北师大版2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元：外圆内方与内圆外方问题问题专项练习(原卷版+解析)

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2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元：外圆内方与内圆外方问题专项练习1．用一张长6分米、宽4分米的长方形纸剪出一个最大的半圆，这个半圆的面积是( )分米，周长是( )分米。2．一个长方形纸板的长是50厘米，宽是40厘米，如果将它剪成一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方分米。3．在一个长9cm，宽8cm的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。4．在一张长8cm、宽6cm的长方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。5．从一块长、宽的长方形硬纸板上剪下一个最大的圆，这个圆的半径是( )，周长是( )，面积是( )。6．在一张长12dm，宽8dm的长方形图纸上画一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )dm，周长是( )dm，面积是( )dm2。7．在一个长10厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径是( )厘米，面积是( )平方厘米。8．在一张长12厘米，宽9厘米的长方形纸上剪半径为2厘米的圆，最多可以剪( )个，每个圆的面积是( )。9．用一张边长是2分米的正方形纸，剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。10．一个正方形内有一个最大圆，已知圆的面积是，则正方形的面积是( )。11．半径为10厘米的圆的外面和里面各有一个正方形（如下图），外面正方形的面积是( )平方厘米，里面正方形的面积是( )平方厘米。12．正方形内画最大的圆，圆的面积与正方形面积的最简整数比是( )，比值是( )。13．在一个边长是4分米的正方形纸片内，剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )分米，剪去部分的面积是( )平方分米。14．在一个边长是10dm的正方形硬纸板上，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )，圆的周长是( )dm。15．在一个周长为16分米的正方形中，剪一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方分米。16．一张可折叠的圆桌，半径是0.6米，折叠后成了正方形，折叠部分的面积约是( )平方米。（得数保留两位小数。）  17．如图，正方形ABCD内有一个面积最大的圆，四边形EFGH是该圆内的正方形，若大正方形的边长为5厘米，小正方形的边长为3厘米，那么阴影部分的面积是( )。18．如图，两个同心圆中间有一个正方形，正方形的面积是10平方厘米，外圆的面积是( )平方厘米，外圆的面积与内圆的面积比是( )∶( )。19．如图，在圆内画了一个最大正方形，圆的面积是31.4平方厘米。正方形的面积是( )平方厘米。20．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计。如果图中外面正方形面积是36dm2，则内圆的面积是( )dm2。2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元：外圆内方与内圆外方问题专项练习1．用一张长6分米、宽4分米的长方形纸剪出一个最大的半圆，这个半圆的面积是( )分米，周长是( )分米。【答案】 14.13 15.42【分析】用一张长6分米、宽4分米的长方形纸剪出一个最大的半圆，这个半圆的直径是6分米，根据圆的面积、周长公式，求出半圆的面积和周长，注意半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径的长，据此解答即可。【详解】（平方分米）（分米）所以这个半圆的面积是6.28平方分米，周长是15.42分米。【点睛】本题考查圆的周长、面积，解答本题的关键是掌握圆的周长、面积计算公式。2．一个长方形纸板的长是50厘米，宽是40厘米，如果将它剪成一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方分米。【答案】12.56【分析】根据题意，在长方形纸板里剪一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。注意单位的换算：1平方分米＝100平方厘米。【详解】3.14×（40÷2）2＝3.14×400＝1256（平方厘米）1256平方厘米＝12.56平方分米这个圆的面积是12.56平方分米。【点睛】本题考查圆的面积公式的运用，明确长方形里最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。3．在一个长9cm，宽8cm的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。【答案】 4 50.24【分析】长方形中画一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，直径÷2＝半径，圆的面积＝πr2，据此列式计算。【详解】8÷2＝4（cm）3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2）这个圆的半径是4cm，面积是50.24cm2。【点睛】关键是理解圆和长方形之间的关系，掌握并灵活运用圆的面积公式。