专题11.1 期中期末专项复习之一元一次方程十六大必考点-2023-2024学年七年级数学下册讲练测（华东师大版）

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专题11.1 一元一次方程十六大考点【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc12751" 【考点1 方程、一元一次方程的概念】  PAGEREF _Toc12751 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc28261" 【考点2 方程、一元一次方程的解】  PAGEREF _Toc28261 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc70" 【考点3 同解方程】  PAGEREF _Toc70 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc32361" 【考点4 根据方程的解情况求值】  PAGEREF _Toc32361 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2203" 【考点5 方程遮挡问题】  PAGEREF _Toc2203 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc15463" 【考点6 判断方程解的情况】  PAGEREF _Toc15463 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc18766" 【考点7 等式的基本性质】  PAGEREF _Toc18766 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2914" 【考点8 一元一次方程的解法】  PAGEREF _Toc2914 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc9656" 【考点9 换元法、整体代入法解一元一次方程】  PAGEREF _Toc9656 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc9264" 【考点10 一元一次方程中的错看问题】  PAGEREF _Toc9264 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc13003" 【考点11 一元一次方程中的新定义问题】  PAGEREF _Toc13003 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc20899" 【考点12 一元一次方程中的动点问题】  PAGEREF _Toc20899 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc6928" 【考点13 绝对值方程】  PAGEREF _Toc6928 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc31514" 【考点14 列一元一次方程并求解】  PAGEREF _Toc31514 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc23424" 【考点15 一元一次方程的应用】  PAGEREF _Toc23424 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc22642" 【考点16 一元一次方程中的数形结合问题】  PAGEREF _Toc22642 \h 9【考点1 方程、一元一次方程的概念】【例1】（2022·湖南·七年级单元测试）下列方程中，一元一次方程共有（    ）个①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x＋1＝1x；④3x−14＋15＝0；  ⑤x2＋3x＋1＝0；⑥x﹣1＝12A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）若方程2xa−2+a=5是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（    ）A．1 B．-1 C．3 D．-3【变式1-2】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学阶段练习）下列式子中：①5x+3y=0，②6x2−5x，③3x<5，④x2+1=3，⑤x5+2=3x，⑥x+1x+2=5，⑦x2=1是方程的有_________，是一元一次方程的有________（填序号）．【变式1-3】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期中）关于x的方程a-3x=bx+2是一元一次方程，则b的取值情况是（　　）A．b≠-3 B．b=-3 C．b=-2 D．b为任意数【考点2 方程、一元一次方程的解】【例2】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）下列方程中，解是x＝2的方程是（　　）A．2x＝5x+14 B．x2−1=0 C．2（x﹣1）＝1 D．2x﹣5＝1【变式2-1】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）下列方程后所列出的解不正确的是（    ）A．x2−1=x,x=−2 B．2−x=12+x,x=34C．−23x=32,x=−34 D．−x2+23=1,x=−23【变式2-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程﹣mx﹣n＝8的解为_____．【变式2-3】（2022·江西抚州·七年级期中）若方程3x+a=b的解是x=1，则关于未知数y的方程6y−2b+18+2a=0的解是y=______．【考点3 同解方程】【例3】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）方程3x＋6＝0与关于x的方程3x＝2﹣2m的解相同，则m的值为（    ）A．﹣2 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校七年级期中）已知关于x的方程2x=8与x+2＝－k的解相同，则代数式2−3kk2　的值是（    ）A．－94 B．49 C．－49 D．±49【变式3-3】（2022·广东惠州·七年级期末）若方程2x−5=x−2与3a−x−a2=a−a−2x5的解相同，求a的值．（解方程要有详细步骤）．【考点4 根据方程的解情况求值】【例4】（2022·上海市奉贤区青溪中学八年级期末）如果关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，那么a的取值范围是（　　）A．