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专题7.4 与三角形有关线段的几何综合(压轴题专项讲练)-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破(苏科版)
展开【典例1】【数学经验】三角形的中线,角平分线,高是三角形的重要线段,同时,我们知道,三角形的3条高所在直线交于同一点.
(1)①如图1,△ABC中,∠A=90°,则△ABC的三条高所在直线交于点 ;
②如图2,△ABC中,∠BAC>90°,已知两条高BE、AD,请你仅用一把无刻度的直尺(仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段)画出△ABC的第三条高.(不写画法,保留作图痕迹)
【综合应用】
(2)如图3,在△ABC中,∠ABC>∠C,AD平分∠BAC,过点B作BE⊥AD于点E.
①若∠ABC=80°,∠C=30°,则∠EBD= ;
②请写出∠EBD与∠ABC,∠C之间的数量关系 ,并说明理由.
【拓展延伸】
(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,如果两个三角形的高相同,则它们的面积比等于对应底边的比.如图4,△ABC中,M是BC上一点,则有△ABM的面积△ACM的面积=BMCM.如图5,△ABC中,M是BC上一点,且BM=13BC,N是AC的中点,若△ABC的面积是m,请直接写出四边形CMDN的面积 .(用含m的代数式表示)
【思路点拨】
(1)①由直角三角形三条高的定义即可得出结论;②延长BE、DA交于点F,连接CF,延长BA交CF于点G,则CG为△ABC的第三条高;
(2)①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE=12∠BAC=35°,再由直角三角形的性质得∠ABE=55°,即可求解;②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可;
(3)连接CD,由中线的性质得S△ADN=S△CDN,同理S△ABN=S△CBN,设S△ADN=S△CDN=a,则S△ABN=S△CBN=12m,再求出S△CDM=23S△DBC=13m−23a,S△ACM=23S△ABC=23m,然后由面积关系求出a=14m,即可解决问题.
【解题过程】
(1)解:①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点,∠A=90°,
∴ΔABC的三条高所在直线交于点A,
故答案为:A;
②如图2,延长BE、DA交于点F,连接CF,延长BA交CF于点G,则CG为△ABC的第三条高;
(2)解:①∵∠ABC=80°,∠ACB=30°,
∴∠BAC=70°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=12∠BAC=35°,
∵BE⊥AD,
∴∠AEB=90°,
∴∠ABE=90°−35°=55°,
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=80°−55°=25°,
故答案为:25°;
②∠EBD与∠ABC,∠C之间的数量关系为:2∠EBD=∠ABC−∠ACB,理由如下:
∵BE⊥AD,
∴∠AEB=90°,
∴∠ABE=90°−∠BAD,
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=∠ABC+∠BAD−90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC,
∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB,
∴∠BAD=90°−12∠ABC−12∠ACB,
∴∠EBD=∠ABC+∠BAD−90°=∠ABC+90°−12∠ABC−12∠C−90°=12∠ABC−12∠ACB,
∴2∠EBD=∠ABC−∠ACB,
故答案为:2∠EBD=∠ABC−∠ACB;
(3)解:连接CD,如图5所示:
∵N是AC的中点,
∴ S△ADNS△CDN=ANCN=1,
∴S△ADN=S△CDN,
同理:S△ABN=S△CBN,
设S△ADN=S△CDN=a,
∵△ABC的面积是m,
∴S△ABN=S△CBN=12m,
∴S△BCD=S△ABD=12m−a,
∵BM=13BC,
∴ BMCM=12,
∴ S△BDMS△CDM=BMCM=12,S△ABMS△ACM=BMCM=12,
∴S△CDM=2S△BDM,S△ACM=2S△ABM,
∴S△CDM=23S△BCD=23×(12m−a)=13m−23a,S△ACM=23S△ABC=23m,
∵S△ACM=S四边形CMDN+S△ADN=S△CDM+S△CDN+S△ADN,
即:23m=13m−23a+a+a,
解得:a=14m,
∴S四边形CMDN=S△CDM+S△CDN=13m−23×14m+14m=512m,
故答案为:512m.