4．在一张长8cm、宽6cm的长方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。【答案】 3 18.84 28.26【分析】以长方形的宽为直径的圆是长方形中最大的圆，在同圆或等圆中，半径是直径的，直径是半径的2倍，利用“”求出圆的周长，利用“”求出圆的面积，据此解答。【详解】半径：6÷2＝3（cm）周长：2×3.14×3＝6.28×3＝18.84（cm）面积：3.14×32＝28.26（cm2）所以，这个圆的半径是3cm，周长是18.84cm，面积是28.26cm2。【点睛】理解最大圆的直径等于长方形的宽，并掌握圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。5．从一块长、宽的长方形硬纸板上剪下一个最大的圆，这个圆的半径是( )，周长是( )，面积是( )。【答案】 2 12.56 12.56【分析】长方形硬纸板上剪下一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，半径＝直径÷2，圆的周长＝πd，圆的面积＝πr2，据此列式计算。【详解】（dm）（dm）（dm2）这个圆的半径是2dm，周长是12.56dm，面积是12.56dm2。【点睛】关键是熟悉圆的特征，掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。6．在一张长12dm，宽8dm的长方形图纸上画一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )dm，周长是( )dm，面积是( )dm2。【答案】 6 30.84 56.52【分析】在一张长12dm，宽8dm的长方形图纸上画一个最大的半圆，半圆的直径＝长方形的长，半径＝直径÷2，半圆的周长＝πr＋d，半圆的面积＝πr2÷2，列式计算即可。【详解】12÷2＝6（dm）3.14×6＋12＝18.84＋12＝30.84（dm）3.14×62÷2＝3.14×36÷2＝56.52（dm2）这个半圆的半径是6dm，周长是30.84dm，面积是56.52dm2。【点睛】关键是熟悉圆的特征，掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。7．在一个长10厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径是( )厘米，面积是( )平方厘米。【答案】 6 28.26【分析】以长方形的宽为直径的圆是长方形内面积最大的圆，再根据“”求出这个圆的面积，据此解答。【详解】3.14×（6÷2）2＝3.14×9＝28.26（平方厘米）所以，这个圆的直径是6厘米，面积是28.26平方厘米。【点睛】掌握圆的面积计算公式是解答题目的关键。8．在一张长12厘米，宽9厘米的长方形纸上剪半径为2厘米的圆，最多可以剪( )个，每个圆的面积是( )。【答案】 6 12.56平方厘米/12.56cm2【分析】长方形纸上剪半径为2厘米的圆，相当于剪下边长（2×2）厘米的正方形；分别求出长和宽能剪下的个数，根据行数×列数，即可求出剪下的个数；根据圆的面积＝πr2，求出每个圆的面积即可。【详解】2×2＝4（厘米）（12÷4）×（9÷4）≈3×2＝6（个）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）最多可以剪6个，每个圆的面积是12.56平方厘米。【点睛】关键是熟悉圆的特征，掌握并灵活运用圆的面积公式。9．用一张边长是2分米的正方形纸，剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。【答案】 6.28 3.14【分析】在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等，据此可知圆的直径为2分米，再根据“”、“”，求出圆的周长和面积即可。【详解】3.14×2＝6.28（分米）3.14×（2÷2）2＝3.14×1＝3.14（平方分米）所以，用一张边长是2分米的正方形纸，剪一个最大的圆，这个圆的周长是6.28分米，面积是3.14平方分米。【点睛】明确在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等是解答本题的关键。10．一个正方形内有一个最大圆，已知圆的面积是，则正方形的面积是( )。【答案】32【分析】设圆的半径为r，则圆的面积为πr2，由此可以求出圆的半径的平方，正方形的边长等于圆的半径的2倍，即2r，正方形的面积等于边长乘边长，也就是2r×2r＝4r2，据此解答。【详解】设圆的半径为r，r2＝25.12÷3.14＝8（dm）正方形的边长为2r，正方形的面积为：2r×2r＝4r2＝4×8＝32（dm2）【点睛】解题关键是掌握圆和正方形面积公式，找到圆的半径与正方形边长的关系。11．半径为10厘米的圆的外面和里面各有一个正方形（如下图），外面正方形的面积是( )平方厘米，里面正方形的面积是( )平方厘米。【答案】 400 200【分析】从图中可知，外面正方形的边长等于圆的直径，根据正方形的面积＝边长×边长，求出外面正方形的面积；里面正方形可以用对角线分成两个直角三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是里面正方形的面积。【详解】10×2＝20（厘米）外面正方形的面积：20×20＝400（平方厘米）里面正方形的面积：20×10÷2×2＝200÷2×2＝200（平方厘米）【点睛】利用外面正方形、里面正方形分别与圆的关系，以及正方形、三角形的面积公式是解题的关键。12．正方形内画最大的圆，圆的面积与正方形面积的最简整数比是( )，比值是( )。