专题9.1 整式的乘法（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破（苏科版）

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【典例1】【知识回顾】有这样一类题：
代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=a+3x−6y+5，所以a+3=0，即a=−3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式(2m−3)x+2m2−3m的值与x的取值无关，求m的值；
（2）已知3(2x+1)(x−1)−x(1−3y)+6(−x2+xy−1)的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1-S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【思路点拨】
（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出3A+6B的值，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设AB=x，先求出S1,S2，从而可得S1−S2，再根据“当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变”可知S1−S2的值与x的值无关，由此即可得．
【解题过程】
解：（1）(2x−3)m+2m2−3x=2mx−3m+2m2−3x
=(2m−3)x−3m+2m2，
∵关于x的多项式(2x−3)m+2m2−3x的值与x的取值无关，
∴2m−3=0，
解得m=32；
（2）令A=(2x+1)(x-1)-x(1-3y)=2x2-2x+x-1-x+3xy=2x2+3xy-2x-1，
B=−x2+xy−1，
原式=3A+6B=3(2x2+3xy−2x−1)+6(−x2+xy−1)
=6x2+9xy−6x−3−6x2+6xy−6
=15xy−6x−9
=(15y−6)x−9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴15y−6=0，
解得y=25；
（3）解：设AB=x，
由图可知，S1=a(x−3b)=ax−3ab，S2=2b(x−2a)=2bx−4ab，
则S1−S2=ax−3ab−(2bx−4ab)
=ax−3ab−2bx+4ab
=(a−2b)x+ab，
∵当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变，
∴S1−S2的值与x的值无关，
∴a−2b=0，
∴a=2b．
1．（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）已知a1，a2，a3，…，a2022均为负数，则M=a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2021a2+a3+⋅⋅⋅+a2022，N=a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2022a2+a3+⋅⋅⋅+a2021，则M与N的大小关系是（ ）
A．M=NB．M>NC．M2．（2022秋·全国·七年级专题练习）设x，y为任意有理数，定义运算：x∗y=(x+1)(y+1)−1，得到下列五个结论：①x∗y=y∗x；②x∗y+z=x∗y+x∗z；③(x+1)∗(x−1)=x∗x−1；④x∗0=0；⑤(x+1)∗(x+1)=x∗x+2∗x+1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022春·江苏·七年级专题练习）设x+y+z=2020，且x2019=y2020=z2021，则x3+y3+z3−3xyz=（ ）
A．673B．20203C．20213D．674
4．（2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为y−15；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x−y+5；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x=15时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③B．②④C．①③④D．①④
5．（2022春·浙江杭州·七年级统考期中）若a=255，b=344，c=433，d=522，则a，b，c，d的大小______(用<号连接)．
6．（2022秋·七年级单元测试）计算1−12−13−14−1512+13+14+15+16−1−12−13−14−15−1612+13+14+15的结果是_______．
7．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如果x−1x−2x−3x−4+m是一个完全平方式，那么m=______
8．（2022秋·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）若a+b+c=0，a3+b3+c3=0，则a23+b23+c23=______．
9．（2022秋·上海·七年级专题练习）若a, b, c 满足a+b+c=1, a2+b2+c2=2, a3+b3+c3=3，则a4+b4+c4=________
10．（2022春·江苏·七年级专题练习）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1=6S2，则ab的值是______．
11．（2022秋·七年级课时练习）若x2+3mx−13x2−3x+n的积中不含有x与x3项．
（1）直接写出m、n的值，即m=___________，n= ___________；
（2）求代数式−m2n3+9mn2+3m2014n2016的值．
12．（2020春·浙江杭州·七年级校考期中）回答下列问题：
（1）填空：
a−ba+b=___________________；
a−ba2+ab+b2=_____________________；
a−ba3+a2b+ab2+b3=______________________．
（2）猜想：
a−ban−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1=___________________．（其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①210+29+28+27+⋯+23+22+2；
②210−29+28−27+⋯−23+22−2．
13．（2022春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021①
则2S=2+22+⋅⋅⋅+22021+22022②
②−①得，2S−S=S=22022−1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+⋅⋅⋅+220=______；
（2）求1+12+122+⋅⋅⋅++1250=______；
（3）求−2+−22+⋅⋅⋅+−2100的和；（请写出计算过程）
（4）求a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan的和（其中a≠0且a≠1）．（请写出计算过程）
14．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a,b，如果ac=b．我们叫a,b为“雅对”．
例如：因为23=8，所以2,8=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式3,3+3,5=3,15成立．证明如下：
设3,3=m，3,5=n，则3m=3，3n=5，故3m⋅3n=3m+n=3×5=15，
则3,15=m+n，即3,3+3,5=3,15．
（1）根据上述规定，填空：2,4=_________；5,1=_________；3,27=_________．
（2）计算5,2+5,7=___________，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：2n,3n=2,3，对于任意自然数n都成立．
15．（2022春·江西抚州·七年级统考阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算8x2+6x+1÷2x+1，可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算.因此8x2+6x+1÷2x+1=4x+1.
（1）x3+4x2+5x−6÷x+2的商是______，余式是______.
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4+4x3+ax2+8x−b能被x2−x+1整除，求ab值.
（3）已知一个长为x+2，宽为x−2的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为x+10，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长.
16．（2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=15,ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=_____；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形图形，则x+y+z=_______．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和GE，若两正方形的边长满足a+b=12, ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？
17．（2022秋·江苏常州·七年级校考期中）已知7张如图1所示的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S．设BC=t．
（1）用a、b、t的代数式表示S= ___________ ．
（2）当BC的长度变化时，如果S始终保持不变，则a、b应满足的数量关系是什么？
（3）在（2）的条件下，用这7张长为a，宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当x+y的值最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含b的代数式表示）？并求出此时的x、y的值．
18．（2022春·四川达州·七年级统考期末）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）．
（1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形ABCD和正方形EFGH，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
（2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
（3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若AB=b，BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为S1，S2，若m=S1−S2，求证：m与x无关．
19．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，4张长为x，宽为y（x＞y）的长方形纸片拼成一个边长为（x＋y）的正方形ABCD．
（1）当正方形ABCD的周长是正方形EFGH周长的三倍时，求xy的值；
（2）当空白部分面积是阴影部分面积的二倍时，求xy的值；
（3）在（2）的条件下，用题目条件中的4张长方形纸片，m张正方形ABCD纸片和n张正方形EFHG纸片（m，n为正整数），拼成一个大的正方形（拼接时无空隙、无重叠），当m，n为何值时，拼成的大正方形的边长最小？
20．（2022春·广东佛山·七年级统考期末）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：a+b2=a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=__________；
（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为2a+ba+2b长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+y+z=______；
（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．
【方法拓展】
（5）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k．试通过构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn