专题10.3 方案选择问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破（苏科版）

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【典例1】某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【思路点拨】
（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案；
②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，
依题意，得：2x+3y=123x+4y=17，
解得：x=3y=2．
故答案为：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨．
（2）①依题意，得：3m+2n＝21，
∴m＝7﹣23n．
又∵m，n均为非负整数，
∴m=1n=9或m=3n=6或m=5n=3或m=7n=0．
答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车．
②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），
方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），
方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），
方案4所需租车费为120×7＝840（元）．
∵1020＞960＞900＞840，
∴最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元．
1．（2022春·全国·七年级假期作业）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
【思路点拨】
（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据120吨水果和8200元运费列方程组求解；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据水果120吨，16辆车列三元一次方程组，结合未知数的实际意义求解.
【解题过程】
解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
5x＋8y＝120400x＋500y＝8200，
解得x＝8y＝10.
答：分别需甲车型8辆，乙车型10辆.
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
x＋y＋z＝165x＋8y＋10z＝120，
消去z得5x＋2y＝40，x＝8−25y，
因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5或10，
由z是正整数，解得x＝6y＝5z＝5，x＝4y＝10z＝2，
有二种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）自从上海发生新冠肺炎发生以来，社会各界携手抗疫，全国人民积极捐助，共克时艰．温州市无偿捐助新鲜蔬菜120 t运往疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：(假设每辆车均满载)
（1）全部蔬菜可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车____辆来运送；
（2）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出运费最省时三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
【思路点拨】
（1）直接用算术方法解答；
（2）根据已知条件列出二元一次方程组解答；
（3）设需要m辆甲型车，n辆乙型车，需要(16－m－n)辆丙型车，则根据题意可以得到关于m、n的二元一次方程，然后根据m、n同为整数，可以算出满足条件的几种方案，对每种方案计算出运费并进行比较即可得解．
【解题过程】
解：（1）(120－5×8－8×5)÷10＝4(辆)；
（2）设需要x辆甲型车，y辆乙型车，
依题意，得5x+8y=120,400x+500y=8200,解得x=8,y=10.
答：需要8辆甲型车，10辆乙型车；
（3）设需要m辆甲型车，n辆乙型车，则需要(16－m－n)辆丙型车，依题意，得5m＋8n＋10(16－m－n)＝120，
∴m＝8－25n.
∵m，n，(16－m－n)均为正整数，
∴m=6,n=5或m=4,n=10.
当m＝6，n＝5时，16－m－n＝5，此时总运费为400×6＋500×5＋600×5＝7900(元)；
当m＝4，n＝10时，16－m－n＝2，此时总运费为400×4＋500×10＋600×2＝7800(元)．
∵7 900＞7 800，
∴m＝4，n＝10，16－m－n＝2.
答：需要4辆甲型车、10辆乙型车、2辆丙型车运费最省，此时的运费是7800元．
3．（2022秋·宁夏银川·八年级校考期末）某校准备组织七年级400名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金7600元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【思路点拨】
（1）每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；
（2）①设租用小客车x辆，大客车y辆，由题意得：20×小客车的数量+45×大客车的数量=400人，根据等量关系列出方程，求出非负整数解即可；②分别计算出每种租车方案的钱数，进行比较即可．
【解题过程】
（1）解：设每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，
根据题意，得
3a+b=105a+2b=110，
解得a=20b=45，
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生．
（2）①根据题意，得20x+45y=400，
∴y=80−4x9，
∵x、y均为非负整数，
∴x=20y=0，x=11y=4，x=2y=8
∴租车方案有3种．方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小客车2辆，大客车8辆．
②方案1租金：4000×20=80000（元）
方案2租金：4000×11+7600×4=74400（元）
方案3租金：4000×2+7600×8=68800（元）
∵80000>74400>68800，
∴方案3租金最少，最少租金为68800元．
4．（2023春·七年级课时练习）芒果大王小明春节前欲将一批芒果运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满芒果一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满芒果一次可运走11吨．现有芒果31吨，计划同时租用A型车x辆，B型车y第，一次运完，且恰好每辆车都载满芒果，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满芒果一次可分别运送多少吨？
（2）请你据该物流公司设计租车方案：
（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费用是多少．
【思路点拨】
（1）设1辆A型车载满蔬菜一次可运送x吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送y吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意列出二元一次方程，然后根据题意求出整数解即可；
（3）分别计算出每种方案的费用，然后比较即可
【解题过程】
（1）解：设1辆A型车载满蔬菜一次可运送x吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送y吨，
依题意得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4．