【答案】 157∶200 【分析】根据题意可知，正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；设正方形的边长为a，这圆的半径为；根据正方形面积公式：边长×边长；圆的面积公式：π×半径2，代入数据，求出正方形面积和圆的面积；再根据比的意义，用圆的面积∶正方形面积，化简即可；再用比的前项除以比的后项即可求出比值。【详解】设正方形边长为a，则圆的半径为。π×（）2∶a2＝πa2∶a2＝（πa2÷a2）∶（a2÷a2）＝π∶1＝（π×4）∶（1×4）＝π∶4＝（3.14×100）∶（4×100）＝314∶400＝（314÷2）∶（400÷2）＝157∶200比值：π÷4＝【点睛】利用正方形面积公式、圆的面积公式、比的意义以及求比值的方法进行解答。13．在一个边长是4分米的正方形纸片内，剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )分米，剪去部分的面积是( )平方分米。【答案】 12.56 12.56【分析】根据题意，最大圆的直径等于正方形的边长，再根据圆的周长公式，求出周长；剪去部分的面积就是最大圆的面积，根据圆的面积公式，求出圆的面积即可。【详解】（分米）＝12.56（平方分米）【点睛】解答此题的关键是确定最大圆的直径等于正方形的边长，然后再套用公式解答即可。14．在一个边长是10dm的正方形硬纸板上，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )，圆的周长是( )dm。【答案】 78.5 31.4【分析】根据题意可知，在这个正方形纸板上剪一个最大的圆，所剪圆的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式：，圆的周长公式：，把数据代入公式解答。【详解】（）（dm）【点睛】此题主要考查圆的面积公式、周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。15．在一个周长为16分米的正方形中，剪一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方分米。【答案】12.56【分析】根据正方形的周长求出正方形的边长，以正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径的圆是正方形内面积最大的圆，利用圆的面积公式：即可求得。【详解】正方形边长：16÷4＝4（分米）3.14×（4÷2）2＝3.14×4＝12.56（平方分米）【点睛】掌握圆的面积计算公式并分析出正方形内最大圆的半径是解答题目的关键。16．一张可折叠的圆桌，半径是0.6米，折叠后成了正方形，折叠部分的面积约是( )平方米。（得数保留两位小数。）  【答案】0.41【分析】根据题图可知，“圆形面积－正方形面积＝折叠部分面积”，正方形面积＝小直角三角形面积×4，“小直角三角形面积＝半径×半径÷2”，据此解答即可。【详解】3.14×0.62－0.6×0.6÷2×4＝3.14×0.36－0.18×4＝1.1304－0.72＝0.4104（平方米）≈0.41（平方米）【点睛】明确折叠部分面积与正方形的面积合起来是整个圆形桌面的面积是解答本题的关键。17．如图，正方形ABCD内有一个面积最大的圆，四边形EFGH是该圆内的正方形，若大正方形的边长为5厘米，小正方形的边长为3厘米，那么阴影部分的面积是 。【答案】10.625平方厘米/10.625cm2【分析】由图可知，圆的半径等于大正方形边长的一半，利用“”表示出圆的面积，阴影部分的面积＝圆的面积－小正方形的面积，据此解答。【详解】＝＝＝＝10.625（平方厘米）所以，阴影部分的面积是10.625平方厘米。【点睛】本题主要考查含圆的组合图形面积的计算，理解阴影部分的面积等于圆与小正方形的面积之差是解答题目的关键。18．如图，两个同心圆中间有一个正方形，正方形的面积是10平方厘米，外圆的面积是( )平方厘米，外圆的面积与内圆的面积比是( )∶( )。【答案】 15.7 2 1【分析】因为正方形面积是边长的平方，正方形的边长又是内圆的直径，正方形的对角线又是外圆的直径，由此可求出内外圆的面积。【详解】解：设正方形的边长为a厘米，a×a＝10平方厘米S内圆＝3.14＝7.85（平方厘米）设外圆半径为r厘米。2r×r÷2×2＝102r×r＝10r×r＝5S外圆＝3.14×r×r＝3.14×5＝15.7（平方厘米）15.7∶7.85＝（15.7÷7.85）∶（7.85÷7.85）＝2∶1【点睛】本学生题主要考查了学生的观察能力，以及对圆与正方形特征的掌握。19．如图，在圆内画了一个最大正方形，圆的面积是31.4平方厘米。正方形的面积是( )平方厘米。【答案】20【分析】设圆的半径为r，根据圆面积公式和正方形面积公式可知，这个图形中的正方形的面积为2r2，圆的面积为πr2，用31.4÷3.14即可求出r2是多少，进而求出正方形的面积。【详解】如图：要使正方形的面积最大，正方形的对角线为圆的直径，设圆的半径为r，圆的面积为πr2，正方形的面积为：2r23.14×r2＝31.4r2＝31.4÷3.14r2＝10所以正方形的面积为：2×10＝20（平方厘米）正方形的面积是20平方厘米。【点睛】本题主要考查了正方形和圆的关系，熟记相关公式是解答本题的关键。20．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计。如果图中外面正方形面积是36dm2，则内圆的面积是( )dm2。【答案】28.26【分析】已知“外方内圆”中正方形面积是36dm2，根据正方形的面积＝边长×边长，可知正方形的边长是6dm；观察图形可知，圆的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可求出圆的面积。【详解】36＝6×6所以，正方形的边长是6dm。圆的面积：3.14×（6÷2）2＝3.14×9＝28.26（dm2）内圆的面积是28.26dm2。【点睛】本题考查正方形内最大圆的面积的求法，关键是根据正方形的面积公式求出正方形的边长，也就是圆的直径。