是画关于某点对称的图形，画旋转图形，同时考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理的应用，轴对称图形的性质，勾股定理的应用，本题属于复杂作图，掌握基本图形的性质是解本题的关键．
21. 如图，是的直径，弦于点，点为弧的中点，连接交于，连接．

（1）求证：；
（2）若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了锐角三角函数，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题的关键是掌握垂径定理，难度适中．
（1）先根据垂径定理得，，再由圆心角定理的推论得结果；
（2）连接，由“直径所对的圆周角是直角”及勾股定理求出的长，再用三角函数求出的长，最后由勾股定理得出．
【小问1详解】
∵直径于点，
∴，，
∵点为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】

连接，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
22. 民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．
经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．

（1）直接写出抛物线解析式和弧所在的半径；
（2）锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度；
（3）如果将底面直径，高度为的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案）
【答案】（1）抛物线为：；的半径
（2）
（3）6
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用以及垂径定理，需要求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题．
（1）根据已知抛物线顶点为，且过，，根据已知抛物线顶点为，且过，，代入求出的值即可；借助图形由垂径定理求出弧所在的半径即可；
（2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可；
（3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可．
【小问1详解】
解：根据已知抛物线顶点为，且过，，
设抛物线解析式为：，
将代入可得：，
解得：，
抛物线解析式为，
如图，圆心为，连接、，
，
设，则，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：，
的半径为；
小问2详解】
解：锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高，
水面距离锅沿的竖直高度为，
当时，，
解得：，
水面宽度为；
【小问3详解】
解：对于抛物线，如图所示：
，
当时，，
；
对于，如图所示：
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿6个．
23. 如图，中，，为的中点，为线段上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是线段上一点且，连接，．
（1）小亮为了研究的度数，将图1中的点移至到的中点处，使点与点重合，如图2，请直接写出的度数；
（2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若，，延长交于点，若，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）结论依然成立，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，则，根据，推出，即可求解；
（2）连接，延长到使，连接，，根据中位线定理得出，，由旋转的性质得：，，推出，则是等腰三角形，进而得出，，设，，则，，，得出，，，通过证明，得出，则，根据三线合一即可得出结论；
（3）连接，延长到使，连接，，过点E作于点N，通过证明是等边三角形，得出，，进而求证，得出，则为等腰直角三角形，设，则，则，推出，，，求出，根据，列出方程，求出，则，最后即可得出．
【小问1详解】
解：∵点D为的中点，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴；
【小问2详解】
解：结论依然成立，理由如下：
如图，连接，延长到使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，
设，，则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
【小问3详解】
解：连接，延长到使，连接，，过点E作于点N，
由（2）可得，，，
∴，
∵，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
设，则，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要拗口差了等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解题的关键在正确作出辅助线，构造全等三角形和等腰三角形，利用相关性质求解．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴负半轴于点

（1）如图1，
①直接写出，，三点的坐标；
②抛物线上存在点，使得，直接写出点的坐标；
（2）如图2，设经过，，三点的交轴于另外一点，，经过点的直线交抛物线于，两点，若的长等于的直径长，求的值．
【答案】（1）①，，②，
（2）
【解析】
【分析】（1）①当时，该抛物线表达式为，把和代入，求出对应的x和y的值，即可得出点A、B、C的坐标；②易得，则，连接，令交x轴于点F，设，直线的函数表达式为，用待定系数法求出直线的函数表达式为，则，根据，列出方程求解即可；
（2）连接，易得，根据圆周角定理推出，则，得出，进而得出该抛物线表达式为，求出．过点作轴于点，连接，根据两点之间距离公式求出， 则，推出直线表达式为，联立得出，则，，，，进而的胡扯，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：①当时，该抛物线表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，令交x轴于点F，
设，直线的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
把代入得：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
当时，，
解得：或，
∴或，
当时，整理得：，
∵，
∴该方程无解，
综上：，；
【小问2详解】
，
解：连接，
由可得，，，
∴，，
∴，
∵点A、C、B、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该抛物线表达式为，
∴，，，，
∵点M为圆形，
∴点M横坐标与中点横坐标相等，点M纵坐标与中点纵坐标相等，
∴，即．
过点作轴于点，连接，

∴，
∴，
∵把代入得：，
整理得：，
∴直线表达式为
∴联立，
，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法步骤，圆周角定理，垂径定理，两点之间的距离公式啊，一元二次方程根于系数的关系．x
…
0
1
2
…
y
…
5
0
…
数据
对应值
7.1
6.6
71