2023-2024学年湖北省武汉市东湖高新区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市东湖高新区九年级上学期数学期中试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A 5，3B. 5，C. 5，D. 5，0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，将化为一般形式即可得到答案．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式为：，
二次项系数和一次项系数分别是5，，
故选：C．
2. 2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在杭州市隆重举行．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念“把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行判断即可．
【详解】解：、不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故不符合题意；
、能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故符合题意．
故选：．
3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照完全平方公式对原方程进行配方可得解．此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【详解】解：，
移项，得：，
，
，
故选：A．
4. 二次函数 的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数y＝−（x＋2）2−1的顶点坐标为（−2，−1）．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
5. 如图，中，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，由垂径定理可得，再由圆周角定理可得，即可得到答案，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
【详解】解：中，，
，
，
，
，
故选：B．
6. 将抛物线向左平移3个单位，向下移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线的平移，由抛物线的规律：“左加右减，上加下减”直接写出答案．
【详解】解：把抛物线
向左平移3个单位得：
再把向下平移1个单位得：．
故选C．
7. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到. 点C的对应点为点D，恰好落在上，平分，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出，，根据角平分线的性质得出，证明，设，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等要三角的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有多少人参加聚会？（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有人参加聚会，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设有人参加聚会，根据题意，
得，
解得：（舍去）
∴有8人参加聚会
故选：C．
9. 如图，在中，，点在以为直径的上，连接，，过点作交的延长线于点． 若，，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了根据平行线的性质，圆周角定理，根据平行线的性质及圆周角定理推出，根据等腰三角形的判定推出，根据直角三角形的性质及线段的和差求出，根据勾股定理即可得解，熟记圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
10. 定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数. 函数（c为常数，）的图像与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N. 若，求b的值（ ）
A. B. 或1C. 3或D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先求出函数与x轴交于，与y轴交于点，再将代入中得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，得到，结合得出，代入即可得到答案．
【详解】解：在函数中，
当时，，
当时，，解得：，
函数与x轴交于，与y轴交于点，
其轴点函数经过点，
，；
，即，
其轴点函数与x轴的另一交点为，
，即，
，
，
，
，
，
当时，，当时，
或1，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系等知识点，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定位置.
11. 平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的两个点的坐标的横纵坐标互为相反数即可得到答案．
【详解】解：平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 抛物线图像过原点，则m为____________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
【详解】解：∵抛物线的图像过原点，
∴当时，，
解得：，
故答案为：3．
13. 如图，是的弦，半径，，则的面积为__________.

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，特殊角的三角函数，过点O作，垂足为C，利用垂径定理，勾股定理计算即可.
【详解】过点O作，垂足为C，
∵，，
∴，，
∴，，
.
∴，
∴的面积为,
故答案为：.
14. 已知m，n是方程的两根，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，由此得到，，整体代入所求式子计算即可得到答案，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵m，n是方程的两根，
∴，，
∴
∴
故答案为：2．
15. 已知二次函数的图像过点，对称轴为直线. 下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图像上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是_____________（填写序号）.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据抛物线与轴的交点和对称轴确定抛物线与轴的另一个交点即可判断①；由点，关于直线对称即可判断②；由二次函数的图像过点和得出，从而得出当时，抛物线开口向上，当时，为最小值，当，抛物线开口向下，当时，为最大值，即可判断③；把转化为，再根据的关系得出，即可判断④．
【详解】解：二次函数的图像过点，对称轴为直线，
二次函数的图象经过点，即时，，
，故①正确，符合题意；
，
点，关于直线对称，
，故②正确，符合题意；
二次函数的图像过点和，
，
解得：，
，
当时，抛物线开口向上，当时，为最小值，
若m为任意实数，则；
当，抛物线开口向下，当时，为最大值，
若m为任意实数，则，故③错误，不符合题意；
由得，，
，，
，，
，
关于的方程必有两个不相等的实数根，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是对这些知识的掌握和应用．
16. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，在上方作，使，，点为的中点，连接，当最小时，的长为____________.