1.(2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习)如图,三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分,BE=3,BF=4,FC=5,AE=6,那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是( )
A.4:23B.4:25C.5:26D.1:6
2.(2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习)如图,在△ABC中,D是AB中点,E是BC边上一点,且BE=4EC,CD与AE交于点F,连接BF.若四边形BEFD的面积是14,则△ABC的面积是 ( )
A.28B.32C.30D.29
3.(2022春·江苏苏州·七年级期末)如图,在△ABC中,D是边AB上的点,E是边AC上的点,且ADBD=1m,CEAE=1n,若△BCF的面积为1,则△ABC的面积为( )
A.mn+n+1nB.mn+m+1nC.mn+n+1mD.mn+m+1m
4.(2022春·江苏·七年级专题练习)如图,在△ABC中,AG=BG,BD=DE=EC,CF=4AF,若四边形DEFG的面积为14,则△ABC的面积为( )
A.24B.28C.35D.30
5.(2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习)设△ABC的面积为a,如图①将边BC、AC分别2等份,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S1;如图②将边BC、AC分别3等份,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S2;……, 依此类推,若S5=311则a的值为( )
A.1B.2C.6D.3
6.(2022春·江苏扬州·七年级校考期中)如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2,且S=36,则S1-S2=_______.
7.(2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习)如图,在△ABC中,AB=52,AC=4,CD=3BD,点E是AC的中点,BE、AD交于点F,则四边形DCEF的面积的最大值是___________.
8.(2023春·七年级单元测试)在△ABC中,已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点,若△ABC的面积是14,则△DEF的面积为_________.
9.(2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末)如图,在△ABC中,BF=2FD,EF=FC,若△BEF的面积为4,则四边形AEFD的面积为______.
10.(2022春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末)如图,在△ABC中,点E是AB边上的点,且AE:EB=2:3,点D是BC边上的点,且BD:DC=1:2,AD与CE相交于点F,若四边形BDFE的面积是16,则△ABC的面积为______.
11.(2022春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中)如图,点C为直线AB外一动点,AB=5,连接CA、CB,点D、E分别是AB、BC的中点,连接AE、CD交于点F,当四边形BEFD的面积为5时,线段AC的长度的最小值为___.
12.(2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习)如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,连接AC、BD相交于点O.若AD与BC之间的距离为m,AC=6,BD=152,则AD+BC的最大值为________.
13.(2022春·江苏无锡·七年级校联考期中)如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,CD=4BD,点E是AC的中点,BE、AD交于点F,则四边形DCEF的面积的最大值是______.
14.(2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习)如图,在△ABC中,点D,点E分别是AC和AB上的点,且满足AE=2BE,CD=3AD,过点A的直线l平行BC,射线BD交CE于点O,交直线l于点F.若△CDF的面积为12,则四边形AEOD的面积为____________.
15.(2022秋·全国·七年级期末)如图,四边形ABCD是矩形,点F是AB边的三等分点,BF=2AF,点E1是CB边的中点,连接E1F,E1D,得到△E1FD;点E2是CE1的中点,连接E2F,E2D得到△E2FD;点E3是CE2的中点,连接E3F,E3D,得到△E3FD;…按照此规律继续进行下去,若矩形ABCD的面积等于6,则△E2022FD的面积是_______.
16.(2022春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末)如图,在△ABC中,已知∠BAC=70°,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D.
(1)求∠BDC的度数;
(2)试比较DA+DB+DC与12AB+BC+AC的大小,写出推理过程.
17.(2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习)如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.
18.(2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中)探索:在图1至图3中,已知△ABC的面积为a,
(1)如图1,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA.若△ACD的面积为S1,则S1=______.(用含a的代数式表示)
(2)如图2,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若△DEC的面积为S2,则S2=______.(用含a的代数式表示)
(3)在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△DEF(如图)若阴影部分的面积为S3,则S3=______.(用含a的代数式表示)
(4)发现:像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF(如图3),此时,我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的______倍.
(5)应用:要在一块足够大的空地上栽种花卉,工程人员进行了如下的图案设计:首先在△ABC的空地上种红花,然后将△ABC向外扩展三次(图4已给出了前两次扩展的图案).在第一次扩展区域内种黄花,第二次扩展区域内种紫花,第三次扩展区域内种蓝花.如果种红花的区域(即△ABC的面积是10平方米,请你运用上述结论求出:
①种紫花的区域的面积;
②种蓝花的区域的面积.
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