答：1辆A型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送4吨．
（2）依题意得：3x+4y＝31，
∴x=31−4y3．
又∵x，y均为非负整数，
∴x=9y=1或x=5y=4或x=1y=7，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）方案1所需租车费为100×9+120×1＝1020（元）；
方案2所需租车费为100×5+120×4＝980（元）；
方案3所需租车费为100×1+120×7＝940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
5．（2023秋·甘肃白银·八年级统考期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题．
（1）KN95型口罩与普通医用口罩的单价分别是多少元？
（2）甲、乙两家药店同时出售同样的KN95型口罩与普通医用口罩．5月，两家药店开展促销活动．甲药店规定：这两种口罩都打九折．乙药店规定：买一个KN95型口罩赠送一个普通医用口罩．若某家庭想要买20个KN95型口罩和50个普通医用口罩，请问选择哪家药店购买更合算，并说明理由．
【思路点拨】
（1）设KN95型口罩的单价是x元，普通医用口罩的单价是y元，利用总价=单价×数量，结合图中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）选择甲药店购买更合算，利用总价=单价×数量，结合两家药店给出的优惠方案，即可求出选择各药店所需费用，比较后即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：设KN95型口罩的单价为x元，普通医用口罩的单价为y元，
根据题意，得3x+y=19.55x+2y=33，
解得x=6y=1.5，
答：KN95型口罩的单价为6元，普通医用口罩的单价为1.5元；
（2）解：到乙药店购买更合算，
理由：到甲药店购买需20×6+50×1.5×90%=175.5（元），到乙药店购买需20×6+50−20×1.5=165（元），
因为175.5>165，
所以到乙药店购买更合算．
6．（2023春·七年级单元测试）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户，若买医用口罩800个和洗手液120瓶，则钱还缺200元；若买医用口罩1200个和洗手液80瓶，则钱恰好用完．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）由于实际需要，还须增加购买单价为6元的N95口罩．需购买医用口罩和N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，再用买口罩后剩余的钱购买洗手液，且钱恰好全部用完，则有几种购买方案？请说明理由．
【思路点拨】
（1）设医用口罩和洗手液的单价分别为x元，y元，然后根据买医用口罩800个和洗手液120瓶，则钱还缺200元；若买医用口罩1200个和洗手液80瓶，则钱恰好用完列出方程组求解即可；
（2）设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则购买医用口罩（1200-a）个，然后根据购买医用口罩和N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，再用买口罩后剩余的钱购买洗手液，且钱恰好全部用完，列出方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：设医用口罩和洗手液的单价分别为x元，y元，
由题意得800x+120y=5400+2001200x+80y=5400，
解得x=2.5y=30，
∴医用口罩和洗手液的单价分别为2.5元，30元，
答：医用口罩和洗手液的单价分别为2.5元，30元；
（2）解：一共有三种购买方案，理由如下：
设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则购买医用口罩（1200-a）个，
由题意得：6a+2.51200−a+30b=5400，
∴7a+60b=4800，
∴b=80−7a60，
∵a、b都是正整数，
∴a为60的倍数，且a≤200，
∴当a=60时，b=73，
当a=120时，b=66，
当a=180时，b=59，
∴一共有三种购买方案.
7．（2023春·浙江·七年级阶段练习）为预防新冠肺炎病毒，市面上KN95等防护型口罩出现热销．已知3个A型口罩和4个B型口罩共需47元；2个A型口罩和3个B型口罩共需34元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价出售，则小红有多少种不同的购买方案？请设计出来．
【思路点拨】
（1）设一个A型口罩的售价为x元，一个B型口罩的售价为y元，根据“3个A型口罩和4个B型口罩共需47元；2个A型口罩和3个B型口罩共需34元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m个A型口罩和n个B型口罩，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【解题过程】
（1）设一个A型口罩的售价为x元，一个B型口罩的售价为y元，
依题意，得：3x+4y=472x+3y=34，
解得：x=5y=8，
答：一个A型口罩的售价为5元，一个B型口罩的售价为8元；
（2）设可以购买m个A型口罩和n个B型口罩，
依题意，得：5(1+40%)m+8n=160，
∴n=20−78m，
又∵m，n均为正整数，
∴m=8n=13或m=16n=4，
∴小红有2种不同的购买方案，方案1：购买8个A型口罩，13个B型口罩；方案2：购买16个A型口罩，4个B型口罩．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球，若购买2个足球和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元．
（1）求出足球和篮球的单价分别是多少？
（2）已知该年级决定用800元购进两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明．
【思路点拨】
（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“若购买2个足球和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个足球，n个篮球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【解题过程】
（1）解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，
依题意，得：2x+3y=2204x+2y=280，
解得：x=50y=40，
答：足球的单价为50元，篮球的单价为40元；
（2）设购买m个足球，n个篮球，
依题意，得：50m＋40n＝800，
解得：n=20−5m4
∵m，n均为正整数，
∴当m＝4时，n＝15；当m＝8时，n＝10；当m＝12时，n＝5；
∴有三种购买方案，
方案1：购进4个足球，15个篮球；
方案2：购进8个足球，10个篮球；
方案3：购进12个足球，5个篮球．
9．（2023秋·湖南郴州·七年级校联考期末）某中学八年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学阳光体育课间使用，共买了3个篮球和5个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜30元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少吗？
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折；②满减活动：999减100，1999减200；两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如何安排更划算？
【思路点拨】
（1）设篮球的单价是x元，排球的单价为y元，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可；
（2）根据题意中的等量关系列出等式分别求出两个套装需要付款的总数，比较大小即可.
