初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和达标测试

这是一份初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和达标测试，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为( )
A. 120°B. 130°C. 135°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的内角和为180°的整数倍，求多边形去掉的一个内角度数．可设这是一个n边形，这个内角的度数为x度，利用多边形的内角和=(n-2)⋅180°，根据多边形内角x的范围，列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的正整数解确定出n的值，从而求出多边形的内角和，减去其余的角即可解决问题．
【解答】
解；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．
因为(n-2)180°=2570°+x，
所以x=(n-2)180°-2570°=180°n-2930°，
∵0∴0<180°n-2930°<180°，
解得：16.2∴n=17，
所以多边形的内角和为(17-2)×180°=2700°，
即这个内角的度数是2700°-2570°=130°．
故选B．
如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是( )
A. 2∠A=∠1-∠2B. 3∠A=2(∠1-∠2)
C. 3∠A=2∠1-∠2D. ∠A=∠1-∠2
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把∠1、∠2、∠A转化到同一个三角形中是解题的关键．
根据折叠的性质可得∠A'=∠A，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA'，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A'表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
【解答】
解：∵△A'DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A'=∠A，
又∵∠ADA'=180°-∠1，∠3=∠A'+∠2，
∴∠A+∠ADA'+∠3=180°，
即∠A+180°-∠1+∠A'+∠2=180°，
整理得，2∠A=∠1-∠2．
故选A．
若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是
A. 7B. 10C. 35D. 70
【答案】C
【解析】解：∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n=180×(n-2)，解得：n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是：n(n-3)2=10×72=35．
故选：C．
由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入n(n-3)2中即可得出结论．
本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．
过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成7个三角形，则此多边形的边数为( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】B
【解析】解：由题意得，n-2=7，
解得：n=9，
即这个多边形是九边形．
故选：B．
根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值．
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
如图，∠A=120°，且∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，则∠BDE=( )
A. 60°
B. 70°
C. 80°
D. 不能确定，具体由三角形的形状确定
【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°，
∵∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6，
∴∠DBC+∠DCB=40°，
BE、CE分别是∠DBC、∠DCB的角平分线，
∴DE平分∠BDC，
而∠BDC=180°-40°=140°，
∴∠BDE=70°．
故选：B．
首先在△ABC中，求出∠ABC和∠ACB的和，再利用∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，求出∠DBC和∠DCB的和，△BCD中点E就是三角形三条内角的平分线的交点，由此求得结论即可．
此题考查三角形的内角和，角平分线的性质，以及三角形中三条内角的平分线交于一点等知识点．
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
如图，在△ABC中，D是三角形内一点，∠DAB=72°，∠DAC=24°，∠BCD=36°，∠DCA=6°，则∠DBC=____________．
【答案】30°
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟练掌握外角的性质是解题的关键.首先延长AD、CD交三角形的边与H、G，根据三角形外角的性质建立关于∠1，∠2，∠3，∠4的方程组，解方程组即可得出∠DBC的值．
【解答】
解：如图，
延长AD、CD交三角形的边与H、G，
∵∠DAB=72°，∠DAC=24°，∠BCD=36°，∠DCA=6°，
∴∠ABC=42°，∠ADC=∠GDH=150°，∠ADG=30°，∠AGD=78°，∠AHC=114°，
∴∠1+∠2=114°∠3+∠4=78°∠1+∠3=42°∠2+∠4=150°,
解方程组得，∠1=30°，∠2=84°，∠3=12°，∠4=66°．
∴∠DBC=30°，
故答案为30°．
如图，点P在AC上，点Q在AB上，BE平分∠ABP，交AC于E，CF平分∠ACQ，交AB于F，BE、CF相交于G，CQ、BP相交于D，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A的度数为______．
【答案】80°
【解析】解：连接BC，如图，
在△DBC中，∠3+∠4=180°-∠BDC=180°-140°=40°；
在△GBC中，∠1+∠2+∠3+∠4=180°-∠BGC=180°-110°=70°；
∴∠1+∠2=30°
∵BE平分∠ABP，CF平分∠ACQ，
∴∠ABP=2∠1，∠ACQ=2∠2，
∴∠ABP+∠ACQ=2∠1+2∠2=60°，
∴∠ABP+∠ACQ+∠3+∠4=60°+40°=100°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
在△ABC中，∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°．
故答案为80°．
连接BC，在△DBC中利用三角形内角和计算出∠3+∠4=40°；在△GBC中计算出∠1+∠2+∠3+∠4=70°；则∠1+∠2=30°，再根据角平分线的定义得到∠ABP=2∠1，∠ACQ=2∠2，于是可得到∠ABC+∠ACB=100°，然后在△ABC中利用三角形内角和可计算出∠A的度数．
