苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和第1课时精练

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第1课时 三角形的内角和
基础过关全练
知识点1 三角形的内角和
1.(2023四川达州中考)如图,AE∥CD,CA平分∠BCD,∠2=35°,∠D=
60°,则∠B=( )
A.52° B.50° C.45° D.25°

2.(2023四川遂宁中考)若三角形三个内角的比为1∶2∶3,则这个三角形是 三角形.
3.如图,两直线DE、FG与△ABC相交,且DE、FG分别与BC、AB平行.根据图中标示的角度,可得∠B= °.(M7207007)
4.【数学文化】(2023湖南株洲中考)《周礼·考工记》中记载有:“……半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)……”意思是:“……直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘……”即1宣=12矩,1欘=112宣(其中,1矩=90°).
问题:图1为中国古代一种强弩图,图2为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= 度.
图1 图2
5.(2023江苏盐城建湖期中)如图,AD是△ABC的高,AE平分∠BAC.(M7207007)
(1)若∠B=76°,∠C=48°,求∠DAE的度数;
(2)若∠B-∠C=42°,求∠DAE的度数.
6.【8字模型】(2021江苏无锡江阴月考)如图a,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,我们把形如这样的图形称为“8字型”.
(1)求证:∠A+∠C=∠B+∠D.
(2)如图b,∠CAB和∠BDC的平分线相交于点P,与CD、AB分别相交于点M、N.
①以线段AC为边的“8字型”有 个,以O为交点的“8字型”有 个.
②若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度数.
③若将角的关系改为“∠CAB=3∠CAP,∠CDB=3∠CDP”,试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系,并说明理由.
图a 图b
答案全解全析
基础过关全练
1.B 因为AE∥CD,∠2=35°,
所以∠1=∠2=35°.
因为CA平分∠BCD,
所以∠BCD=2∠1=70°.
因为∠D=60°,
所以∠B=180°-∠D-∠BCD=180°-60°-70°=50°.
故选B.
2.答案 直角
解析 设这个三角形最小的内角度数是x,则另外两个内角的度数分别为2x,3x.
根据题意,得x+2x+3x=180°,解得x=30°.
所以3x=3×30°=90°,
所以这个三角形是直角三角形.故答案为直角.
3.答案 55
解析 因为DE∥BC,所以∠DEC+∠C=180°,因为∠DEC=120°,所以∠C=60°.因为FG∥AB,所以∠AFG+∠A=180°,因为∠AFG=115°,所以∠A=65°.在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,所以65°+∠B+60°=180°,所以∠B=55°.
4.答案 22.5
解析 因为1宣=12矩,1欘=112宣,1矩=90°,∠A=1矩,∠B=1欘,
所以∠A=90°,∠B=112×12×90°=67.5°,
所以∠C=180°-90°-∠B=180°-90°-67.5°=22.5°.故答案为22.5.
5.解析 (1)因为∠B=76°,∠C=48°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-76°-48°=56°,
因为AD是△ABC的高,
所以∠BDA=90°,
所以∠BAD=180°-∠BDA-∠B=180°-90°-76°=14°.
因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE=12∠BAC=12×56°=28°,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=28°-14°=14°.
(2)因为∠B-∠C=42°,所以∠B=∠C+42°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-(∠C+42°)-∠C=138°-2∠C,
因为AD是△ABC的高,
所以∠ADB=90°,
所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-(∠C+42°)=48°-∠C.
因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE=12∠BAC=12×(138°-2∠C)=69°-∠C,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=69°-∠C-(48°-∠C)=21°.
6.解析 (1)证明:在△AOC中,∠A+∠C=180°-∠AOC,
在△BOD中,∠B+∠D=180°-∠BOD,
因为∠AOC=∠BOD,所以∠A+∠C=∠B+∠D.
(2)①3;4.
详解:以线段AC为边的“8字型”有△ACM与△DPM,△AOC与△DOB,△AOC与△DON,共3个;以O为交点的“8字型”有△AOC与△DOB,△AOC与△DON,△AOM与△DOB,△AOM与△DON,共4个.
②以M为交点的“8字型”中,∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N为交点的“8字型”中,∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
所以2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP.
因为AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC,
所以∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,
所以2∠P=∠B+∠C.
因为∠B=100°,∠C=120°,
所以∠P=12(∠B+∠C)=12×(100°+120°)=110°.
③3∠P=∠B+2∠C.
理由如下:
因为∠CAB=3∠CAP,∠CDB=3∠CDP,
所以∠BAP=23∠CAB,∠BDP=23∠CDB.
以M为交点的“8字型”中,∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N为交点的“8字型”中,∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
所以∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=13(∠CDB-∠CAB),
∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=23(∠CDB-∠CAB),
所以2(∠C-∠P)=∠P-∠B.
所以3∠P=∠B+2∠C.