【解题过程】
解：（1）设篮球的单价是x元，排球的单价为y元，
根据题意得：
x−y=303x+5y=570，
解得：
x=90y=60，
答：篮球的单价是90元，排球的单价为60元;
（2）按照套装①打折，
买15个篮球和15个排球需付款：15×90×0.8+15×60×0.8=1800（元），
按照套装②打折，
15个篮球需付款：15×90=1350（元），
13个排球需付款：13×60=780（元），
共需付款：1350+780﹣200=1930（元），
即按照套装①购买更划算，
答：按照套装①购买更划算．
10．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）某校在体育商城三次购买某种型号足球与篮球若干，购买数量与价格如表所示，其中第三次购买时巧遇商城做促销活动，该种型号的足球与篮球都打n折销售．
（1）分别求该种型号的足球与篮球的标价．
（2）求n的值．
（3）若该校第四次购买该种型号足球与篮球（足球，篮球都要有），且折扣与第三次购买时相同，共花去960元，则该校有哪几种购买方案？
【思路点拨】
（1）设该种型号的足球、篮球的标价分别为x元、y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可；
（2）按打n折计算，根据题意列方程列方程10×80×n10+12×100×n10=1200，解方程求出n的值即可；
（3）设第四次购买a个足球、b个篮球，根据题意得80×610a+100×610b=1200，由a、b都是整数，a≠0，b≠0，求出方程的解即可得出购买足球和篮球的个数，确定出购买方案．
【解题过程】
（1）解：设该种型号的足球、篮球的标价分别为x元、y元，
根据题意得8x+6y=12405x+7y=1100，
解得x=80y=100，
答：该种型号的足球、篮球的标价分别为80元、100元；
（2）解：根据题意得10×80×n10+12×100×n10=1200，
解得n=6，
答：n的值是6；
（3）解：设第四次购买a个足球、b个篮球，
根据题意得80×610a+100×610b=1200，
整理得a=100−5b4，
∵a、b都是整数，a≠0，b≠0，
∴a=5b=16或a=10b=12或a=15b=8或a=20b=4，
答：有四种购买方案，即购买足球5个，篮球16个或购买足球10个，篮球12个或购买足球15个，篮球8个或购买足球20个，篮球4个．
11．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：
甲班分两次共购买苹果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班则一次购买苹果80千克．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
【思路点拨】
（1）首先根据总价＝单价×数量，用一次性购买50千克以上苹果时，每千克苹果的价格乘以80，求出乙班付出多少钱；然后用甲班付出的钱数减去乙班付出的钱数，求出乙班比甲班少付出多少元即可．
（2）根据第二次多于第一次，分三种情况讨论：①其中一次不30千克以下，另一次50千克以上；②当x=30，y=50时，不满足题意；③两次都30千克以上，但不超过50千克，根据两次一共付出185元，则有：2.5×80=200≠185，不满足题意，求出甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克后结合题意分析即可．
【解题过程】
（1）解： 185−80×2=25 （元）
答：乙班比甲班少付出25元．
（2）设甲班第一次、第二次分别购买苹果x、y千克，则依据题意得：
①当0≤x<30，y>50，则有：
x+y=803x+2y=185，解得：x=25y=55，经检验满足题意；
②当x=30，y=50时，30×3−50×2.5=215≠185，不满足题意；
③当30≤x≤50，30≤y≤50，则有：2.5×80=200≠185，不满足题意．
答：甲班第一次购买苹果25千克，第二次购买55千克．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）草场收割队每小时需要割草54亩，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型弓的割草机来完成这项工作（两种都要租），已知该公司一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型收割机与3台乙型收割机恰好能完成每小时的收割量．
（1）求每台甲型收割机与每台乙型收割机每小时各割草多少亩？
（2）该收割队恰好完成每小时的割草量，请设计该收割队的租用方案．
【思路点拨】
（1）设甲型号的割草机每小时割草x亩，乙型号的割草机每小时割草y亩，根据“一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型割草机与3台乙型割草机每小时共割草54亩”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出答案；
（2）设租用m台甲型割草机、n台乙型割草机，根据每小时共割草54亩，即可得出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数即可得出租方用案．
【解题过程】
（1）解：设甲型号的割草机每小时割草x亩，乙型号的割草机每小时割草y亩．
根据题意得：x+y=145x+3y=54，
解得：x=6y=8．
答：甲型号的割草机每小时割草6亩，乙型号的割草机每小时割草8亩．
（2）设租用m台甲型割草机，n台乙型割草机．
根据题意得：6m+8n＝54，
化简得：3m+4n＝27，
∴m＝9−43n．
∵m、n均为正整数（两种都要租，m、n均不能为0），
∴m=5n=3或m=1n=6．
答：可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机；或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机， 已知厂家生产三种不同号的电视机， 出厂价分别为： 甲种每台1500元， 乙种每台2100元， 丙种每台 2500元．
（1）若商场计划同时只购进其中两种不同型号的电视机，并且正好用完拨款．请你给出所有可行的采购方案．