a＝−1 B．a＞−1 C．a≠−1 D．任意实数【变式4-1】（2022·全国·七年级专题练习）关于x的方程2a(x−1)=(5−a)x+3b有无穷多个解，则a−b=______．【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知y=2x+513−3x−217−32x+2．当x=1.5时，y>0；当x=1.8时，y<0．则方程2x+513−3x−217−32x+2=0的解可能是（    ）A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05【变式4-3】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x的方程mx=3−x的解为整数，则正整数m的值为______．【考点5 方程遮挡问题】【例5】（2022·重庆黔江·七年级期末）方程2y−12=12y−中被阴影盖住的是一个常数．已知此方程的解是y=−43．则这个常数是(    )A．−52 B．52 C．−32 D．−32【变式5-1】（2022·河南开封·七年级期末）某书中一道方程题2+⊕x3+1=x，⊕处印刷时被墨盖住了，查后面答案，这道题的解为x=−25，那么⊕处的数字为______．【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）小磊在解方程321−�−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=23，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是________．【变式5-3】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：−6×23−■−23．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．(1)如果被污染的数字是12，请计算−6×23−12−23．(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．【考点6 判断方程解的情况】【例6】（2022·江西抚州·七年级期中）若a+b=0，则方程ax+b=0的解有（    ）A．只有一个解 B．只有一个解或无解C．只有一个解或无数个解 D．无解【变式6-1】（2022春•嵩县期中）当a＝1时，方程（a﹣1）x+b＝0（其中x是未知数，b是已知数（　　）A．有且只有一个解 B．无解 C．有无限多个解 D．无解或有无限多个解【变式6-2】（2022•顺德区模拟）已知关于x的方程（a﹣2）x＝b+3．（1）若原方程只有一个解，则a　　，b　　．（2）若原方程无解，则a　　，b　　．（3）若原方程有无数多个解，则a　　，b　　．【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　）A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解C．只有一个解 D．无解【考点7 等式的基本性质】【例7】（2022·辽宁·葫芦岛市实验中学七年级阶段练习）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（   ）A．若−a=−b，则a=b B．若ac=bc，则a=bC．若ac=bc，则a=b D．若(m2+1)a=(m2+1)b，则a=b【变式7-1】（2022·河南·西峡县城区二中七年级阶段练习）a、b、c为有理数，下列变形不正确的是（   ）A．如果a=b，那么a+2=b+2； B．如果a=b，那么2−a=2−b；C．如果a=b，那么ac=bc； D．如果a=b，那么ac=bc．【变式7-2】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如图是方程1−3x−14=3+x2的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有（     ）A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤【变式7-3】（2022·广东广州·七年级期末）四个数w、x、y、z满足x－2021＝y+2022＝z－2023＝w+2024，那么其中最小的数是_____，最大的数是______．【考点8 一元一次方程的解法】【例8】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）解方程：(1)0.5x-0.7=6.5-1.3x；(2)5(x+6)=6(2x-7)+9；(3)1−2x−56=3−x4；(4)x−10.2=1+x−10.5．【变式8-1】（2022·上海市罗南中学阶段练习）解方程：14%x﹣9%（x+10）＝7%x﹣0.2．【变式8-2】（2022·湖南·邵阳市第十六中学七年级期末）解下列方程：(1)2x−2=12x+1(2)1−2x+15=x+310【考点9 换元法、整体代入法解一元一次方程】【例9】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于x的一元一次方程x2019+5=2019x+m的解为x=2018，那么关于y的一元一次方程5−y2019−5=2019(5−y)−m的解为（　　）A．2013 B．−2013 C．2023 D．−2023【变式9-1】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）当x＝1时，式子ax3+bx+1的值是2，则方程ax+12+2bx−34=x4的解是 _____．【变式9-2】（2022·山东德州·七年级阶段练习）用整体思想解方程3（2x－3）- 13（3－2x）=5（3－2x）+12（2x－3）【变式9-3】（2022·浙江杭州·七年级期末）已知关于x的一元一次方程12016x+3=2x+b的解为x=5，那么关于y的一元一次方程12016(y+1)+3=2(y+1)+b的解为________．【考点10 一元一次方程中的错看问题】【例10】（2022·全国·七年级专题练习）某同学解方程4x−3=□x+1时，把“□”处的系数看错了，解得x=4，他把“□”处的系数看成了（    ）A．3 B．−3 C．4 D．−4【变式10-1】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程3a−x=13（x为未知数）时，误将−x看作+x，解得方程的解x=−2，则a＝________，原方程的解为________．【变式10-2】（2023·河北·九年级专题练习）已知关于x的方程2x−13=x−a2−1的解为x=−10，则a的值为______；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的-1忘记乘6，则嘉琪解得方程的解为x=______．