本题考查了三角形内角和：能利用三角形内角和定理进行角度计算．
如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=_______度．
【答案】240
【解析】
解：∵四边形的内角和为(4-2)×180°=360°，
∴∠B+∠C+∠D=360°-60°=300°，
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°，
∴∠1+∠2=540°-300°=240°，
故答案为：240．
利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．
考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．
如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是_____．
【答案】175°
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是找出操作的变化规律，得到∠CO5D与∠ADC+∠DCB之间的关系．
先根据∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，得出∠O1DC+∠O1CD=12(∠ADC+∠DCB)，再根据∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，得出∠O2DC+∠O2CD=122(∠ADC+∠DCB)，根据规律可得到∠O5DC+∠O5CD=125(∠ADC+∠DCB)，最后将∠ADC+∠DCB=160°代入计算即可．
【解答】
解：如图所示，∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，
∴∠O1DC+∠O1CD=12(∠ADC+∠DCB)，
∵∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，
∴∠O2DC+∠O2CD=12(∠O1DC+∠O1CD)=122(∠ADC+∠DCB)，
同理可得，∠O3DC+∠O3CD=12(∠O2DC+∠O2CD)
=123(∠ADC+∠DCB)，
由此可得，∠O5DC+∠O5CD=12(∠O4DC+∠O4CD)
=125(∠ADC+∠DCB)，
∴△CO5D中，∠CO5D=180°-(∠O5DC+∠O5CD)
=180°-125(∠ADC+∠DCB)，
又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC=200°，
∴∠ADC+∠DCB=160°，
∴∠CO5D=180°-125×160°=180°-5°=175°，
故答案为175°．
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；……，将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．
(1)如图2，在△ABC中，∠B> ∠C，若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系是______；
(2)如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______°，该三角形的三个角均是此三角形的好角．
【答案】(1)∠B=2∠C；
(2)80或120或140．
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的翻折变换(折叠问题).解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
(1)根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；
(2)根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C.若∠B=n∠C，则∠BAC是△ABC的好角；若∠C=n∠A，则∠ABC是△ABC的好角；若∠A=n∠B，则∠BCA是△ABC的好角．然后根据三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数，即可确定最大角的度数．
【解答】
解：(1)∠B=2∠C；
理由如下：
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C(外角定理)，
∴∠B=2∠C，
故答案为：∠B=2∠C；
(2)如图所示，
在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C．
通过以上证明可知：
①当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
②当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
③当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
……
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C．
设∠A=20°，∵∠C是好角，∴∠B=20n°；
∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=20mn°，其中m、n为正整数．
根据三角形内角和定理，得20+20n+20mn=180．
所以n(m+1)=8．
因为m、n都是正整数，所以n与m+1是8的整数约数，
因此有：n=1，m+1=8；n=2，m+1=4；n=4，m+1=2；
所以n=1，m=7；n=2，m=3；n=4，m=1；
所以20n=20，20mn=140；20n=40，20mn=120；20n=80，20mn=80．
所以此三角形的另外两个角的度数分别为：20°，140°或40°，120°或80°，80°．
所以此三角形的最大角的度数为140°或120°或80°．
三、解答题（本大题共4小题，共50分）
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF//AD．

(1)如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE=____度；
(2)若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE=____________；(用含x、y的代数式表示)
(3)如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则(2)中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)20；
(2)12y-12x；
(3)(2)中的结论成立．
∵∠B=x，∠ACB=y，
∴∠BAC=180°-x-y，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=90°-12x-12y，
∵CF//AD，
∴∠ACF=∠DAC=90°-12x-12y，
∴∠BCF=y+90°-12x-12y=90°-12x+12y，
∴∠ECF=180°-∠BCF=90°+12x-12y，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC=90°，
∴∠CFE=90°-∠ECF=12y-12x.
