专题11.2 不等式（组）与方程（组）的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破（苏科版）

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【典例1】阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．
例如：已知方程2x−1=1与不等式x+1>0，当x=1时，2x−1=2×1−1=1，1+1=2>0同时成立，则称“x=1”是方程2x−1=1与不等式x+1>0的“理想解”．
问题解决：
（1）请判断方程3x−5=4的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①2x−3>3x−1， ②2x−1≤4， ③x+1>0x−2≤1；
（2）若x=my=n是方程组x+2y=62x+y=3q与不等式x+y>1的“理想解”，求q的取值范围；
（3）当k<3时，方程3x−1=k的解都是此方程与不等式4x+n【思路点拨】
（1）根据“理想解”的定义进行求解即可；
（2）把x=my=n代入相应的方程组和不等式，从而求得q的取值范围；
（3）根据当k＜3时，方程3（x−1）=k的解都是此方程与不等式4x+n＜x+2m的“理想解”，可求得x=k3+1，x<2m−n3 ，从而得到n≤2m−6，结合m+n≥0且满足条件的整数n有且只有一个，此时n恰好有一个整数解－2，从而可求m的范围．
【解题过程】
（1）解：3x-5=4，解得：x=3，
当x=3时，①2x−3＞3x−1，解得：x＜−2，故①不符合题意；
②2（x−1）≤4，解得：x≤3，故②符合题意；
③x+1>0x−2≤1，解得x>−1x≤3，故不等式组的解集是：−1＜x≤3，故③符合题意；
故答案为：②③；
（2）解：∵x=my=n是方程组x+2y=62x+y=3q与不等式x+y>1的“理想解”，
∴m+2n=62m+n=3q，
解得m=2q−2n=4−q，
∴2q−2+4−q>1，
解得q>−1；
（3）解：∵当k＜3时，方程3（x−1）=k的解都是此方程与不等式4x+n＜x+2m的“理想解”，
∴3（x−1）=k，
解得x=k3+1，
由4x+n＜x+2m解得x<2m−n3．
∵k<3，
∴k3+1<2，即x<2.
∵方程3（x−1）=k的解都是此方程与不等式4x+n＜x+2m的“理想解”，
∴2m−n3≥2，
∴n≤2m−6．
∵m+n≥0满足条件的整数n有且只有一个，
∴n≥−m
∴2m−6≥−m解得m≥2
∴−m≤−2，2m−6≥−2，
∴此时n恰好有一个整数解-2，
∴-3<−m≤−2−2≤2m−6<−1，
∴2≤m<52．
1．（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组x−x−13<1−12(x−a)≤0有解，且最多有3个整数解，且关于y、z的方程组12y+z=2ay−2z=4的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．9B．6C．-2D．-1
2．（2023春·七年级课时练习）若整数a使关于x的不等式组x+12≤2x+56x−2>a至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是( )．
A．－3B．－4C．－10D．－14
3．（2023春·全国·八年级专题练习）若整数a使得关于x的方程2(x−2)+a=3的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组3y−22+2>y−22y−a10≤0至少有3个整数解．则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．23B．25C．27D．28
4．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x、y的二元一次方程组3x+2y=−a−1x−29y=a+139的解满足x≥y，且关于s的不等式组s>a−73s≤1恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．（2023·全国·七年级专题练习）已知关于x、y的二元一次方程组x+y=3a−12x−y=3a+4的解满足x≥y，且关于x的不等式组2x+1>2a2x−110≤35有解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
6．（2022秋·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）如果整数m使得关于x的不等式组x−m>0 x−43−x≥−4有解，且使得关于x，y的二元一次方程组mx+y=52x+y=1的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．（2022春·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）已知x，y同时满足x+3y=4−m，x−5y=3m，若y>1−a，3x−5≥a，且x只能取两个整数，则a的取值范围是_____．
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组2x+y=m−1x+2y=7的解满足−19．（2022秋·广西南宁·八年级南宁三中校考开学考试）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组T（2m，5−4m）≤4T（m，3−2m）＞P恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