【变式10-3】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）嘉淇解方程2x−65+1＝x+a2时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1．(1)试求a的值；(2)求原方程的解．【考点11 一元一次方程中的新定义问题】【例11】（2022·全国·七年级专题练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（  ）A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2【变式11-1】（2022·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）已知，对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定了一种运算：|a bc d|＝ad﹣bc，例如|1 02 −2|＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当|2x+1 −4x−1 3|＝19时，求x的值．【考点12 一元一次方程中的动点问题】【变式12-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，BC=26cm，射线AG∥BC，动点E从点A出发沿射线的AG方向以每秒2cm的速度运动，点E出发1秒后，动点F从点B出发在线段BC上以每秒4cm的速度向点C运动．当点F运动到点C时，点E随之停止运动．连接AF，CE．设点E的运动时间为t（秒），当△AEC的面积等于△AFC的面积时，t的值为______（秒）【变式12-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为__________． 【变式12-3】（2022·上海理工大学附属初级中学期中）已知：△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，a是最小的合数，b、c满足等式：b−5+c−62=0，点P是△ABC的边上一动点，点P从点B开始沿着△ABC的边按BA→AC→CB顺序顺时针移动一周，回到点B后停止，移动的路径为S，移动的速度为每秒3个单位长度．如图1所示．(1)试求出△ABC的周长；(2)当点P移动到AC边上时，化简：S−4+3S−6+4S−45；(3)如图2所示，若点Q是△ABC边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着△ABC的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当t为何值时，P， Q两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点P在△ABC哪条边上？【考点13 绝对值方程】【例13】（2022·四川·安岳县九韶初级中学七年级阶段练习）方程x−k=12的解是x=2，那么k=______．【变式13-1】（2022·全国·七年级专题练习）已知方程(m+1)x|m|−8=0是关于x的一元一次方程．(1)求代数式5x2−2(xm+2x2)−(xm+6)的值；(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．【变式13-2】（2022·江苏·南通市新桥中学七年级阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值号，转化为一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|＝3．解：当x≥0时，原方程可化为x+2x＝3，解得x＝1，符合题意；当x＜0时，原方程可化为x-2x＝3，解得x＝-3，符合题意．所以，原方程的解为x＝1或x＝-3．仿照上面的解法，解方程x−43 - 8＝－x+22．【变式13-3】（2022·全国·七年级专题练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|=3，解：当x≥0时，方程可化为：x+2x=3，解得x=1，符合题意；当x<0时，方程可化为：x−2x=3，解得x=−3，符合题意．所以，原方程的解为x=1或x=−3．请根据上述解法，完成以下两个问题：（1）解方程：x+2|x−1|=3；（2）试说明关于x的方程|x+3|+|x−1|=a解的情况．【考点14 列一元一次方程并求解】【例14】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）已知关于x的代数式2x﹣5和5x﹣2互为相反数，则x的值为 _____．【变式14-1】（2022·黑龙江·绥芬河市第三中学七年级期中）已知x3+4−3x+a与2x2+5x−3的常数项相同，则a=__________．【变式14-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）x等于什么数时，代数式x−23的值比4x−14的值小1．【变式14-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）若x与8之和的2倍等于x与1之差的3倍，则x=______．【考点15 一元一次方程的应用】【例15】（2022·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．【变式15-1】（2022·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？【变式15-2】（2022·河北承德·七年级期末）小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单：小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜．(1)他们共点了______份B餐；（用含x的式子表示）(2)若他们套餐共买6杯饮料，求实际花费多少元；(3)若他们点餐优惠后一共花费了256元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的．【变式15-3】（2022·江苏镇江·七年级期末）某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：例如：寄往省内一件1.6千克的物品，运费总额为：8+5×(0.5+0.5)=13元．寄往省外一件2.3千克的物品，运费总额为：12+6×(1+0.5)=21元．（下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）(1)小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件2.8千克的物品，各需付运费多少元？(2)小明寄往省内一件重(m+n)千克，其中m是大于1的正整数，n为大于0且不超过0.5的小数（即0