【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值，解题的关键是连接，根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，，，进而推出为直角三角形，根据勾股定理列出，设，则，建立关于的二次函数关系式，求出时，最小．
【详解】解：连接，过点作于点，

，点为的中点，
，
，
，，，
，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，，
，
，，
，
设，则，，，
由勾股定理得：．
当时，有最小值为，
当最小时，的长为3，
故答案为：3．
三、解答题（共8小题，共72分）
下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
∴
∴
解得：
18. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．

【答案】25度
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数．
【详解】证明：是由旋转得到

，，
，
19. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离）．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张面积的，则需如何设置页边距？
【答案】设置各页边距均为．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程求面积问题，根据题意表示出去掉页边的面积列出方程进而解方程即可，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设各页边距均为，列出方程得：
，
整理得：，
解方程得：，（不合，舍去），
∴，
答：需设置各页边距均为．
20. 如图，是的直径，AC是弦，B是上一点，E是延长线上一点，连接，，．

（1）求证：；
（2）若，的半径为6，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）16
【解析】
【分析】本题考查了圆的相关知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握“直径所对的圆周角是直角”， “圆的内接四边形对角互补”，以及勾股定理．
（1）连接，根据“直径所对的圆周角是直角”推出，根据“圆的内接四边形对角互补”可推出，即可得出结论；
（2）连接，易得，根据，，推出，根据勾股定理求出，即可求解；
【小问1详解】
证明：连接．

是的直径，
，
，
又，
，
．
【小问2详解】
解：连接，

，
，
又，，
，
即，
的半径为6，
，
在中，．
．
21. 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点，，均落在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）

（1）图中，为的直径，在圆上找点，作平分；在劣上找点，使；
（2）图中，在上画出点，使；将绕点顺时针旋转得到，旋转角为，画出；
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了格点作图，掌握垂径定理，圆周角定理，旋转的性质是解题的关键．
()根据垂径定理即可找到点的位置；取格点，连接，与相交于点，由网格可得，故，得到，即点为所找的位置；
（）取格点，连接，与的交点即为点，由勾股定理可得，，，故有，得到为直角三角形，所以得到；由旋转易找到点的对应点，由勾股定理可得，得到，因为，所以平分，故有，又由图易证明，所以，故得到点对应点，连接即可得到；
【小问1详解】
如图所示，点为所求作的图形；
【小问2详解】
如图所示，点、为所求作的图形．

22. 杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分. 当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点的水平距离为4米，其高度为米. 在离点水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题.

（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）
（2）试通过计算判断此球能否过网；
（3）乙运动员在球场上处接球（不能触网），乙原地起跳后使得球拍达到的最大高度为米，若乙因接球高度不够而失球，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）能过网 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，将代入得，，求出的值即可得到答案；
（2）在中，当时，，与1.55进行比较即可；
（3）令得，，解得，，结合以及乙运动员不能触网，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：顶点坐标为，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得：，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：中，当时，，
此球能过网
【小问3详解】
解：令得，，
解得：，，
，开口向下，
当时，，
又乙运动员不能触网，
，
．
23. 【证明体验】如图1，向外作等边三角形和等边三角形，连接，求证：；
【思考探究】如图2，已知，以为边作等边，连接. 若，，，求的长；
【拓展延伸】如图3，在中，，以为边作等腰，，连接. 若，，直接写出的面积.

【答案】证明体验：见解析；思考探究：；拓展延伸：12
【解析】
【分析】（1）证明, 由全等三角形的性质得出；
（2）以为边作等边, 过点作交的延长线于点, 证明, 由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案；
（3）将绕点逆时针旋转得到, 连接, 则,, 求出, 过点作于, 于, 得出, 则可得出答案.
【详解】解：（1）和都是等边三角形
,,
，即
在和中
.
（2）如图，以为边作等边，过点E作交的延长线于点F，则
，，
等边，
，，
，即，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
.
（3）12
，
将绕点A逆时针旋转得到，连接，
则，，
；
，
；
；
；
，
；
过点A作于F，于G.
四边形为矩形，
，
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
24. 如图1，抛物线与x轴于交，两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段的最大值，并求出此时点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点的直线（直线除外）与抛物线交于J，I两点，直线分别交x轴于点M，N. 试探究是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）线段的最大值，此时D点坐标为
（3）8
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）过点D作轴于点F，交于点G，则轴，得为等腰直角三角形，求出直线解析式为，设点D坐标为，列得，当时，最大，此时，，线段的最大值；
（3）由翻折得抛物线的解析式为，可设直线JI的解析式为，直线FJ的解析式为，当时，，得，，同理可求：，故的定值为8
【小问1详解】
解： 抛物线经过点，
抛物线的解析式为
【小问2详解】
如图1，过点D作轴于点F，交于点G，则轴，

图1
抛物线解析式为
∵轴
为等腰直角三角形
，
设直线解析式为
解得，，，
直线解析式为
设点D坐标为
点G坐标为
当时，最大，此时，
线段的最大值，此时D点坐标为；
【小问3详解】
是定值，理由如下：
将抛物线沿y轴翻折得到抛物线
解析式为
直线JI经过，
可设直线JI的解析式为
、I在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，

设直线FJ的解析式为，则有
解得，
直线FJ的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
故的定值为8
【点睛】此题考查二次函数综合知识，待定系数法求函数解析式，线段最值，二次函数与抛物线的交点问题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键