10．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组x−y=2ax+2y=3−a，其中−3≤a≤1，给出下列结论：①当a=−1时，x，y的值互为相反数；
②x=3y=−1是方程组的解；
③无论a取何值，x，y恒有关系式x+y=2；
④若x≤−1，则3≤y≤4．
其中正确结论的序号是 _____．（把所有正确结论的序号都填上）
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=5k+82x−y=7k
（1）若方程组的解满足方程13x−2y=5，求实数k的值；
（2）若方程组的解满足条件x＞0，且y＞0，求实数k的取值范围．
12．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=1+2mx+2y=2−m的解满足不等式组x−y<8x+y>1．
（1）试求出m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1．
13．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x、y的方程组2x−y=−1x+2y=5a−8的解都为非负数．
（1）用含有字母a的代数式表示x和y；
（2）求a的取值范围；
（3）已知2a−b=1，求a+b的取值范围．
14．（2022春·福建泉州·七年级校考期中）已知关于x、y的方程组2x−y=−13x+2y=2m−1（实数m是常数）．
（1）若x+y=4，求实数m的值；
（2）若2715．（2022春·四川宜宾·七年级统考期末）已知关于x、y的方程组x+y=−m−7①x−y=3m+1②的解满足x≤0，y＜0．
（1）用含m的代数式分别表示x和y；
（2）求m的取值范围；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1？
16．（2022春·福建泉州·七年级校考期中）已知方程x+y=−5−mx−y=1+5m的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：m−3−m+2；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx−x<2m−1的解集为x>1．
17．（2022春·贵州六盘水·八年级统考期中）（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整．
问题：实数x，y满足x−y=2，x+y=a，且x>1，y<0，求a的取值范围．
解：列关于x，y的方程组{x−y=2x+y=a，解得{x=a+22y=a−22，又因为x>1，y<0，所以{a+22>1a−22<0，解得______；
（2）已知x−y=4，且x>3，y<1，求x+y的取值范围；
（3）若a，b满足3a2+5|b|=7，S=2a2−3|b|，求S的取值范围．
18．（2023春·七年级课时练习）阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）：的“理想解”，例如：已知方程2x−1=1与不等式x+1>0，当x=1时，2x−1=2×1−1=1，1+1=2>0同时成立，则称“x=1”是方程2x−1=1与不等式x+1>0的“理想解”．
（1）问题解决：请判断方程2x−5=1的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①2x−2>3x；②3x−1≤6；③x+1>0x−2≤1
（2）若x=my=n是方程组x+2y=62x+y=3q与不等式x+y>1的“理想解”，求q的取值范围；
（3）若关于x，y的方程组3x−y=2a−5x+2y=3a+3与不等式2x+y≤a+5的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围．
19．（2022春·湖南长沙·七年级校联考期末）如果一个一元一次方程的解在一个一元一次不等式（组）的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的关联方程．例：方程x−1=0是不等式x+3>0的关联方程．
（1）试判断方程2x+3=1是下列哪个不等式的关联方程①2-x<0； ②3x+16≥52；③x−12<3；请直接写出序号_________．
（2）若关于x的方程2x-k=1是不等式组-x−1>32x+9≥3的关联方程，求k的取值范围．
（3）若方程3−x=2x，3+x=2x+12都是关于x的不等式组x+1>mx−m≤2m+1的关联方程且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围．
20．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料：
【数学问题】已知x−y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【问题解决】∵x−y＝2，∴x＝y+2
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞−1
又∵y＜0，
∴−1＜y＜0①
同理得：1＜x＜2②
由①+②得：−1+1＜x+y＜0+2
即：0＜x+y＜2
（1）【类比探究】在数学问题中的条件下，x＋2y的取值范围是 ．
（2）已知x−y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
（3）已知y≥1，x＜−1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x−2y的取值范围（用含a的代数式表示）．