【解析】
【分析】
此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质以及垂直的意义等知识，结合图形，灵活选择适当的方法解决问题．
(1)求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE-∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；
(2)由(1)类推得出答案即可；
(3)类比以上思路，把问题转换为∠CFE=90°-∠ECF即可解决问题．
【解答】
解：(1)∵∠B=30°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°
∴∠BAE=60°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=60°-40°=20°，
∵CF//AD，
∴∠CFE=∠DAE=20°；
故答案为：20；
(2)∵∠BAE=90°-∠B，∠BAD=12∠BAC=12(180°-∠B-∠BCA)，
∴∠CFE=∠DAE=∠BAE-∠BAD
=90°-∠B-12(180°-∠B-∠BCA)
=12(∠BCA-∠B)
=12y-12x.
故答案为：12y-12x；
(3)见答案．
(1)如图1，在▵ADC中，∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，若∠ADC=70∘，∠ACD=50∘，求∠P的度数;
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∠A=90∘，∠B=150∘，求∠P的度数;
如图3，若将(2)中“∠A=90∘，∠B=150∘”改为“∠A=α，∠B=β”，其余条件不变，直接写出∠P与α+β之间的数量关系．
【答案】(1)解：如图1，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，
∴∠PDC=12∠ADC=35ﾟ，∠PCE=12∠ACE=12(180ﾟ-∠ACD)=65ﾟ.
∴∠P=∠PCE-∠PDC=30ﾟ；

(2)解：如图2，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，
∴∠PDC=12∠ADC，∠PCE=12∠BCE=12(180ﾟ-∠BCD)，
∴∠P=∠PCE-∠PDC
=12(180ﾟ-∠BCD)-12∠ADC=90ﾟ-12∠BCD-12∠ADC
=90ﾟ-12(∠BCD+∠ADC)
=90ﾟ-12(360ﾟ-∠A-∠B)
=12(∠A+∠B)-90ﾟ=30ﾟ；
(3)∠P=12(α+β)-90ﾟ ．
【解析】
【分析】
本题考查了角的计算、角平分线的定义、三角形的外角性质以及多边形的内角和定理．
(1)根据角平分线的定义、三角形的外角性质，进行运算即可；
(2)根据角平分线的定义、三角形的外角性质以及多边形的内角和定理计算即可；
(3)根据角平分线的定义、三角形的外角性质以及多边形的内角和定理计算即可．
【解答】
解:(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，
∴∠PDC=12∠ADC，∠PCE=12∠BCE=12(180ﾟ-∠BCD)，
∴∠P=∠PCE-∠PDC
=12(180ﾟ-∠BCD)-12∠ADC
=90ﾟ-12∠BCD-12∠ADC
=90ﾟ-12(∠BCD+∠ADC)
=90ﾟ-12(360ﾟ-∠A-∠B)
=12(α+β)-90ﾟ．
∠P与α+β之间的数量关系为∠P=12(α+β)-90ﾟ ．
故答案为∠P与α+β之间的数量关系为∠P=12(α+β)-90ﾟ ．
△ABC中，∠C=70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两个定点，点P是平面内一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
初探：
(1)如图1，若点P在线段AB上运动，
①当∠α=60°时，则∠1+∠2=______°；
②∠α、∠1、∠2之间的关系为：______．
再探：
(2)若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．
拓展：
(3)请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，并写出此时∠α、∠1、∠2之间的关系：______．
【答案】130 ∠1+∠2=70°+∠α ∠1+∠2=430°-∠α