（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元．在以上的方案中， 为使获利最多， 你选择哪种进货方案？
【思路点拨】
（1）利用平均价格=总价÷单价，可求出购进50台电视的平均价格为1800元，结合题意，三种情况考虑，甲、乙、丙三类电视机选择2类共3种可能：甲乙、甲丙、乙丙，再由9万元从厂家购进50台电视机，列二元一次方程组，解方程组即可；
（2）利用总利润=每台利润×购进数量，可分别求出各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：甲、乙、丙三类电视机选择2类共3种可能：甲乙、甲丙、乙丙．
甲乙：设购进甲电视机x台、乙电视机y台．
可得到方程：x+y=501500x+2100y=90000
解得：x=25y=25
甲丙：设购进甲电视机x台、丙电视机z台．
可得到方程：x+z=501500x+2500z=90000
解得：x=35z=15
乙丙：设购进乙电视机y台、丙电视机z台．
可得到方程：y+z=502100y+2500z=90000
解得：y=87.5z=−37.5（不合题意，舍去）
答：可选择方案：1、采购甲乙两种电视机各25台 2、采购甲丙两种电视机分别35台和15台．
（2）方案1：150×25+200×25=8750（元）
方案2：150×35+250×15=9000（元）
9000＞8750
答：选择方案2：采购甲丙两种电视机分别35台和15台，获利最大．
14．（2023秋·山西运城·八年级统考期末）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装． 生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【思路点拨】
（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设招聘y名新工人，根据招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，即可得出关于y，n的二元一次方程，结合0【解题过程】
（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车， 依题意得：2x+y=103x+2y=16，
解得： x=4y=2．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设招聘y名新工人，
依题意得：122y+4n=288，
∴y=12−2n．
∵0∴ n=1y=10或 n=2y=8或 n=3y=6 或 n=4y=4，
∴工厂有4种新工人的招聘方案， 方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；
方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；
方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；
方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．
15．（2023春·浙江·七年级专题练习）“当好东道主，文明迎亚运”，本区对亚运场馆附近的主干道进行了改造，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方1760m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过2000元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
【思路点拨】
（1）设需租用甲型号的挖掘机x台，乙型号的挖掘机y台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需租用甲型号的挖掘机m台，乙型号的挖掘机n台，根据恰好完成每小时的挖掘量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值，再结合每小时支付的租金不超过2000元，即可得出共有2种不同的租用方案．
【解题过程】
（1）解：设需租用甲型号的挖掘机x台，乙型号的挖掘机y台，
依题意得：x+y=8160x+240y=1760，
解得：x=2y=6．
答：需租用甲型号的挖掘机2台，乙型号的挖掘机6台；
（2）解：设需租用甲型号的挖掘机m台，乙型号的挖掘机n台，
依题意得：160m+240n=1760，
∴m=11-32n．
又∵m，n均为正整数，
∴m=8n=2或m=5n=4或m=2n=6．
①当m=8，n=2时，每小时需支付的租金为190×8+260×2=2040（元），2040＞2000，不符合题意，舍去；
②当m=5，n=4时，每小时需支付的租金为190×5+260×4=1990（元），1990＜2000，符合题意；
③当m=2，n=6时，每小时需支付的租金为190×2+260×6=1940（元），1940＜2000，符合题意．
答：共有2种不同的租用方案．
16．（2023春·七年级课时练习）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
（2）该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．
（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
【思路点拨】
（1）根据题意，设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，根据数量关系列方程解方程即可求解；
（2）计划恰好用4500元购进玩家，由（1）可知“冰墩墩”毛绒玩具每只进价，“雪容融”毛绒玩具每只进价，设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，根据数量关系即可求解；
（3）根据（2）中的方案，分别计算各自的利润，进行比较，由此即可求解．
【解题过程】
（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，
由题意得，8x+10y=200010x+20y=3100，解方程组得，x=150y=80，
∴“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元．
（2）解：设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，
由题意得，150m+80n=4500，
整理得，m=30−815n，
∵m、n为正整数，
∴m=22n=15或m=14n=30或m=6n=45，
∴专卖店共有3种采购方案．
（3）解：当m=22，n=15时，利润为：22×(200−150)+15×(100−80)=1400（元）；
当m=14，n=30时，利润为：14×(200−150)+30×(100−80)=1300（元）；
当m=6，n=45时，利润为：6×(200−150)+45×(100−80)=1200（元）；
∵1200<1300<1400，
∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具22只，购进“雪容融”毛绒玩具15只，最大利润为1400元．
17．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【思路点拨】
（1）根据2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可；
（3）根据（2）中的结果和题意，可以分别计算出各种方案获得的利润，从而可以得到最大利润．
【解题过程】
（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
由题意可得2a+3b=803a+2b=95，
解得a=25b=10，
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
（2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，
由题意可得25m+10n=180且m>0，n>0，
解得m=2n=13或m=4n=8或m=6n=3，
∴该公司共有三种购买方案，
方案一：购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车；
方案二：购买4辆A型汽车，购买8辆B型汽车；
方案三：购买6辆A型汽车，购买3辆B型汽车；
（3）解：当m=2，n=13时，获得的利润为：8000×2+6000×13=94000（元），
当m=4，n=8时，获得的利润为：8000×4+6000×8=80000（元），
当m=6，n=3时，获得的利润为：8000×6+6000×3=66000（元），
由上可得，最大利润为94000元，
∴购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大值为94000元．
18．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元．
（1）求11月份两种取暖器各购进多少台？
（2）在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现13的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
（3）今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：
甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示：
乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金．
已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？
【思路点拨】
（1）长虹取暖器和格力取暖器的总量是400，两种日光灯的总价是22200，可得方程组，即可得解；
（2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元根据题意可得：长虹取暖器销售额×（1-13）+格力取暖器销售额=总销售额，根据等量关系列出等式即可；
（3）通过已知条件计算出乙生产厂家一次性购买的总支出，然后，在甲乙两家购买总支出-乙生产厂家一次性购买的总支出=节约金额，注意分类讨论，在乙厂家支付的9700元的原价是否小于10000元．
【解题过程】
解：（1）设长虹取暖器购进x台，则格力取暖器购进y台．
由题意得：50x+60y=22200x+y=400
解得：x=180y=220
答：长虹取暖器购进180台，格力取暖器购进220台．
（2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：180×1−13m+70+220×90×1+5%=22200×1+35%
解得：m=6.5
答：长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多6.5元．
（3）当购买甲厂家150台，共支付150×60×0.9=8100<8610．
设在甲厂家购买了z台，则8100+z−150×60×0.85=8610．
解得：z=160．
若在乙厂家支付的9700元的原价小于10000元，
则可节约8610+9700−160×50+9700+200×0.98−296=1064元．
若在乙厂家支付的9700元的原价大于10000元，
则可节约8610+9700−160×50+9700+2960.98×0.98−296=770元．
答：商场可节约1064元或770元．
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(t/辆)
5
8
10
汽车运费(元/辆)
400
500
600
购物次数
足球数量
篮球数量
购买总费用/元
第一次
8
6
1240
第二次
5
7
1100
第三次
10
12
1200
购买苹果数
不超过30千克
30千克以上但不超过50千克
50千克以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
租金（单位：元/台•时）
挖掘土石方量（单位：m3/台•时）
甲型
190
160
乙型
260
240
一次性购买的数量
不超过150台的部分
超过150台的部分
折扣数
打九折
打八五折
出厂总金额
不超过7000元
超过7000元，但不超过10000元
超过10000元
返现金金额
0元
直接返现200元
先返现出厂总金额的2%，再返现296元