【解析】解：(1)①如图1中，连接PC．
∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DCP+∠ECP+∠EPC=∠ACB+∠DPE=∠ACB+∠α，
∵∠ACB=70°，∠α=60°，
∴∠1+∠2=60°+70°=130°．
②由①可知，∠1+∠2=∠ACB+∠α=70°+∠α，
故答案为130，70°+∠α．
(2)结论：∠1=70°+∠2+∠α．
理由：如图2中，
∵∠1=∠C+∠CFD，∠CFD=∠2+∠α，
∴∠1=70°+∠2+∠α．
(3)结论：∠1+∠2=430°-∠α．
理由：如图3中，
∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC=∠ACB+360°-∠DPE=70°+360°-∠α，
∴∠1+∠2=430°-∠α．
故答案为∠1+∠2=430°-∠α．
(1)①如图1中，连接PC.证明∠1+∠2=∠ACB+∠DPE即可．
②利用①中结论解决问题．
(2)利用三角形的外角的性质解决问题即可．
(3)利用三角形的外角的性质解决问题即可．
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
十九大报告中提出“广泛开展全民健身活动，加快推进体育强国建设”.为了响应号召，提升学生训练兴趣，某中学自编“功夫扇”课间操.若设最外侧两根大扇骨形成的角为∠COD，当“功夫扇”完全展开时∠COD=160°.在扇子舞动过程中，扇钉O始终在水平线AB上．小华是个爱思考的孩子，不但将以上实际问题抽象为数学问题，而且还在抽象出的图中画出了∠BOC的平分线OE，以便继续探究．
(1)当扇子完全展开且一侧扇骨OD呈水平状态时，如图1所示.请在抽象出的图2中画出∠BOC的平分线OE，此时∠DOE的度数为_________；
(2)“功夫扇”课间操有一个动作是把扇子由图1旋转到图3所示位置，即将图2中的∠COD绕点O旋转至图4所示位置，其他条件不变，小华尝试用如下两种方案探究了∠AOC和 ∠DOE度数之间的关系．
方案一：设∠BOE的度数为x.可得出∠AOC=180∘-2x，则x=12(180∘-∠AOC)=90∘-12∠AOC．∠DOE=160∘-x，则x=160∘-∠DOE.进而可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系．
方案二：如图5，过点O作∠AOC的平分线OF.易得∠EOF=90∘，即12∠AOC+∠COE=90∘. 由∠COD=160∘，可得∠DOE+∠COE=160∘.进而可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系.参考小华的思路可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系为_________；
(3)继续将扇子旋转至图6所示位置，即将∠COD绕点O旋转至如图7所示的位置，其他条件不变，请问(2)中结论是否依然成立？说明理由．
【答案】解：(1)80°
(2)∠DOE-12∠AOC=70∘
(3)不成立．
理由如下：
方法一：设∠BOE的度数为x．
可得出∠AOC=180°-2x，则x=12180°-∠AOC=90°-12∠AOC，
∠DOE=160°+x，则x=∠DOE-160°，
所以∠DOE+12∠AOC=250∘；
方法二：如图2，过点O作∠AOC的平分线OF，
易得∠EOF=90°，即12∠AOC+∠COE=90∘，
由∠COD=160°，可得∠DOE-∠COE=160°，
所以∠DOE+12∠AOC=250∘．
【解析】
【分析】
本题主要考查角平分线的定义，角的计算.掌握角的和差关系是解题的关键．
(1)由角的平分线的定义可得结果；
(2)由角平分线的定义和角的和差关系即可得结果；
(3)由角平分线的定义和角的和差关系即可得结果．
【解答】
解：(1)∵∠COD=160°，OE平分∠DOC，
∴∠DOE=12∠COD=12×160°=80°．
故答案为80°；
(2)方法一：设∠BOE的度数为x，则∠BOC=2x，
∴∠AOC=180°-2x，∠DOE=160°-x，
∴2∠DOE-∠AOC=140°，
即∠DOE-12∠AOC=70∘，
方法二：过点O作∠AOC的平分线OF，
∴∠EOF=90°，
即12∠AOC+∠COE=90°，
∵∠COD=160°，
∴∠DOE+∠COE=160°，
∴∠DOE-12∠AOC=70∘，
综上，∠DOE-12∠AOC=70∘；
故答案为∠DOE-12∠AOC=70∘；
(3)见答案．